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高校数学B 和を含む漸化式—隣り合う条件を引いて有効な添字範囲を守る｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学B 数列を掘り下げる

隣り合う部分和の条件を引ける添字の範囲を守り、差の式だけでは失われる初項の条件を元の等式から取り戻します。

よくあるのは、高2の高校生が和を含む条件を隣同士で引いたあと、失われた最初の条件を忘れる場面です。引き算で得た式は項のつながりを示しますが、最初の項の値までは自動的に教えてくれません。部分和の定義に戻り、最初の条件を別に確保してから一般項を決めます。最後に元の条件へ代入すれば、途中で条件を落としていないかも確認できます。

和が現れる条件をどう読むか

問われ方の一つは、Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ と定め、Sₙとaₙの関係から一般項を求めるものです。もう一つは、aₙ₊₁とSₙの関係を与え、最初の項から順に数列を決めるものです。どちらも和の中に未知の項が並ぶため、まず隣り合う番号の条件を書いて差を取ります。

ただし、条件が成立する番号を見ずにnを1つ下げてはいけません。例えば条件がn = 1以上で与えられたとき、n − 1を代入した式はn = 2以上で使えます。最初の条件は別に計算します。また、与えられた式を整理すると次の項の係数が0になる場合があります。そのときは割り算をせず、条件が矛盾するのか、複数の数列を許すのかを直接調べます。

答えの候補が得られたら、変形後の漸化式だけでなく元の和の条件にも戻します。差を取る操作は共通のずれを消すので、差の式だけから元の条件が必ず復元されるとは限りません。最初の条件と差の式の両方を使って復元できることを示すのが安全です。

差を取る前に起点を確保する

Sₙは初項から第n項までの和です。自然数nについてSₙ₊₁ = Sₙ + aₙ₊₁です。したがって、n = 2以上ではSₙ − Sₙ₋₁ = aₙです。S₁ = a₁ですが、問題がS₀を定義していないなら、n = 1に後者の式をそのまま使いません。

図1のように、元の条件の最初の行を保存し、その次から隣の行を引きます。例えば全ての自然数nでSₙ = c aₙ + dという条件なら、n = 1ではa₁ = c a₁ + dです。n = 2以上では次のように引けます。

Sₙ = c aₙ + d
Sₙ₋₁ = c aₙ₋₁ + d
aₙ = c(aₙ - aₙ₋₁)

図1の起点と差の両方を揃える意味を確かめます。元の条件から差の式が出るのは必要性です。逆に、初項の条件と差の式を満たす数列について、元の条件の左辺と右辺の差を考えると、その差は隣の番号で変わらず、初めは0です。よって各番号で0となり、元の条件も成り立ちます。これが十分性です。

初項を決める式で係数が0となる場合もあります。0 = 0なら初項はその式だけでは決まらず、0 = 0でない数なら条件は矛盾します。一般の式を機械的に割る前に、その係数を確認してください。さらに、数項が合うだけではすべての自然数についての証明にはなりません。

元の条件を復元する考え方

差の式から逆向きに考えるときは、元の条件の両辺の差を記録します。たとえばSₙ = c aₙ + dなら、ずれをEₙ = Sₙ − c aₙ − dとおきます。差の式aₙ = c(aₙ − aₙ₋₁)がn = 2以上で成立するなら、Eₙ − Eₙ₋₁ = 0です。つまり、ずれは各段階で変わりません。初項の条件がE₁ = 0を保証するので、E₂もE₃も0で、同じ理由が任意の自然数に続きます。

反対に初項を確かめなければ、一定のずれが0とは限りません。差を取った式は、元の条件の定数を別の値に変えても同じになることがあります。したがって、差の式が正しいことと、与えられた定数を含む元の式が正しいことを区別します。計算の最後には、有限和を求めて直接代入する方法と、このずれを使う方法のどちらかで確認できます。

和の公式で確認するときも、項の数を数え直します。a₂からaₙまでなら、n = 2以上で項数はn − 1個です。初項a₁を別に足したのに、残りをn個として計算すると、末尾に余分な1項が入ります。まず端の番号を並べてから公式に渡すと、和の条件に戻す際の食い違いを防げます。

基本例題：和と同じ番号の項を結ぶ

数列の部分和をSₙとします。すべての自然数nについてSₙ = 2aₙ − 3が成り立つとき、aₙをnの式で求めてください。

まずn = 1を元の式に入れます。S₁ = a₁なので、

a₁ = 2a₁ - 3
a₁ = 3

次にn = 2以上で、番号がnとn − 1の条件を引きます。両方とも条件の有効範囲にあります。

Sₙ = 2aₙ - 3
Sₙ₋₁ = 2aₙ₋₁ - 3
Sₙ - Sₙ₋₁ = 2aₙ - 2aₙ₋₁
aₙ = 2aₙ - 2aₙ₋₁
aₙ = 2aₙ₋₁

図2のように、初項3から各項が前の項の2倍になります。公比2の等比数列ですから、自然数nについてaₙ = 3・2ⁿ⁻¹です。指数のn − 1は初項からの移動回数です。

元の条件への復元も確かめます。公比2は1でないので有限和の公式を使えます。

Sₙ = 3(2ⁿ - 1)/(2 - 1)
    = 3・2ⁿ - 3
2aₙ - 3 = 2・3・2ⁿ⁻¹ - 3
          = 3・2ⁿ - 3

両辺が一致します。n = 1でも3 = 2・3 − 3となります。初項だけ、または最初の数項だけの確認で終わらず、任意の自然数nで一致させています。

標準例題：次の項と部分和を結ぶ

数列の初項がa₁ = 2で、すべての自然数nについてaₙ₊₁ = Sₙ + 4が成り立ちます。一般項aₙをnの式で求めてください。

まずn = 1の条件からa₂を決めます。S₁ = a₁なので、

a₂ = S₁ + 4
   = 2 + 4
   = 6

n = 2以上では、nとn − 1の条件がともに使えます。それらを引いて、和を1項に戻します。

aₙ₊₁ = Sₙ + 4
aₙ = Sₙ₋₁ + 4
aₙ₊₁ - aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁
aₙ₊₁ - aₙ = aₙ
aₙ₊₁ = 2aₙ

この関係はn = 2からであり、a₁からa₂への関係としては使えません。a₂ = 6を起点とするので、n = 2以上でaₙ = 6・2ⁿ⁻²です。a₁ = 2は別に書きます。

元の条件を直接調べます。n = 1ではa₂ = 6 = S₁ + 4です。n = 2以上では、公比2の有限和を使って、

Sₙ = 2 + 6(2ⁿ⁻¹ - 1)/(2 - 1)
    = 6・2ⁿ⁻¹ - 4
Sₙ + 4 = 6・2ⁿ⁻¹
          = aₙ₊₁

したがって候補は与えられた初項と元の条件を満たします。差の式をn = 1にまで広げるとa₂ = 4となり、元の条件による6と食い違います。範囲は計算上の細則ではなく、数列そのものを決める条件です。

発展例題：係数によって解の個数が変わる

実数tについて、すべての自然数nでSₙ = t aₙ + 5を満たす数列を考えます。tの値によって数列が存在するかを判定し、存在するときは一般項をnとtの式で示してください。

n = 1の条件は次の通りです。

a₁ = t a₁ + 5
(1 - t)a₁ = 5

まずt = 1なら0 = 5となり、数列は存在しません。以後はt ≠ 1ですからa₁ = 5/(1 − t)です。n = 2以上で隣の条件を引くと、

aₙ = t(aₙ - aₙ₋₁)
(t - 1)aₙ = t aₙ₋₁
aₙ = [t/(t - 1)]aₙ₋₁

割ったt − 1は0ではありません。t = 0でもこの式は有効で、a₁ = 5、n = 2以上でaₙ = 0です。0の累乗を含む式の初項の扱いを避け、分けて書きます。t ≠ 0, 1なら公比t/(t − 1)の等比数列で、

aₙ = [5/(1 - t)]・[t/(t - 1)] の (n - 1) 乗

と表せます。これは自然数nに有効です。公比は1にはなりません。実際、t/(t − 1) = 1ならt = t − 1となり矛盾します。

十分性は元の条件との差で示せます。Dₙ = Sₙ − t aₙ − 5とおくと、初項の式からD₁ = 0です。またn = 2以上で、

Dₙ - Dₙ₋₁ = aₙ - t(aₙ - aₙ₋₁)
              = 0

したがってDₙはずっと0です。t = 0の場合も含めて元の条件を満たします。例えばt = 0ではSₙ = 5が要求され、5, 0, 0, …の部分和は常に5です。t = 1の矛盾を避けてから割ること、t = 0の初項を見落とさないことが分岐の要点です。

引き算で消えた条件を取り戻す

基本例題で、差を取った結果aₙ = 2aₙ₋₁を得たとします。ここから「aₙ = 2ⁿ⁻¹」と決めるのは誤りです。この式は初項を1と勝手に置いています。差の式自体は初項を自由な定数Cとしてaₙ = C・2ⁿ⁻¹を許します。

図3のように、差の式は隣り合う項の倍率を示しますが、元の条件にあった定数3が差の計算で消えています。そのため、元のn = 1の式からC = 3を取り戻す必要があります。

誤った候補を元の条件へ戻すと、n = 1でS₁ = 1なのに2a₁ − 3 = -1です。一方、修正した候補の初項は3で、元の条件の両辺は3になります。この検査は、答えを変形後の式に入れるだけでは見つからない誤りを捉えます。

もう一つの誤りは、n = 1以上の条件をn − 1に置き換えた後もn = 1以上と書くことです。n − 1が自然数であるためにはn = 2以上が必要です。まず置換先の番号に1を代入できるかを確認し、使えない最初の行は元の式から直接作ります。

練習問題

各問でSₙ = a₁ + a₂ + … + aₙとします。一般項は自然数nを範囲として示し、場合分けが必要ならその範囲も示してください。

すべての自然数nでSₙ = 3aₙ − 8です。aₙをnの式で求めてください。
a₁ = 1で、すべての自然数nでaₙ₊₁ = Sₙ + 2です。aₙをnの式で求めてください。
すべての自然数nでSₙ = -aₙ + 6です。aₙをnの式で求めてください。
すべての自然数nでSₙ = aₙ + 7です。この条件を満たす数列が存在するか答えてください。
実数uについて、すべての自然数nでSₙ = u aₙを満たし、a₁ = 4です。uと一般項を求めてください。

練習問題の答えと道筋

n = 1からa₁ = 3a₁ − 8、よってa₁ = 4です。n = 2以上で条件を引きます。

aₙ = 3(aₙ - aₙ₋₁)
2aₙ = 3aₙ₋₁
aₙ = (3/2)aₙ₋₁
aₙ = 4・(3/2) の (n - 1) 乗

公比3/2は1でないので、有限和はSₙ = 8[(3/2) の n 乗 − 1]です。3aₙ − 8も同じ式となり、元の条件に戻ります。

n = 1の条件からa₂ = 1 + 2 = 3です。n = 2以上で隣の条件を引くと、

aₙ₊₁ - aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁
aₙ₊₁ = 2aₙ
aₙ = 3・2ⁿ⁻²  （n = 2以上）

初項はa₁ = 1です。n = 1ではa₂ = S₁ + 2 = 3です。n = 2以上ではSₙ = 1 + 3(2ⁿ⁻¹ − 1) = 3・2ⁿ⁻¹ − 2ですから、Sₙ + 2 = aₙ₊₁となります。

初項はa₁ = -a₁ + 6からa₁ = 3です。n = 2以上で、

aₙ = -(aₙ - aₙ₋₁)
2aₙ = aₙ₋₁
aₙ = 3・(1/2) の (n - 1) 乗

有限和はSₙ = 6[1 − (1/2) の n 乗]です。また-aₙ + 6も同じです。公比1/2は1でないので、この有限和の式を使えます。

n = 1ではS₁ = a₁です。元の式に入れるとa₁ = a₁ + 7、すなわち0 = 7となります。よって数列は存在しません。隣の式を引く前に矛盾が出るため、差の式から候補を作っても元の条件を満たせません。
n = 1で4 = 4uです。4は0でないのでu = 1です。n = 2以上で条件を引きます。