高校数学B 標準正規分布表—中心からの面積を左右の裾と区間の確率に直す｜武蔵野個別指導塾

負の端点を含む区間や両側の裾を、中心からの面積で求める道具が標準正規分布表です。

よくあるのは、高2の生徒が負の端点を含む面積を求めるとき、表の値の両方に0.5を足してしまう場面です。中心から右への面積と、右半分の面積は同じではありません。曲線の下に欲しい範囲を描き、表の値が受け持つ範囲を置き直すと、足す数も引く数も見えてきます。

ここでは標準正規分布に従う変数について、表の値から範囲の確率を求めます。標準化の計算や割合から端点を逆に探す問題には踏み込まず、与えられた端点が表に載る場合を扱います。

範囲の形で解き方を選ぶ

一つ目は、中心の0をまたぐ区間です。左端が負、右端が正なら、0で分けた二つの面積を足します。負の側は曲線の左右対称性で右側に移せます。0.5は半分全体の面積であり、どちらの小区間にも自動的に足す数ではありません。

二つ目は、両端が同じ側にある区間です。中心から遠い端までの面積から、近い端までを引きます。負の側なら左右を反転して、正の側の二つの端点を小さい順に並べ直すと、引き算の順序が見えます。

三つ目は、端点の外側に伸びる裾です。右の裾なら右半分の0.5から中心と端点の間を除きます。左右両方の裾を求めるときは、それぞれを別に求めて足すか、間にある範囲を全体1から引きます。左右の端が異なる場合は、片方を2倍してはいけません。

表が表すのはどの面積か

Zが平均0、分散1の正規分布N(0, 1)に従うとします。これを標準正規分布と呼び、0を中心として曲線は左右対称です。曲線と横軸の間の全体の面積は1、中心の左右の面積はそれぞれ0.5です。確率は該当する横の範囲の上にある面積で読みます。

図1のように、正の数zに対し、ここで使う標準正規分布表の値を A(z) = P(0≦Z≦z) とします。色の付いた部分は0からzまでで、zより右の裾でも、負の無限方向からzまでの全体でもありません。表の種類によっては別の範囲を載せるので、最初に表の図や見出しを確認します。

図1の薄い部分を中心で折り返すと、-zから0までの面積に重なります。したがって P(-z≦Z≦0) = A(z) です。Zは連続型の確率変数なので一点に当たる確率は0です。端点を含むかどうかは、この分布の区間確率を変えません。ただし不等号の向きまで変えてよいわけではありません。

例えば、表が端点の小数第1位までを行、小数第2位を列に並べる形なら、1.23は1.2の行と0.03の列の交点を読みます。別の表では端点を一列に並べることもあるため、数字の配置よりも見出しを優先します。以下では表の小数第4位までの値を使い、計算結果も小数第4位まで表します。表の値が丸められているため、得られる確率は近似値です。

0≦a≦bについて、左右対称性と面積の分割から、次の関係が成り立ちます。

P(-a≦Z≦b) = A(a) + A(b)
P(a≦Z≦b) = A(b) - A(a)
P(Z≧b) = 0.5 - A(b)
P(Z≦-a) = 0.5 - A(a)

最初の式では0を境に分け、次の式では大きな範囲から余分な部分を除いています。最後の2式は左右の半分から中心寄りの範囲を除いたものです。a = 0のときA(0) = 0なので、0から始まる場合も同じ式で扱えます。aとbの順序が逆のまま引くと負の値になり、面積として成り立ちません。

基本例題：中心をまたぐ区間

問題　ある装置の調整後のずれを表す指標Zは標準正規分布N(0, 1)に従うものとします。-0.37≦Z≦1.23となる確率を、中心からの面積を示す表を使い、小数第4位までの近似値で求めてください。

図2のように、対象を0で左右に分けます。表から、A(0.37) ≈ 0.1443、A(1.23) ≈ 0.3907を読みます。1.23では端点が1.2と0.03の和になることも確かめておきます。

左の部分は、0を軸に反転すると0から0.37までです。右の部分は表の形そのままです。0の一点は確率0なので、分けた部分を重複なく足せます。

P(-0.37≦Z≦1.23)
= P(-0.37≦Z≦0) + P(0≦Z≦1.23) 　範囲を0で分割
= A(0.37) + A(1.23) 　左側を対称な右側に移す
≈ 0.1443 + 0.3907 　表の値を代入
= 0.5350

答えは約0.5350です。確かめとして、左の外側は約0.5 − 0.1443 = 0.3557、右の外側は約0.5 − 0.3907 = 0.1093です。対象の区間と二つの外側を合わせると0.5350 + 0.3557 + 0.1093 = 1.0000で、全体の面積に戻ります。0.5を2回足すと全体1を超えるので、計算する前にも誤りを疑えます。

標準例題：負の側にある区間

問題　ある測定値を標準化した指標ZはN(0, 1)に従います。-1.42≦Z≦-0.64となる確率を、表の値を使って小数第4位までの近似値で求めてください。

両端は0の左にあります。対称な右側へ折り返すと端点の順番が変わり、0.64≦Z≦1.42です。中心から1.42までの面積には0から0.64までが余分に含まれるので、それを引きます。表からA(0.64) ≈ 0.2389、A(1.42) ≈ 0.4222です。

P(-1.42≦Z≦-0.64)
= P(0.64≦Z≦1.42) 　左右対称性を使う
= P(0≦Z≦1.42) - P(0≦Z≦0.64) 　余分な部分を引く
= A(1.42) - A(0.64) 　表の範囲で表す
≈ 0.4222 - 0.2389 　表の値を代入
= 0.1833

約0.1833が答えです。元の負の側で見直すと、-1.42から0までの面積0.4222から、-0.64から0までの0.2389を除いています。残るのは問題で求めた帯状の部分です。逆順に引けば負になり、確率の条件を満たさないとわかります。

もし区間が-0.64から1.42までなら、0をまたぐため引き算でなく足し算です。数の大小だけで式を選ばず、0が区間の内側にあるかを先に確かめてください。

発展例題：左右の外側を合わせる

問題　ある工程の指標ZはN(0, 1)に従います。基準から外れた状態を Z≦-0.86 または Z≧1.75 と定めます。この状態となる確率を、表の値を使って小数第4位までの近似値で求めてください。

左と右の裾は離れていて重ならないため、それぞれの確率を足せます。端点の絶対値が異なるので、対称性から左右の裾の面積が等しいとは言えません。表からA(0.86) ≈ 0.3051、A(1.75) ≈ 0.4599です。

P(Z≦-0.86) = 0.5 - A(0.86) 　左半分から中心側を除く
≈ 0.5 - 0.3051 　表の値を代入
= 0.1949
P(Z≧1.75) = 0.5 - A(1.75) 　右半分から中心側を除く
≈ 0.5 - 0.4599 　表の値を代入
= 0.0401
P(Z≦-0.86 または Z≧1.75)
≈ 0.1949 + 0.0401 　重ならない二つの裾を足す
= 0.2350

答えは約0.2350です。元の条件に戻して、外側の反対にある区間を調べます。その面積は約0.3051 + 0.4599 = 0.7650で、外側との和は1.0000です。左端の絶対値0.86は右端1.75より小さく、左の裾が右の裾より大きいという結果も図の形に合います。

この確認では同じ丸め値を使っているので、厳密な確率が小数第4位で必ず0.2350に丸まると保証するものではありません。表の近似値を先に丸めてから足し引きした答えだと明示することが必要です。

誤答を面積に戻して直す

基本例題で、負の端点があるという理由から「0.5 + 0.1443 + 0.5 + 0.3907」と書く誤答を考えます。計算すると1.5350で、確率が1を超えます。図3のように、左半分と右半分のそれぞれに、すでに含まれている中心付近の面積を重ねて足したことになります。

図3の下側の分割に戻れば、求めるのは-0.37から0までと0から1.23までの2か所です。左の面積は対称性で0.1443、右の面積は0.3907です。したがって0.1443 + 0.3907 ≈ 0.5350と直します。0.5を使うのは左端より左や右端より右の裾を、半分全体から引き出すときです。

別の誤りとして、表の値を「端点の左側全部」と読んでしまう場合があります。表の数が0.5未満でも、それが左側全部を表すとは限りません。0から正の端点までという表の定義を図の上で指さし、目的の範囲と一致するかを確認します。累積確率型の表が手元にある場合は、その表の定義に合わせて式を組み直します。

また、負の数の区間を対称移動した後に、端点の並びを逆にしたまま差を取る失敗もあります。例えば左から右への並びを書き直し、大きな中心からの面積から小さな面積を引けば、負の確率を防げます。端点が表に載らない場合は、勝手に近い値へ置き換えず、問題の指示や利用できる表を確認します。

練習問題

各問でZは標準正規分布N(0, 1)に従うものとし、表の小数第4位までの値を使って求めた確率を小数第4位までの近似値で答えてください。表の近似値を用いた加減を行い、途中で別の丸め方をしないものとします。測定値や条件は練習用に作ったものです。

1. ある材料の幅の指標について、0≦Z≦0.28となる確率を求めてください。
2. ある音の強さの指標について、Z≦-1.16となる確率を求めてください。
3. ある反応時間の指標について、-0.73≦Z≦2.08となる確率を求めてください。
4. ある装置の振動の指標について、1.31≦Z≦2.14となる確率を求めてください。
5. ある液量の指標について、Z≦-1.04 または Z≧1.57となる確率を求めてください。

練習問題の答えと解き方

1. 表の範囲をそのまま読む

求める範囲は0から正の端点までなので、表の定義と一致します。0.28に対応する表の値は0.1103です。

P(0≦Z≦0.28) = A(0.28) 　表の定義を使う
≈ 0.1103 　端点0.28の値を読む

約0.1103です。0から始まり右半分に収まる区間なので、答えが0以上0.5以下であることも確認できます。0.5を足すと区間に含まれない左半分まで数えてしまいます。

2. 左の裾を右の裾に移す

表からA(1.16) ≈ 0.3770です。求める左の裾は、対称性により1.16より右の裾と同じです。

P(Z≦-1.16) = P(Z≧1.16) 　左右対称性を使う
= 0.5 - A(1.16) 　右半分から中心側を除く
≈ 0.5 - 0.3770 　表の値を代入
= 0.1230

約0.1230です。左の裾0.1230と-1.16から0までの0.3770を足すと0.5000となり、元の左半分に戻ります。表の値0.3770自体を裾とすると、中心側の面積を答えたことになります。

3. 中心をまたぐ範囲を二つに分ける

表からA(0.73) ≈ 0.2673、A(2.08) ≈ 0.4812を読みます。0の左と右では別の端点を使います。

P(-0.73≦Z≦2.08)
= P(-0.73≦Z≦0) + P(0≦Z≦2.08) 　0で分割
= A(0.73) + A(2.08) 　左側を反転
≈ 0.2673 + 0.4812 　表の値を代入
= 0.7485

約0.7485です。区間の外側は約0.2327と約0.0188で、それらと答えを足すと1.0000になります。両端の絶対値が異なるため、片側の面積を2倍する方法は使えません。

4. 正の側の区間を差で取る

表からA(1.31) ≈ 0.4049、A(2.14) ≈ 0.4838です。0から遠い2.14までの面積から、0から近い1.31までの面積を除きます。

P(1.31≦Z≦2.14)
= A(2.14) - A(1.31) 　中心からの面積の差
≈ 0.4838 - 0.4049 　表の値を代入
= 0.0789

約0.0789です。答えに除いた0.4049を戻すと0.4838となり、0から2.14までの表の値に戻ります。引き算の順を逆にした負の数は確率になりません。

5. 二つの裾をそれぞれ求める

表からA(1.04) ≈ 0.3508、A(1.57) ≈ 0.4418です。左右の半分から、中心に近い部分をそれぞれ取り除きます。

P(Z≦-1.04) = 0.5 - A(1.04) 　左半分から中心側を除く
≈ 0.5 - 0.3508
= 0.1492
P(Z≧1.57) = 0.5 - A(1.57) 　右半分から中心側を除く
≈ 0.5 - 0.4418
= 0.0582
P(Z≦-1.04 または Z≧1.57)
≈ 0.1492 + 0.0582 　重ならない範囲を足す
= 0.2074

約0.2074です。中央の範囲は表の値を足して約0.7926となり、両側の裾と合わせると1.0000です。左右の裾をそれぞれ求めたことで、端点の異なる条件を元のまま扱えています。

覚えておくこと

• 表の値が0から正の端点までの面積かを確かめます。
• 負の側は0を軸に反転し、端点を並べ直します。
• 0をまたぐ区間は二つに分け、同じ側の区間は差を取ります。
• 裾は半分の0.5から中心側を引き、表の丸めによる近似と書きます。

つまずきを見分けるには

式の答えが0から1の間でも、目的と別の範囲を求めていることがあります。まず数直線に端点と0を置き、求めたい部分を塗ってから、使った表の値がどの部分に対応するかを説明してみてください。0.5を足したり引いたりしたなら、左右どちらの半分を使ったのかも言葉にします。

個別指導では、基本例題の左側を折り返した後の範囲が0≦Z≦0.37になるか、標準例題で大きい面積から小さい面積を引けるかを確かめます。さらに発展例題では、二つの裾が重ならないことと、中央部分を戻して全体が1になることを確認します。範囲を図に戻せれば、表の値の意味と計算の理由がつながります。