高校数学B 数学的帰納法による整数の性質—倍数の形を保って次の数へ進む式を作る｜武蔵野個別指導塾

次の番号の式に仮定の倍数表示を作り、残った項まで指定された整数の倍数になるように変形します。

よくあるのは、高2の高校生がいくつかの項を調べ、どれも割り切れたので全体について断定してしまう場面です。試し算は規則を予想する手がかりですが、調べていない番号の成立は残ります。整数の性質を帰納法で示すときは、ある番号で割り切れるという仮定を、次の番号の式の中に取り出します。さらに、取り出した後の部分も指定された整数の倍数だと示します。

要点（結論から）

• 開始番号で実際に成立することを確かめます。
• 任意の k の仮定を、割る数と整数の積で表します。
• 次の式を仮定の式と残りに分け、両方が倍数であることを示します。

割り切れることをどう問われるか

指数を含む式が、どの自然数 n でもある整数で割り切れると示す問題があります。また、初項と漸化式で定まる数列の各項が倍数になることを問う形もあります。いずれも、最初に番号の範囲と割る数を確認し、次の式を仮定と結びつけます。

余りを問う場合は、式からその余りを引いたものが割る数の倍数かを調べます。ただし、余りとして答える数は 0 以上で、割る正の整数より小さくなければなりません。倍数であることを示せても、例えば割る数より大きい数をそのまま余りとして答えることはできません。

条件が成り立たないことを示す場面では、指定された範囲の中で反例を1つ示せば十分です。何項かが成立したことと、1項でも失敗したことは、全称の主張に対する役割が異なります。まず n=1 が範囲に含まれるかを見て、実際に代入しましょう。

倍数表示を次へ運ぶ

整数 A が正の整数 d で割り切れるとは、ある整数 m を使って A = dm と表せることです。A が負でも 0 でも、この定義は使えます。たとえば 0 = d・0 なので 0 も d の倍数です。商が整数であることまで含めて、倍数という言葉の意味になります。

自然数 n が初めの番号 n₀ 以上のとき命題 P(n) を示すには、まず P(n₀) を確かめます。次に任意の整数 k ≥ n₀ について P(k) を仮定し、その仮定から P(k+1) を導きます。この2つがそろえば、初めの番号から次々に成立します。仮定するのは k の命題であり、証明したい k+1 の命題ではありません。

図1のように、仮定の式を d の整数倍に置き換えた後、残りも d の整数倍にします。整数の和と積は整数なので、最後の括弧も整数です。矢印の前に初めの番号が成立していることも必要です。

図1の2つの条件のうち、初期の成立が抜けると、次へ進む仕組みがあっても最初に成立する保証がありません。逆に初期の成立だけでは、その次以降を結ぶことができません。両方の役割を分けて書きます。

指数式では、次の指数の式から前の指数の式を作るため、係数を掛けて足し引きします。数列では漸化式に仮定を代入します。いずれの場合も、割る数が変わらないことと、掛ける数や残りの商が整数であることを確認します。数値をいくつか試すことは式の形を探す助けですが、帰納法の2段階の代わりにはなりません。

基本例題：差を取り出す

例題1　すべての自然数 n について、3ⁿ − 1 が 2 の倍数であることを証明してください。

まず n=1 では 3¹ − 1 = 2 です。2 は 2 の倍数なので初めの命題は成立します。次に任意の自然数 k で成立すると仮定します。つまり、ある整数 m によって次のように書けます。

3ᵏ - 1 = 2m

示したいのは 3 の k+1 乗から 1 を引いた数が 2 の倍数であることです。指数の法則を使って 3・3ᵏ とし、仮定の左辺を作ります。

3 の k+1 乗 - 1
= 3・3ᵏ - 1
= 3・(3ᵏ - 1) + 2
= 3・2m + 2
= 2(3m + 1)

m は整数なので 3m + 1 も整数です。したがって次の番号でも 2 の倍数です。初期の成立と次への移行から、すべての自然数 n で命題が成立します。

図2のように、3 倍した仮定の式に 2 を加えると次の式になります。ここで足す 2 を書き落とすと、元の式と一致しません。実際に n=2 では 9 − 1 = 8 であり、初めの差 2 を 3 倍した 6 だけでは不足します。数値は変形の確認に使い、全体の証明には上の帰納法を使います。

標準例題：指数の異なる2つの項

例題2　すべての自然数 n について、5ⁿ − 2ⁿ が 3 の倍数であることを証明してください。

n=1 のとき、5 − 2 = 3 ですから成立します。任意の自然数 k で成立すると仮定し、整数 m を用いて 5ᵏ − 2ᵏ = 3m と置きます。次の番号では両方の指数が1ずつ増えるので、片方の係数に合わせて仮定の差を作ります。

5 の k+1 乗 - 2 の k+1 乗
= 5・5ᵏ - 2・2ᵏ
= 5・(5ᵏ - 2ᵏ) + 3・2ᵏ
= 5・3m + 3・2ᵏ
= 3(5m + 2ᵏ)

k は自然数なので 2ᵏ は整数であり、括弧内も整数です。よって k+1 でも成立し、帰納法により求める性質が示されます。例えば n=2 を元の式に戻すと 25 − 4 = 21 で、3 の倍数です。これは計算の照合であって、証明の代用ではありません。

同じ式は 2・(5ᵏ − 2ᵏ) + 3・5ᵏ と分けても示せます。どちらでも、仮定の差と、残った 3 の倍数の両方が必要です。片方の項だけを 5 倍してもう一方を調整しないと、次の式と一致しないため、展開して戻せるかを見ます。

発展例題：漸化式と余り

例題3　数列を a₁ = 7、aₙ₊₁ = 4aₙ + 3（n は自然数）で定めます。すべての自然数 n について aₙ を 3 で割った余りが 1 であることを証明してください。

余りが 1 であることは、aₙ − 1 が 3 の倍数であることに言い換えられます。1 は 0 以上 3 未満なので、この言い換えから指定の余りを結論できます。漸化式は自然数 n ごとに次の整数を定め、初項が整数なので各項も整数です。

n=1 では a₁ − 1 = 6 = 3・2 です。任意の自然数 k で aₖ − 1 = 3m となる整数 m があると仮定します。漸化式に合わせて次の差を変形します。

aₖ₊₁ - 1
= 4aₖ + 3 - 1
= 4(aₖ - 1) + 6
= 4・3m + 6
= 3(4m + 2)

4m + 2 は整数なので、次の差も 3 の倍数です。帰納法により各項を 3 で割った余りは 1 です。実際に元の漸化式で a₂ = 4・7 + 3 = 31、a₃ = 4・31 + 3 = 127 となり、それぞれ 3 で割った余りは 1 です。

初項が同じ漸化式でも異なれば、初期の確認結果は変わります。例えば初項を 8 に変えると、最初の余りは 2 です。次への変形を作る前に初項を調べることで、成立しない命題を証明しようとする手間を避けられます。

誤答を直す：仮定と結論を区別する

例題2で「5 の k+1 乗 − 2 の k+1 乗 = 3m と置けるので成立」と書くのは誤りです。その式は示したい結論そのもので、k の場合の仮定から導かれていません。m を整数と呼ぶだけでは、該当する整数が存在する理由にはなりません。

図3のように、仮定の箱には k の式を置き、次の式をその箱と残りの倍数に分けます。残りが本当に 3 の倍数か、括弧を展開したときに元の2項に戻るかを点検します。

図3では残りが 3・2ᵏ なので、仮定と合わせて 3 の整数倍になります。仮定の差が見えたところで止めず、残りを処理してから結論を書きます。仮定に使った整数 m は k に応じて変わってよく、次の番号で同じ商になる必要はありません。

もう1つの失敗は、初期の番号を間違えることです。n ≥ 2 の命題なら n=2 を確かめ、移行も k ≥ 2 で示します。n=1 の確認が失敗しても n ≥ 2 の命題が直ちに誤りになるわけではありません。一方、指定がすべての自然数なら、n=1 の失敗は反例です。

成り立たない場合の調べ方

倍数の仮定を使っても、残りが割る数の倍数にならない場合があります。そのとき、別の分け方を試す前に、小さい番号を元の式へ代入して命題が正しいかを確認します。例えば「すべての自然数 n で 2ⁿ − 1 は 3 の倍数」という主張は、n=1 で値が 1 なので成立しません。次の式をうまく変形できない理由は、計算の技術不足ではなく、命題自体が偽であることにもあります。

初期値が成立していても安心はできません。結論に複数の条件が含まれるときは、それぞれを次の番号へ運べるか確かめます。仮定を使わずに残った部分が倍数かどうかも、独立に点検することが必要です。余りを求める際には、負の整数を得た場合も割る数の倍数を足して、所定の範囲の余りに直します。割る数が正であることも前提です。例えば 5 で割った余りを調べるとき、式が 5 の倍数から 1 を引いた形なら、余りは 4 です。

練習問題

次の5問はそれぞれ独立です。証明では初期の成立、仮定、次への移行を書き、余りを問う場合は余りを整数で答えてください。

1. すべての自然数 n について、4ⁿ − 1 が 3 の倍数であることを証明してください。
2. すべての自然数 n について、7ⁿ − 3ⁿ が 4 の倍数であることを証明してください。
3. b₁ = 5、bₙ₊₁ = 3bₙ + 2（n は自然数）で定まる数列の各項を 4 で割った余りを求め、証明してください。
4. n ≥ 2 のすべての自然数 n について、6ⁿ + 4 が 10 の倍数であることを証明してください。
5. 「すべての自然数 n について、2ⁿ + 1 は 3 の倍数である」という主張の真偽を判定し、偽なら反例の番号と式の値を整数で示してください。

練習問題の答えと道筋

1. n=1 では 4 − 1 = 3 で成立します。任意の自然数 k で 4ᵏ − 1 = 3m と仮定します。ただし m は整数です。

4 の k+1 乗 - 1
= 4(4ᵏ - 1) + 3
= 4・3m + 3
= 3(4m + 1)

括弧内は整数なので次でも成立します。帰納法により示されます。元の式で n=2 を確かめると 16 − 1 = 15 です。

2. n=1 では 7 − 3 = 4 で成立します。任意の自然数 k で 7ᵏ − 3ᵏ = 4m と仮定します。m は整数です。

7 の k+1 乗 - 3 の k+1 乗
= 7(7ᵏ - 3ᵏ) + 4・3ᵏ
= 7・4m + 4・3ᵏ
= 4(7m + 3ᵏ)

括弧内は整数なので次でも成立し、帰納法で証明されます。n=2 を元の式に入れると 49 − 9 = 40 で、確かに 4 の倍数です。

3. 答えは 1 です。b₁ − 1 = 4 で初期に成立します。任意の自然数 k で bₖ − 1 = 4m と仮定すると、整数 m に対して次のようになります。

bₖ₊₁ - 1
= 3bₖ + 2 - 1
= 3(bₖ - 1) + 4
= 3・4m + 4
= 4(3m + 1)

よって次の差も 4 の倍数です。帰納法と 0 ≤ 1 < 4 から余りは 1 です。元の漸化式で b₂ = 17、b₃ = 53 と求まり、いずれも余りは 1 です。

4. 開始番号は 2 です。n=2 では 36 + 4 = 40 で成立します。任意の整数 k ≥ 2 で 6ᵏ + 4 = 10m と仮定します。

6 の k+1 乗 + 4
= 6(6ᵏ + 4) - 20
= 6・10m - 20
= 10(6m - 2)

括弧内は整数なので次でも成立します。帰納法により n ≥ 2 で示されます。元の式で n=3 は 216 + 4 = 220 となります。なお n=1 でも 10 となり成立しますが、指定された範囲の証明には n=2 からの確認で足ります。

5. 主張は偽です。n=1 では 2 + 1 = 3 で割り切れますが、n=2 では 4 + 1 = 5 となり、3 で割ると余りは 2 です。n=2 は指定範囲の自然数なので反例です。最初の1項が成立していても、次の番号への移行が成立するとは限りません。

要点

• 開始番号で実際に成立することを確かめます。
• 任意の k の仮定を、割る数と整数の積で表します。
• 次の式を仮定の式と残りに分け、両方が倍数であることを示します。
• 余りは割る正の整数より小さい非負の整数に直します。
• 全称の主張が偽なら、範囲内の反例1つで示せます。

手が止まった場所を調べる

次の式が作れないときは、まず k の式を囲み、k+1 の式を指数の法則や漸化式で展開します。仮定の式を何倍すれば主な項が合うかを考え、差として残る項を計算します。残りが指定された数の倍数と限らない場合は、計算違いのほか、主張そのものや開始番号の見直しも必要です。

個別指導で確かめるなら、初期の代入、仮定を使った行、残りの商が整数となる理由のうち、どこで説明が途切れたかを一緒にたどります。途中の1行を元に戻して展開すると、落とした項を見つけやすくなります。有限個の試し算から一歩進み、次の番号を支える倍数表示が証明の芯です。