高校数学B 母平均の両側検定—帰無仮説の下で標準化し棄却域から結論を書く｜武蔵野個別指導塾

母平均の仮定値から標本平均を標準化し、両側の棄却域と比較して、不棄却から一致を証明できない理由を整理します。

よくあるのは、高2が母平均の検定で帰無仮説を棄却できず、「母平均が仮定した値と等しいと証明された」と書く場面です。標本平均が仮定した値に近くても、標本を取り直せば違う値が出ます。近い結果が出たことと、母平均の値が確定したことは別です。どの結果なら仮定を退けるかを先に決め、実際に得た結果と照らして結論を言葉にします。

問われ方を見分ける

1つ目は、仮定した母平均から標本平均が離れているかを判定する型です。母標準偏差と標本数から標本平均の標準偏差を求め、仮定値との差をその大きさで割ります。差の単位をそろえると、異なる測定でも同じ基準で比較できます。

2つ目は、上側にも下側にも注目する型です。予想より大きい結果と小さい結果の両方が仮定に反する方向なので、棄却域を左右に置きます。観測値がどちら側に出るかを見た後に、注目する側を選ぶわけではありません。

3つ目は、標本平均がどの範囲なら棄却されるかを逆に求める型です。標準化した境界を元の測定単位へ戻し、観測された平均と比べます。いずれの型でも、値の計算と、その値が結論に何を意味するかを分けて書くことが必要です。

仮定の下で標本平均を見る

母平均を μ、問題で定める基準値を μ₀ とします。最初に立てる帰無仮説は「μ = μ₀」です。対立仮説は「μ ≠ μ₀」とし、差が正と負の両方の場合を含めます。仮説は標本を見る前に定めます。

母集団が正規分布に従い、母標準偏差 σ が既知で正、各標本値が独立で同じ母集団の分布に従うとします。大きさ n の標本の平均を X̄ とすると、帰無仮説の下で X̄ は平均 μ₀、分散 σ²/n の正規分布に従います。したがって、標本平均の標準偏差は σ/√n です。母集団の標準偏差 σ をそのまま使うのでも、分散 σ²/n で割るのでもありません。

十分大きな標本では、母集団が正規分布でなくても、独立同分布などの条件の下で標本平均の分布を正規分布で近似できる場合があります。その場合の判定は近似です。標本が小さく母集団の形も不明なら、この正規分布による判定の根拠を確認できません。母標準偏差が未知である場合も、ここでの既知の σ の式をそのまま使うことはできません。

図1のように、仮説、標準化、判定、結論の順に進みます。標本を取る前の確率変数を使って棄却域を決め、実測後はその値が域に入るかを見ます。

帰無仮説の下で、Z = (X̄ − μ₀)/(σ/√n) は標準正規分布に従います。Z が0に近いことは、標本平均が仮定値に近いことを表し、正負は差の向きです。大きく離れた結果を両側で調べるので、正負をまとめた |Z| を用います。

有意水準は、帰無仮説が正しい場合に棄却する確率として、標本を見る前に決める基準です。正の数 c を、帰無仮説の下で P(|Z| ≧ c) がその有意水準となるように選び、Z ≦ -c または Z ≧ c を棄却域とします。境界も棄却域に含める約束です。正規分布は連続なので、境界そのものの確率は0です。表から得る小数は丸められているため、表を使う場合は確率や境界を近似として扱います。

以下では表の数値を必要としないよう、標準正規分布に従う U について、有意水準 α をあらかじめ α = P(|U| ≧ 2) と指定します。このとき対称な棄却域は Z ≦ -2 または Z ≧ 2 です。α は確率を表す正確な記号であり、小数の値を推測する必要はありません。これは例題のために指定した水準であり、どの問題にも2を使うという意味ではありません。

基本例題：上側に離れた平均

ある部品の長さの母集団は正規分布に従い、母標準偏差は既知の4 mmです。独立に同じ母集団から16個を抽出したところ、標本平均は53 mmでした。母平均が50 mmと異なるといえるか、有意水準 α = P(|U| ≧ 2) の両側検定で判断してください。U は標準正規分布に従い、標準化した値と結論を示します。

まず帰無仮説を「μ = 50 mm」、対立仮説を「μ ≠ 50 mm」とします。正規母集団、独立な標本、既知の母標準偏差という条件がそろっています。帰無仮説の下での標本平均の標準偏差は、標本数の平方根で割るので次のようになります。

σ/√n = 4/√16 = 4/4 = 1 mm

標本平均と仮定値の差をこの1 mmで割ります。観測された標準化の値を z と書きます。

z = (53 − 50)/1

z = 3

図2のように、右側の境界2を超える位置に3があります。左側の棄却域も同時に定めてあることが、両側検定である理由です。

3 ≧ 2 なので z は棄却域に入ります。よって帰無仮説を棄却し、「母平均は50 mmと異なると判断します」と書きます。標本平均が3 mm高いことは観測結果ですが、この両側検定の結論は、あらかじめ定めた対立仮説に沿って「異なる」です。

元の単位でも確かめます。帰無仮説の下で境界に対応する標本平均は 50 − 2・1 = 48 mm と 50 + 2・1 = 52 mm です。観測された53 mmは52 mmを超え、標準化で得た判定と一致します。仮に母平均が50 mmでも、棄却域に入る標本は起こり得ます。その確率を事前に α と定めているため、棄却は絶対的な証明ではありません。

標準例題：下側でも不棄却になるとき

ある袋に入れる粒の質量の母集団は正規分布に従い、母標準偏差は既知の6 gです。独立に同じ母集団から36袋を選ぶと、標本平均は98.5 gでした。母平均が100 gと異なるか、有意水準 α = P(|U| ≧ 2) の両側検定で判断し、標準化の値と結論を書いてください。U は標準正規分布に従います。

帰無仮説を μ = 100 g、対立仮説を μ ≠ 100 g とします。母集団が正規で、標本が独立同分布、母標準偏差が既知なので、帰無仮説の下で標準正規分布を使えます。標本平均の標準偏差は次のとおりです。

σ/√n = 6/√36 = 6/6 = 1 g

標本平均から仮定値を引いて標準化します。

z = (98.5 − 100)/1

z = -1.5

-2 < -1.5 < 2 なので、z は棄却域に入りません。帰無仮説は棄却されず、「母平均が100 gと異なるとは、この有意水準では判断できません」と結論します。母平均が100 gであると証明するのではありません。実際に異なっていても、標本平均が今回のように中心近くに出る可能性があります。

元の単位の境界は 100 − 2・1 = 98 g と 100 + 2・1 = 102 g です。98 g < 98.5 g < 102 g と戻せるので、棄却域の外という判定を確かめられます。負の符号だけで棄却と決めず、左の境界との位置関係を見ます。

発展例題：平均の境界を先に作る

ある材料の厚さの母集団は正規分布に従い、母標準偏差は既知の12 mmです。独立に同じ母集団から64枚を選び、母平均が80 mmと異なるかを調べます。有意水準は α = P(|U| ≧ 2) とします。U は標準正規分布に従います。標本平均がどの範囲にあれば帰無仮説を棄却するか、mmを用いた不等式で求めてください。実際の標本平均が76.4 mmなら結論も書きます。

帰無仮説は μ = 80 mm、対立仮説は μ ≠ 80 mm です。条件から標本平均の標準偏差は次のようになります。

σ/√n = 12/√64 = 12/8 = 1.5 mm

帰無仮説の下では、Z = (X̄ − 80)/1.5 です。左の棄却域 Z ≦ -2 を元の単位に戻します。1.5は正なので、不等号の向きは変わりません。

(X̄ − 80)/1.5 ≦ -2

X̄ − 80 ≦ -3

X̄ ≦ 77

右の棄却域 Z ≧ 2 も同様です。

(X̄ − 80)/1.5 ≧ 2

X̄ − 80 ≧ 3

X̄ ≧ 83

したがって、標本平均が77 mm以下または83 mm以上のとき棄却します。76.4 mmは77 mm以下なので帰無仮説を棄却し、「母平均は80 mmと異なると判断します」と書きます。

境界を逆に代入すると、(77 − 80)/1.5 = -2、(83 − 80)/1.5 = 2 です。観測値でも (76.4 − 80)/1.5 = -2.4 となり、左の棄却域に入ります。境界から平均までの距離を求めるときに、1.5を割るのではなく掛けることがポイントです。

誤答をほどく：棄却できないことと等しいこと

標準例題で「z = -1.5 は棄却域にない。よって母平均は100 gである」と書いたとします。前半の位置判定は正しいものの、後半で標本の結果を母平均の証明に変えてしまっています。

図3のように、棄却域に入らなかった結果からは、事前に定めた基準では仮定と食い違う十分な根拠が得られなかったと読み取ります。帰無仮説が正しい確率を計算したわけではなく、母平均が仮定値と違う可能性も残ります。

修正した結論は「この有意水準では母平均が100 gと異なるとは判断できない」です。「差がない」と言い切る代わりに、何を判断できなかったのかを示します。逆に棄却したときも、計算の前提が成り立ち、有意水準に応じた誤判定があり得ることを忘れません。

別の間違いとして、標本平均と仮定値の差を母標準偏差の6 gで割り、-0.25を得る場合があります。検定で動くのは個々の袋の質量ではなく36袋の平均です。その平均の標準偏差は6/√36 = 1 gなので、正しい値は-1.5です。母分散や標本平均の分散を分母にしていないかも、単位を使って点検します。

練習問題

各問で U は標準正規分布に従い、有意水準を標本を見る前に α = P(|U| ≧ 2) と定めます。各母集団は正規分布に従い、標本は独立に同じ母集団から選びます。母標準偏差は問題に与えた既知の値です。標準化した値は正確な数で示し、両側検定の結論を言葉で書いてください。

1. 紙片の重さの母標準偏差は8 gです。25枚の標本平均は24 gでした。母平均が20 gと異なるか調べます。
2. 溶液の量の母標準偏差は9 mLです。81個の標本平均は30.8 mLでした。母平均が32 mLと異なるか調べます。
3. 糸の長さの母標準偏差は15 cmです。25本の標本平均は42.5 cmでした。母平均が50 cmと異なるか調べます。
4. 小箱の重さの母標準偏差は10 gです。100個を選び、母平均が200 gと異なるか調べます。棄却する標本平均の範囲を g の不等式で求め、標本平均202.5 gの結論を書いてください。
5. 樹脂片の厚さの母標準偏差は7 mmです。49個の標本平均は12.4 mmでした。母平均が12 mmと異なるか調べます。不棄却のときに「母平均は12 mmと証明された」といえるかも答えてください。

練習の答えと解き方

1. 帰無仮説は μ = 20 g、対立仮説は μ ≠ 20 g です。正規母集団と独立同分布、既知の母標準偏差を問題文で確認します。平均の標準偏差は 8/√25 = 8/5 = 1.6 g です。

z = (24 − 20)/1.6 = 4/1.6 = 2.5

2.5 ≧ 2 なので棄却します。母平均は20 gと異なると判断します。元の単位では上側の境界は 20 + 2・1.6 = 23.2 g であり、24 gはその外側です。

2. 帰無仮説は μ = 32 mL、対立仮説は μ ≠ 32 mL です。平均の標準偏差は 9/√81 = 9/9 = 1 mL です。

z = (30.8 − 32)/1 = -1.2

-2 < -1.2 < 2 なので棄却できません。母平均が32 mLと異なるとは判断できません。元の単位の左の境界は 32 − 2・1 = 30 mL で、30.8 mLは境界の内側です。

3. 帰無仮説は μ = 50 cm、対立仮説は μ ≠ 50 cm です。平均の標準偏差は 15/√25 = 15/5 = 3 cm です。

z = (42.5 − 50)/3 = -7.5/3 = -2.5

-2.5 ≦ -2 なので棄却します。母平均は50 cmと異なると判断します。左の境界は 50 − 2・3 = 44 cm であり、42.5 cmはそれ以下です。

4. 帰無仮説は μ = 200 g、対立仮説は μ ≠ 200 g です。平均の標準偏差は 10/√100 = 10/10 = 1 g です。標本平均を X̄ とすると、棄却域は (X̄ − 200)/1 ≦ -2 または (X̄ − 200)/1 ≧ 2 です。

左側を直すと X̄ ≦ 198、右側を直すと X̄ ≧ 202 です。したがって、198 g以下または202 g以上が求める範囲です。202.5 gは202 g以上なので棄却し、母平均は200 gと異なると判断します。標準化でも (202.5 − 200)/1 = 2.5 ≧ 2 と確かめられます。

5. 帰無仮説は μ = 12 mm、対立仮説は μ ≠ 12 mm です。平均の標準偏差は 7/√49 = 7/7 = 1 mm です。

z = (12.4 − 12)/1 = 0.4

-2 < 0.4 < 2 なので棄却できません。母平均が12 mmと異なるとは判断できませんが、12 mmと証明されたとはいえません。元の単位では境界が 12 − 2・1 = 10 mm と 12 + 2・1 = 14 mm なので、12.4 mmはその間にあります。

覚えておくこと

帰無仮説は μ = μ₀、両側の対立仮説は μ ≠ μ₀ です。 標本平均の標準偏差は、既知の母標準偏差を √n で割ります。 帰無仮説の下で標準化し、両端の棄却域と比べます。 棄却できなくても、帰無仮説が正しい証明にはなりません。

つまずきを見分ける

符号が負のときに計算が止まるなら、まず数直線に左右の境界と z を置いてみます。左側の棄却域に入る場合と、その手前で止まる場合を比べると、符号と距離を別々に読めます。個別指導では、仮説を先に言葉で述べてもらい、次に標本平均の標準偏差を σ/√n と書けるかを確かめます。

計算は合っていて結論が「等しい」となる場合には、標本を取り直したら平均が変わる理由を説明してもらいます。母標準偏差が既知か、標本が独立同分布か、正規母集団か大標本の近似かを問題文に戻って指さすことも有効です。棄却しないという判定は、仮定を証明する文に置き換えず、そのまま判断の限界として書き残します。