高校数学B 正規分布の平均と分散—中心と広がりから曲線と記号の意味を読み取る｜武蔵野個別指導塾

同じ中心を持つ正規分布の曲線を比べ、標準偏差が2倍になると頂点の高さが半分になる関係を読み取ります。

よくあるのは、高2の人が平均の等しい2本の正規分布の曲線を描くとき、分散が大きい方を高く細く描いてしまう場面です。横軸に測定値を置くと、広がりの大きい分布は中心から離れたところにも面積が広がります。全体の面積はどちらも1なので、中心付近の高さも含めて形を見直す必要があります。記号の2つ目が標準偏差ではなく分散であることから、順に整理しましょう。

曲線を読む3つの型

第一に、N(m, σ²) という記号から平均、分散、標準偏差を読み取る型があります。2つ目に書かれた数をそのまま標準偏差とするのではなく、正の平方根を取ります。たとえば2つ目が25なら、分散は25、標準偏差は5です。測定値の単位が cm なら、標準偏差は cm、分散は cm² です。

第二に、複数の曲線の中心と広がりを比較する型があります。平均が同じなら対称の軸は共通です。そのうえで分散の大きい方が広く、頂点は低くなります。平均が違えば中心の位置も異なりますから、高さだけを見て平均まで判断しないようにします。

第三に、中心や標準偏差の条件から分布の記号を作る型があります。標準偏差を2乗してから2つ目の場所に書きます。条件を逆向きにたどり、できた記号の平均と分散が元の条件に戻るか確かめると、読み違いを見つけられます。

中心と広がりを表す記号

確率変数 X が平均 m、分散 σ² の正規分布に従うとき、X は N(m, σ²) に従うと表します。ここで σ は正の数で、標準偏差を表します。正規分布の曲線は平均 m を中心として左右対称で、中心で最も高く、両側へ離れるにつれて低くなります。横軸は X の取りうる値で、曲線の高さは確率密度です。

図1のように、中心の位置は平均で決まり、広がりは標準偏差で比較できます。図では中心をそろえ、濃い曲線を狭い分布、もう一方を広い分布として描いています。どちらの曲線と横軸に挟まれた全体の面積も1です。曲線の高さそのものは確率ではなく、区間に対応する面積が確率を表します。

図1の2本は同じ横軸と縦軸で描いています。この共通の尺度が比較の前提です。縦軸の尺度を別々に変えた図では、見かけの高さだけから分散の大小を判断できません。また、左右対称だから平均の右側と左側の面積はそれぞれ1/2です。中心から左右同じ距離の位置では曲線の高さも等しくなります。

分散は平均からのずれの2乗の平均で、標準偏差はその正の平方根です。両者はどちらも広がりを表しますが、数値も単位も異なります。正規分布では標準偏差を大きくすると、横方向へ引き伸ばされる一方、面積を1に保つため縦方向には低くなります。ここでは曲線の形と対称性を使い、個別の区間の面積を表から求める計算には進みません。

図を比べるときの読み順

曲線を見たら、まず頂点の真下にある横軸の値を読みます。正規分布ではその値が平均であり、左右対称の軸を示します。次に、同じ横軸の尺度で曲線がどれくらい広がっているかを見ます。中心が異なる曲線でも、位置の差と広がりの差は別々に判断できます。頂点が右にあるという情報だけでは、分散の大小は決まりません。

高さを比べる際は縦軸の尺度も共通であることを確認します。同じ標準偏差で平均だけが違う2つの正規分布なら、一方は他方を横に移した形で、頂点の高さは等しくなります。反対に、同じ平均と同じ頂点の高さを持つ2つの正規分布は、標準偏差も等しく、同じ形になります。この判断は正規分布の曲線についての性質です。左右対称な曲線なら何でもこの結論を使えるわけではありません。

確率を図から読むときは、縦の高さではなく範囲に対応する面積に注目します。中心で曲線が最も高いとしても、中心という一点の確率がその高さになるわけではありません。連続型の正規分布では一点の確率は0です。中心より右の面積と左の面積は対称性から等しく、全体が1なのでそれぞれ1/2です。この結論には標準偏差の具体的な数は必要ありません。

基本例題：同じ中心で広がりを比べる

ある装置の測定値 X と Y は、それぞれ正規分布 N(50, 4)、N(50, 16) に従うとします。単位は mm です。平均、分散、標準偏差をそれぞれ求め、共通の軸に描いたときの中心と頂点の高さを比較してください。答えは整数と単位で示します。

図2のように、まず2つ目の数を分散として読みます。標準偏差はその平方根なので、次の順に求めます。

X の平均 = 50 mm。記号の最初の数です。

X の分散 = 4 mm²。記号の2つ目の数です。

X の標準偏差 = √4 = 2 mm。分散の正の平方根です。

Y の平均 = 50 mm、分散 = 16 mm²。同様に記号から読みます。

Y の標準偏差 = √16 = 4 mm。分散の正の平方根です。

両方の平均が50 mmなので、対称の軸は共通して50です。Y の標準偏差4 mmは X の2 mmの2倍であり、Y の曲線は横に広く、頂点は X より低くなります。図2では同じ軸上で、X を細く高く、Y を広く低く描いています。

元の記号へ戻して確かめます。X の標準偏差2 mmを2乗すると4 mm²、Y の4 mmを2乗すると16 mm²です。どちらも与えられた分散に戻ります。中心の50は標準偏差と足し合わせる値ではなく、曲線の位置を決める平均です。

標準例題：条件から記号を作る

ある部品の長さ L は正規分布に従い、平均は80 mm、標準偏差は3 mmです。L の分布を N の記号で表し、平均を変えずに標準偏差を6 mmにした分布と頂点の高さを比べてください。

記号の2つ目に必要なのは分散です。標準偏差を2乗し、単位も合わせて確認します。

L の分散 = 3² = 9 mm²。標準偏差の2乗です。

したがって L は N(80, 9) に従います。最初の数が平均、次の数が分散です。

比較する分布の分散 = 6² = 36 mm²。同じく標準偏差を2乗します。

比較する分布は N(80, 36) です。どちらも中心は80 mmです。

標準偏差6 mmは3 mmの2倍なので、比較する分布は L の曲線を横に2倍に広げた形です。全体の面積を1に保つため、その頂点の高さは L の半分です。分散は4倍ですが、高さが1/4になるわけではありません。広がりの倍率に使うのは分散ではなく標準偏差です。

逆に読み戻すと、√9 = 3、√36 = 6 です。最初に与えられた長さのばらつきと比較条件の両方に戻るので、記号の2つ目に標準偏差を直接入れる誤りを避けられます。

発展例題：中心と高さの情報を組み合わせる

正規分布 A、B は共通の軸上に描かれ、A は N(12, 9) です。B の中心は A より4だけ右にあり、B の頂点の高さは A の1/2です。B の平均、分散、標準偏差を求め、N の記号で表してください。答えは整数で示します。

A の平均 = 12。記号の最初の数を読みます。

A の分散 = 9、標準偏差 = √9 = 3。記号の2つ目から求めます。

B の平均 = 12 + 4 = 16。中心が右に4移るという条件を使います。

正規分布の頂点の高さは標準偏差に反比例します。B の高さが A の1/2なので、B の標準偏差は A の2倍です。

B の標準偏差 = 3・2 = 6。広がりの倍率をかけます。

B の分散 = 6² = 36。分散は標準偏差の2乗です。

よって B は N(16, 36) に従います。平均の移動は位置を変えますが、それ自体は曲線の高さを変えません。

検算では、中心の差が16 − 12 = 4で、条件どおり右へ移っています。また、標準偏差の比は6/3 = 2なので、高さの比はその逆の1/2です。分散の比は36/9 = 4ですが、これを高さの逆比として使うと条件と一致しません。形の倍率と分散の倍率を別々に書くことが判断の鍵です。

誤答を直す：2つ目の数をそのまま幅にしない

「N(30, 9) の標準偏差は9、N(30, 4) の標準偏差は4だから、前者は後者の9/4倍の幅です」という答えを考えます。分散の大小は正しく比べていますが、幅の倍率を読む段階で分散と標準偏差を混同しています。

図3のように、分散から標準偏差への矢印に平方根を書き込むと、何を直すかが明確になります。分散の値を読んだ後に平方根を取る手順を省かないことが必要です。

修正すると、前者の標準偏差は √9 = 3、後者は √4 = 2 です。標準偏差の比は3/2なので、前者は後者を横に3/2倍に広げた形になります。全体の面積は両方とも1で、頂点の高さの比は2/3です。実際に (3/2)² = 9/4 と戻せば、分散の比とも一致します。

もう1つの誤りは、分散が大きい方を高く細く描くことです。横に広がるときに高さまで上げると、面積1を保つ正規分布の形と両立しません。中心が同じかを先に確認し、その後で広い方を低く描きます。中心が異なる場合は、幅の比較とは別に対称の軸も移します。

練習問題

次の問題は、いずれも与えられた確率変数が正規分布に従うとします。答えの形を指定したうえで、記号と元の条件を往復して確かめてください。

1. 質量 T が N(24, 49) に従います。平均、分散、標準偏差を整数で求めてください。質量の単位は g です。
2. 時間 U の平均は18秒、標準偏差は4秒です。分布を N の記号で表し、分散を単位つきの整数で求めてください。
3. V は N(40, 25)、W は N(40, 100) に従います。共通の軸上で、どちらの頂点が高いか、V の頂点の高さを W の何倍とするかを整数で求めてください。
4. 曲線 C は N(7, 16) に従います。曲線 D は C より中心が左に3あり、標準偏差は C の半分です。D の分布を N の記号で表してください。
5. 曲線 E、F の平均はともに20です。E の分散は64で、F の頂点は E の2倍の高さです。F の標準偏差と分散を整数で求め、分布を N の記号で表してください。

練習問題の答えと解き方

1

平均 = 24 g。記号の最初の数です。

分散 = 49 g²。2つ目の数です。

標準偏差 = √49 = 7 g。分散の正の平方根です。

7² = 49なので、標準偏差から元の分散に戻ります。単位も g を2乗して g² になります。

2

分散 = 4² = 16 秒²。標準偏差を2乗します。

したがって U は N(18, 16) に従います。平均18と分散16を順に置きます。

√16 = 4秒なので、記号から元の標準偏差を読み戻せます。N(18, 4) とすると標準偏差は2秒になり、条件に戻りません。

3

V の標準偏差 = √25 = 5。分散の平方根です。

W の標準偏差 = √100 = 10。同様に求めます。

W の標準偏差は V の10/5 = 2倍です。したがって W は2倍の幅を持ち、頂点は V の1/2の高さです。

よって頂点が高いのは V で、その高さは W の2倍です。幅の比を2乗すると4となり、分散の比100/25 = 4に戻ります。

4

C の平均 = 7、標準偏差 = √16 = 4。記号から読みます。

D の平均 = 7 − 3 = 4。中心を左に3移します。

D の標準偏差 = 4/2 = 2。条件の半分を使います。

D の分散 = 2² = 4。標準偏差を2乗します。

よって D は N(4, 4) に従います。平均の差は7 − 4 = 3、標準偏差の比は2/4 = 1/2で、元の両条件を満たします。

5

E の標準偏差 = √64 = 8。分散から求めます。

F の頂点が2倍なら、標準偏差は E の1/2です。正規分布の高さと標準偏差は反比例します。

F の標準偏差 = 8/2 = 4。

F の分散 = 4² = 16。標準偏差を2乗します。

F の平均は20なので、F は N(20, 16) に従います。標準偏差の比は4/8 = 1/2で、頂点の高さの比はその逆の2です。与えられた高さの条件に戻ります。

覚えておくこと

N(m, σ²) の中心は m、分散は σ²、標準偏差は正の数 σ です。 平均が同じなら、標準偏差が大きい曲線ほど広く低くなります。 幅の倍率は標準偏差の比、高さの倍率はその逆です。

つまずきを見分けるには

N(5, 36) を見て標準偏差を36と答えたら、まず2つ目の数の名前を尋ねます。分散と答えられても、正の平方根を取る手順が抜けていることがあります。個別に確かめるときは √36 = 6 と書いた後で、6² = 36 に戻せるかを見ます。式と単位を両方説明できれば、単なる暗記から一歩進めます。

曲線の絵で迷う場合は、平均の位置に縦の目印を置き、同じ軸を使って広がりを比較します。左右対称か、広い方の頂点が低いか、全体の面積がどちらも1かを順に確認します。中心と幅を別々に読み取ることで、正規分布の形は根拠を持って描けます。