高校数学B 母集団と無作為標本—抽出方法から独立同分布という前提を確認する｜武蔵野個別指導塾

記録を選ぶ時間帯や復元の有無から独立性と偏りを考えると、焦点は無作為標本です。

よくあるのは、1日の記録全体を知りたい高2の生徒が、見やすい同じ時間帯の記録だけを選ぶ場面です。その時間帯の傾向は調べられても、ほかの時間帯を含む全体について同じことが言えるとは限りません。どこまでを調べたいのか、どんな手順で記録を選ぶのかを先に決めると、計算の意味がはっきりします。ここでは自作の小さな母集団を使い、選ぶ前の確率と選んだ後の値を区別します。

抽出の問題はどこを見るか

出方の1つ目は、調べたい対象から母集団と標本を区別する型です。1日分の記録を知りたいなら、その1日分が母集団です。選んだ記録は標本であり、そこに書かれた数が標本値です。選びやすい記録の集合が、そのまま調べたい全体になるとは限りません。

2つ目は、抽出手順から各回の分布と独立性を判定する型です。各回で同じ集合から等しい確率で1つ選び、選んだものを戻すなら、各回の分布は同じです。さらに各回の選択が互いに影響しない手順なら、結果は独立です。戻すという言葉だけで、選び方に隠れた連動まで消えるわけではありません。

3つ目は、条件が崩れた場合に、何が言えなくなるかを説明する型です。戻さずに選ぶと、前の結果によって残る対象が変わります。特定の時間帯だけを選ぶと、標本数を増やしてもその時間帯の外側は直接選ばれません。計算できることと、全体について主張できることを分けて考えます。

母集団と標本を選ぶ前後に分ける

調査の対象となる全体を母集団、その一部として取り出したものを標本といいます。有限個の記録を考えるとき、各記録が母集団の要素です。記録に付いた数値を調べるなら、要素の選ばれ方によって数値が決まります。同じ数値を持つ別の記録があっても、要素としては別々に数えます。

各要素が同じ確率で選ばれるように1つ取り出し、戻してから、互いに影響しない方法で同じ操作を繰り返します。この復元抽出で第1回、第2回、……、第n回に得られる数値をそれぞれ確率変数 X₁、X₂、……、Xₙ とします。これらは同じ母集団の分布に従い、互いに独立です。このような確率変数の組を大きさ n の無作為標本と呼びます。ここでの n は抽出回数です。

図1のように、毎回同じ母集団から選ぶことが同分布に、各回の選択が互いに影響しないことが独立に対応します。両方を確かめて初めて独立同分布と判断できます。

図1の矢印は選択の手順を表し、選んだ記録を戻すことで次の回にも元の集合を使います。たとえば前の回と同じ記録を意図的に再選択するなら、戻していても独立ではありません。一方、各回が独立でも、第1回と第2回で選ぶ集合が異なれば、一般には同分布とは限りません。

抽出前の X₁ などは、何が出るか確定していない確率変数です。実際に第1回と第2回に 2 と 5 が出たなら、その実現した数値 2、5 が標本値です。標本値の平均は (2 + 5)/2 = 7/2 です。選ぶ前に考える標本平均は (X₁ + X₂)/2 という確率変数なので、観測後の 7/2 と記号の役割が違います。標本平均の分布や分散の公式を使う前にも、抽出の条件を確認する必要があります。

「各要素が等しい確率で選ばれる」と「異なる数値が等しい確率で現れる」も別です。同じ数値の要素が複数あれば、その数値の確率は要素の個数を合計して求めます。母集団の範囲と要素の数え方を決めずに、値の種類だけで分母を作らないようにします。

基本例題：戻して2回選ぶ

箱に同じ形のカードが4枚あり、記録された数は 1、1、3、5 です。各回に4枚のどれも同じ確率で1枚を選び、数を記録して戻します。2回の選択は互いに影響しないものとします。第1回、第2回の数を X₁、X₂ とするとき、各変数の分布と、両方が1となる確率を分数で求めてください。また、実際の記録が 3、1 だった場合の標本値とその平均を答えてください。

図2のように、数が1のカードは2枚あります。カードを等確率で選んでも、3種類の数値が等確率になるわけではありません。

まず1回の分布を数えます。各カードの確率は 1/4 です。

P(X₁ = 1) = 2/4 = 1/2    1のカードは2枚です。
P(X₁ = 3) = 1/4          3のカードは1枚です。
P(X₁ = 5) = 1/4          5のカードも1枚です。
1/2 + 1/4 + 1/4 = 1      分布の確率の合計です。

戻した後も同じ4枚から等確率で選ぶので、X₂ の分布も同じです。選択は互いに影響しないという条件から、X₁ と X₂ は独立です。したがって、両方が1になる確率は次の積です。

P(X₁ = 1 かつ X₂ = 1) = P(X₁ = 1)・P(X₂ = 1)    独立です。
                           = (1/2)・(1/2) = 1/4

元のカードに戻っても確かめられます。2回のカードの組は順序を区別して 4・4 = 16 通りあり、すべて同じ確率です。両方が1となる組は 2・2 = 4 通りなので 4/16 = 1/4 です。選んだ後の標本値は 3、1、平均は (3 + 1)/2 = 2 です。同じカードが2回選ばれる可能性も復元抽出には含まれます。

標準例題：戻さないと何が変わるか

数が 2、2、6、8 と書かれた4枚のカードから、各回に残っているカードを等確率で1枚選び、戻さずに2回選びます。第1回、第2回の数をそれぞれ Y₁、Y₂ とします。両方が2となる確率を分数で求め、Y₁ と Y₂ が独立かを判定してください。各回の分布が同じかも答えてください。

第1回に2を選ぶ確率は、4枚中2枚なので 2/4 です。その後は2のカードが1枚、全体が3枚残ります。したがって両方が2になる確率は、順に選ぶ確率を掛けて求めます。

P(Y₁ = 2 かつ Y₂ = 2) = (2/4)・(1/3)    第1回に2なら次は3枚中1枚です。
                           = 1/6

順序つきの異なるカードの組は 4・3 = 12 通りです。2のカード2枚を順に選ぶ組は 2・1 = 2 通りなので、2/12 = 1/6 と元の抽出手順でも確かめられます。

第2回の各カードは、どれも同じ確率でその位置に現れます。実際、特定の1枚が第2回に選ばれる組は、第1回に他の3枚のどれかを選ぶ3通りです。よって確率は 3/12 = 1/4 で、Y₂ の分布は Y₁ と同じです。

P(Y₁ = 2) = 2/4 = 1/2    第1回に2は2枚です。
P(Y₂ = 2) = 2/4 = 1/2    第2回も各カードは等確率です。
P(Y₁ = 2)・P(Y₂ = 2) = 1/4

同時に2となる確率 1/6 は 1/4 と異なります。よって同分布ですが独立ではありません。第1回に2を選んだという情報が、第2回に2を選ぶ確率を 1/2 から 1/3 に変えることも、独立でない理由です。同分布と独立は別々に検査する必要があります。

発展例題：選ぶ範囲が違うと何を測るか

ある1日の記録は午前4件、午後4件の計8件です。記録の値は午前が 0、0、0、4、午後が 4、4、4、8 です。午前の4件から等確率で1件を選んで戻す操作を、互いに影響しないように2回行います。得られる値を U₁、U₂ とします。1日の8件から等確率で1件を選んで戻す操作を、互いに影響しないように2回行う場合は V₁、V₂ とします。

それぞれについて、1回に4が出る確率と、2回とも4が出る確率を分数で求めてください。さらに、午前の抽出を繰り返せば1日全体の記録の平均を必ず得られるという主張を検討してください。

午前には4が1件あります。各回の選択は独立なので、次のように計算できます。

P(U₁ = 4) = 1/4                 午前4件中1件です。
P(U₁ = 4 かつ U₂ = 4) = (1/4)・(1/4) = 1/16

1日全体では4が午前に1件、午後に3件あります。

P(V₁ = 4) = (1 + 3)/8 = 1/2    全8件中4件です。
P(V₁ = 4 かつ V₂ = 4) = (1/2)・(1/2) = 1/4

分母は選択の対象となる記録の件数です。1日全体の値の合計は 0 + 0 + 0 + 4 + 4 + 4 + 4 + 8 = 24 なので、全体の平均は 24/8 = 3 です。一方、午前の平均は (0 + 0 + 0 + 4)/4 = 1 です。午前だけを何回選んでも午後の記録は選ばれません。午前の抽出は午前の集合に対して独立同分布でも、1日全体からの等確率の抽出ではないため、主張は成り立ちません。

この2回の午前の抽出では、標本平均は0、2、4のいずれかになり、1日全体の平均3とは一致しません。しかし、それは毎回必ず全体の平均に一致することを意味しません。対象を1日全体にするなら、全8件を選択対象に入れるなど、調べたい範囲に合わせて手順を設計します。標本数を増やす前に、選ばれない部分がないか点検します。

誤答を直す：同じ確率と独立を混ぜない

標準例題で「第1回も第2回も2の確率は 1/2 だから、両方が2の確率は 1/4」と答える誤りを考えます。各回の周辺の確率が同じという前半は正しいものの、それだけで積を使う後半は正当化できません。戻さないため、第1回に2を選んだ後の箱は元の箱と異なります。

図3のように、1回目の結果を受けて2回目の候補を数え直します。元の4枚を分母に使い続ける経路と、残った3枚を使う経路を区別してください。

図3の正しい経路では、最初に2を選ぶ確率 2/4 の後、2を選ぶ確率は 1/3 です。積は 1/6 となります。2回目だけを見た確率 1/2 は、第1回に何が選ばれたかを指定せずに集めた場合の値です。「第1回が2」という条件を付けた後の 1/3 と取り違えないことが修正の要点です。

別の誤りは、午前の記録を大量に取り出せば午後も代表できると考えることです。回数を増やしても午後の選択確率は0のままです。抽出の偶然による違いと、選ぶ範囲の偏りは別の問題として扱います。選ばれない記録にどんな値があるかを確認し、母集団に対する手順を見直してください。

練習問題

各問題の記録やカードは自作の設定です。確率は分数で答え、独立性を問う場合は理由も書いてください。

1. 数が 0、2、2、4、4 の5枚から、等確率で1枚ずつ選んで戻す操作を独立に2回行います。各回の値の分布と、2回とも4となる確率を求めてください。
2. 数が 1、1、3 の3枚から、残ったカードを等確率で1枚ずつ戻さずに2回選びます。両方が1となる確率を求め、2回の値が独立か判定してください。
3. 6件の記録の値が 2、2、2、5、5、8 です。全6件から等確率で1件を選んで戻す操作を独立に3回行います。最初の2回が5で、3回目が8となる確率を求めてください。
4. ある日の記録は朝が 1、1、4 の3件、夜が 7、7、10 の3件です。朝の3件から等確率で選んで戻す操作を独立に2回行います。1回に7が出る確率を求め、これを1日全体から等確率で選ぶ場合の確率と比較してください。
5. 数が 0、3、6、9 の4枚から1枚を等確率で選んで戻し、第2回には第1回と同じカードを必ず選びます。各回の値の分布が同じか、また2回の値が独立かを判定し、両方が0となる確率を求めてください。

練習問題の答えと解き方

1

5枚のうち0は1枚、2と4はそれぞれ2枚です。各回で同じ5枚から選ぶので、分布はどちらも次のとおりです。

P(0) = 1/5、P(2) = 2/5、P(4) = 2/5
1/5 + 2/5 + 2/5 = 1    カードの全枚数に対応します。
P(両方が4) = (2/5)・(2/5) = 4/25    各回は独立です。

元のカードの順序つきの組は 5・5 = 25 通りです。4のカードを2回選ぶ組は 2・2 = 4 通りなので、答えが元の条件に合います。

2

最初に1を選ぶ確率は 2/3 です。選んだ後は1のカードが1枚、カード全体が2枚残ります。

P(両方が1) = (2/3)・(1/2)    残りから選びます。
              = 1/3

第2回に各カードが現れる確率も 1/3 なので、第1回と第2回それぞれに1が出る確率は 2/3 です。その積 4/9 は同時確率 1/3 と異なり、2回の値は独立ではありません。順序つきの異なるカードの組は6通り、両方が1の組は2通りで、2/6 = 1/3 と確認できます。

3

全6件のうち5は2件、8は1件です。3回の選択は独立で、それぞれ同じ6件から選びます。

P(最初の2回が5、3回目が8) = (2/6)・(2/6)・(1/6)
                                  = 1/54

順序つきの記録の組は 6・6・6 = 216 通りです。条件に合う組は 2・2・1 = 4 通りなので 4/216 = 1/54 です。同じ記録を再び選べることも、この数え方に含まれます。

4

朝の3件には7がないため、朝だけの抽出で7が出る確率は 0/3 = 0 です。一方、1日全体には6件中2件の7があります。

P(全体から選んで7) = 2/6 = 1/3    夜の2件を数えます。

朝の抽出を繰り返しても7の選択確率は0です。朝の値の合計は 1 + 1 + 4 = 6、夜は 7 + 7 + 10 = 24 で、区別した件数は合計6件です。全体に対象を広げると、朝にはなかった値も選ばれます。

5

第1回は4枚が等確率なので、0、3、6、9 の確率はそれぞれ 1/4 です。第2回は必ず同じカードですから、第2回単独の分布も同じです。

P(両方が0) = P(第1回が0) = 1/4    2回目は同じカードです。
P(第1回が0)・P(第2回が0) = (1/4)・(1/4) = 1/16

同時確率と周辺確率の積が違うため独立ではありません。第1回が0なら第2回も必ず0です。戻しても選択を連動させれば独立にならないことを、4通りの第1回のカードに戻して確かめられます。

覚えておくこと

母集団は調べたい全体、標本は取り出した部分です。 復元に加え、等確率の選択と各回の独立を確認します。 確率変数は抽出前の値、標本値は実際に得られた値です。 同分布でも独立とは限らず、偏りは回数を増やすだけでは直りません。

つまずきの見分け方

まず、何を知りたいのかを聞き、対象の全体と実際に選べる記録を別々に書いてもらいます。両者が違う場合は、選ばれない記録があるか、選択確率がどうなるかを確かめます。平均の計算が合っていても、対象の範囲が違えば結論の行き先は変わります。

次に、2回目の候補を1回目の結果の後で書き出します。個別指導では、戻す場合と戻さない場合の分母を並べ、同時確率と各回の確率の積が一致するかを確認します。さらに、同じカードを強制的に選ぶ手順を示して、復元と独立を別の条件として説明できるかを尋ねます。記録された数値と抽出前の X₁ を言い換えられれば、計算を始める位置も定まります。選び方を言葉と式で結び直すと、標本が表す範囲を見失いません。