高校数学B 正規分布の標準化—不等式の端点と単位をそろえて標準変数へ移す｜武蔵野個別指導塾

長さの区間の両端を平均と標準偏差で変換し、負の端点や元の単位への戻し方を例題で確かめます。

よくあるのは、高2が部品の長さの範囲を標準正規分布の範囲に直すとき、上限だけを変換して下限を元の長さのまま残してしまう場面です。長さを表す数と、平均から標準偏差の何倍だけ離れたかを表す数は、同じ数直線の目盛りではありません。両端を同じ手順で移せば、もとの範囲に対応する場所が見えてきます。

どんな形で問われるか

第一に、平均と標準偏差が与えられた正規分布について、ある長さ以上、ある長さ以下という条件を標準変数の不等式に直す型があります。平均より小さい境界は負の数になるので、引き算の向きに注意します。

第二に、2つの端点を持つ範囲を移す型があります。下限と上限の両方に平均を引き、両方を標準偏差で割ります。片方だけを変換した式は、単位の異なる数を並べているため、範囲の意味を表せません。

第三に、標準化後の端点から元の値を求める型があります。標準偏差を掛けて平均を足すと、元の単位に戻ります。ここでは範囲の対応を正確に作ることに集中し、正規分布表を使った面積の数値計算は扱いません。

平均からの距離を目盛りにする

確率変数 X が平均 m、分散 σ² の正規分布 N(m, σ²) に従い、σ > 0 とします。σ は標準偏差です。このとき Z = (X − m)/σ とおくと、Z は平均 0、分散 1 の標準正規分布 N(0, 1) に従います。これを標準化といいます。分布の記号の第2成分は標準偏差ではなく分散です。

図1のように、まず平均を引いて中心を 0 に移し、その差を標準偏差で割ります。X と m と σ は同じ単位で表す必要があります。たとえば X が cm なら、m と σ も cm にそろえます。差を同じ単位の σ で割るので、Z に長さの単位は付きません。

図1の操作は、1つの値にも区間の両端にも同じように適用します。m 自身は 0、m + σ は 1、m − σ は -1 に移ります。負の値は長さが負という意味ではなく、元の値が平均より小さいという位置の情報です。

端点 a と b が a < b を満たすとき、a ≦ X ≦ b の各辺から m を引き、正の数 σ で割ると、(a − m)/σ ≦ Z ≦ (b − m)/σ です。正の数で割るため不等号の向きは変わりません。端点が平均の左右のどちらにあるかを計算前に見ておくと、符号の点検に使えます。

元に戻す式は Z = (X − m)/σ の両辺に σ を掛け、m を足した X = m + σZ です。標準化は値の位置を別の目盛りで言い換える操作なので、対応する事象の確率は等しくなります。正規分布という条件は Z が標準正規分布に従うことに必要です。一方、同じ値を正の σ で変換する不等式の操作自体は、他の分布でも成り立ちます。

単位と境界を点検する

単位を変えるときには、確率変数だけでなく平均と標準偏差も同じ割合で換算します。たとえば mm で与えられた長さを cm に直すなら、それぞれを 10 で割ります。分子の差も分母も同じ割合で小さくなるため、標準化した値は変わりません。片方だけを換算すると平均からの距離を正しい尺度で割ったことにならず、端点がずれてしまいます。

また、範囲が片側だけの場合は、有限の端点だけを変換します。X ≧ a なら Z ≧ (a − m)/σ です。上限が書かれていないからといって、平均を勝手に上限に加えてはいけません。X < b も同様に Z < (b − m)/σ となります。正の数で割ることと、どちらの側を残すかを別々に点検します。

標準化の結果が -2 であれば、その元の値は平均から標準偏差の 2 倍だけ下にあります。2 なら同じ距離だけ上です。符号を除いた数が距離の倍率であり、符号が向きを表します。この読み方は、計算した端点が図のどこに来るかを判断するときにも役立ちます。

基本例題：長さの両端を移す

ある部品の長さ X cm は N(50, 4²) に従うとします。46 cm 以上 58 cm 以下という条件を、標準正規分布に従う Z の不等式に直してください。答えは整数の端点で表します。

分散は 4² なので、正の標準偏差は 4 cm です。図2のように、元の目盛りの両端をそれぞれ移します。

図2の左端について、平均を引いて標準偏差で割ると、(46 − 50)/4 = -4/4 = -1 です。右端も同じ操作により、(58 − 50)/4 = 8/4 = 2 です。したがって、求める条件は -1 ≦ Z ≦ 2 です。

式全体で確かめると、46 ≦ X ≦ 58 の各辺から 50 を引いて -4 ≦ X − 50 ≦ 8、各辺を正の 4 で割って -1 ≦ (X − 50)/4 ≦ 2 となります。中央は Z ですから、先ほどの結果に一致します。

元へ戻すと、左端は 50 + 4・(-1) = 46 cm、右端は 50 + 4・2 = 58 cm です。両方とも問題の端点に戻ります。確率についても P(46 ≦ X ≦ 58) = P(-1 ≦ Z ≦ 2) と書けますが、この等式は面積の数値を求めたものではありません。

標準例題：平均より小さい範囲

袋に入れる材料の質量 X g が N(120, 10²) に従うとします。95 g 以上 115 g 未満という条件を Z = (X − 120)/10 で表してください。端点は小数第1位まで示します。

標準偏差は正の 10 g です。左端は平均より 25 g 小さいので、(95 − 120)/10 = -25/10 = -2.5 です。右端も平均より小さく、(115 − 120)/10 = -5/10 = -0.5 です。よって条件は -2.5 ≦ Z < -0.5 です。

左の等号は残り、右の未満も残ります。平均を引き正の数で割っただけなので、境界を含むかどうかは変わりません。左端を戻すと 120 + 10・(-2.5) = 95 g、右端は 120 + 10・(-0.5) = 115 g です。2つとも平均より小さく、元の条件と整合します。

連続型の正規分布では端点1点の確率は 0 なので、確率の値だけなら等号の有無で変わりません。それでも事象の変換としては問題の不等号を保つと、元の条件を正確に読み戻せます。

発展例題：標準化した端点から戻す

ある糸の長さ X cm が平均 80 cm、標準偏差 6 cm の正規分布に従います。Z = (X − 80)/6 とするとき、-1.5 < Z ≦ 0.5 に対応する X の範囲を小数第1位まで cm で表してください。

まず正の 6 を各辺に掛けます。不等号の向きは変わらず、-9.0 < X − 80 ≦ 3.0 です。各辺に 80 を足して、71.0 < X ≦ 83.0 を得ます。単位を付けると 71.0 cm より長く、83.0 cm 以下です。

逆に端点を標準化すると、(71.0 − 80)/6 = -9/6 = -1.5、(83.0 − 80)/6 = 3/6 = 0.5 です。左は平均より 1.5 標準偏差分小さく、右は 0.5 標準偏差分大きいので、端点の位置関係も元の条件と一致します。標準偏差の 6 は分散ではなく、元の単位に戻す倍率として使います。

誤答を直す：片方だけ別の目盛りにしない

基本例題の 46 ≦ X ≦ 58 から、46 ≦ Z ≦ 2 と書く誤りを考えます。上端の 2 は正しく求めていますが、下端の 46 は cm の目盛りのままです。Z は単位のない数なので、同じ不等式に混ぜてはいけません。

図3のように左端にも平均を引き、標準偏差で割ると -1 になります。修正後は -1 ≦ Z ≦ 2 です。もし誤った式の左端 46 を Z の値とみなすと、46 > 2 ですから条件を満たす Z はありません。元の 46 cm から 58 cm の間には値があることと対応しません。

図3の修正は、単に左端にマイナスを付ける操作ではありません。46 から平均 50 を引き、差を 4 で割る計算が必要です。別の条件では下端が平均より大きいこともあり、その場合の標準化後の下端は正です。端点の符号は平均との位置関係から決まります。

もう1つの誤りは、N(m, 9) の 9 で割ることです。第2成分 9 は分散なので、標準偏差は正の平方根 3 です。平均を引いた差を 3 で割ります。分散が 0 の場合は標準偏差も 0 で割れず、この標準化は使えません。まず分散が正であることを確かめてください。

解き直しの順番

式を移した後は、元の端点に戻して検算します。2つの端点があるときは、右端だけが合っていても十分ではありません。左端と右端をそれぞれ m + σZ に代入し、元の単位を添えて比べます。不等号の等号も元の問題と照らします。

標準化前に下端が上端より小さいなら、σ > 0 の変換後もその順番は保たれます。変換後の下端が上端を超えた場合は、引き算の順序や負の数の大小を見直します。たとえば負の数どうしでは、絶対値の大きい負の数が左側にあります。左右の順番を確かめることは、計算の符号を見直す手がかりです。

逆変換では先に σ を掛けてから m を足します。先に平均を足してから全体に σ を掛けると、平均まで倍率を掛けることになり、別の変換になってしまいます。Z = 0 を入れたときに X = m に戻るかを調べると、この順序の誤りに気づけます。

練習問題

各問で示す正規分布の第2成分は分散です。標準化後の端点に単位は付けず、元に戻した端点には指定の単位を付けてください。確率の数値計算は不要です。

1. 測定値 X mm は N(30, 5²) に従います。25 ≦ X ≦ 40 を Z = (X − 30)/5 の条件に直し、端点を整数で答えてください。
2. 質量 X g は N(200, 20²) に従います。X < 170 を標準変数 Z の条件に直し、端点を小数第1位で答えてください。
3. 時間 X 秒は N(70, 9) に従います。64 < X ≦ 73 を標準変数 Z の条件に直し、端点を整数で答えてください。
4. 長さ X cm は平均 45 cm、標準偏差 8 cm の正規分布に従います。標準変数について -0.5 ≦ Z < 1.5 のとき、元の X の範囲を整数の端点と cm で答えてください。
5. 温度 X ℃ は平均 18 ℃、標準偏差 σ ℃ の正規分布に従い、σ > 0 です。24 ℃ が標準化後に 2 に対応するとき、σ を整数と単位で求め、12 ≦ X ≦ 24 を標準変数の条件に直してください。

練習問題の答えと解き方

1. 標準偏差は 5 mm です。左端は (25 − 30)/5 = -5/5 = -1、右端は (40 − 30)/5 = 10/5 = 2 です。したがって -1 ≦ Z ≦ 2 です。逆に 30 + 5・(-1) = 25 mm、30 + 5・2 = 40 mm となり、元の両端に戻ります。

2. 標準偏差は 20 g です。端点は (170 − 200)/20 = -30/20 = -1.5 です。正の 20 で割るので向きは変わらず、Z < -1.5 です。平均 200 を用いて戻すと、200 + 20・(-1.5) = 170 g です。未満も保たれています。

3. 分散が 9 なので、標準偏差は √9 = 3 秒です。左端は (64 − 70)/3 = -6/3 = -2、右端は (73 − 70)/3 = 3/3 = 1 です。よって -2 < Z ≦ 1 です。戻すと 70 + 3・(-2) = 64 秒、70 + 3・1 = 73 秒で、含む側も一致します。

4. 各辺に正の 8 を掛けると -4 ≦ X − 45 < 12 です。各辺に 45 を足し、41 ≦ X < 57 です。したがって 41 cm 以上 57 cm 未満です。端点を戻して (41 − 45)/8 = -0.5、(57 − 45)/8 = 1.5 と確認します。

5. 条件から (24 − 18)/σ = 2 です。σ > 0 なので両辺に σ を掛けて 6 = 2σ、よって σ = 3 ℃ です。左端は (12 − 18)/3 = -2、右端は (24 − 18)/3 = 2 なので、-2 ≦ Z ≦ 2 です。18 + 3・(-2) = 12 ℃、18 + 3・2 = 24 ℃ と元に戻り、右端は与えられた 2 にも一致します。

覚えておくこと

標準化は Z = (X − m)/σ、逆変換は X = m + σZ です。 σ は正の標準偏差で、分散 σ² と区別します。 区間の両端を同じ操作で移し、元の不等号を保ちます。

つまずきを見分けるには

端点の符号が不安なときは、計算前にその端点が平均の左か右かを言葉で確認します。平均より小さい端点なら、正の標準偏差で割った結果は負です。平均を基準とする位置を見ずに符号を決めていないか、式の分子を指して確かめます。

個別指導では、まず N(m, σ²) の第2成分から σ を求めてもらい、次に両端それぞれの引き算と割り算を別々に書いてもらいます。最後に逆変換して元の値と単位へ戻れば、端点の取り違えや分散で割る誤りを自分で発見できます。標準化した数は、平均からの距離を標準偏差で測った位置を表します。