高校数学B nを含む一次漸化式—一次式を差し引く係数を比較して等比形へ直す｜武蔵野個別指導塾

番号に応じて引く一次式の係数を比較し、変換後の初項から元の一般項へ戻す流れを追います。

よくあるのは、高2の高校生が定数を引くだけで n の項も消えると思う場面です。隣の項との関係に n が入ると、同じ定数を両辺から調整しても、番号に応じて変わる部分は残ります。そこで、引くものも n の一次式にします。その係数を決めてから初項を移し、最後に元の数列に戻しましょう。

どこに番号が現れるか

漸化式は、項どうしの関係を表す式です。ここでは自然数 n に対して、初項 a₁ と次の関係が与えられる場合を考えます。

aₙ₊₁ = p aₙ + qn + r

p、q、r は n によらない定数です。初項から順に次の項が一意に決まります。求めるものは一般項の場合も、指定された項の値の場合もあります。また、係数に文字が含まれ、値による分岐を求められる場合もあります。

最初に見るのは aₙ の係数 p です。p が 1 でなければ、適切な一次式を引いて等比形を作れます。p が 1 なら同じ係数の決め方では割る数が 0 になるため、隣接する項の差を足します。p が 0 の場合は等比形の説明に注意し、元の式から第2項以降を直接読む方法も使えます。

定数項だけを含む式なら定数を引く方法が使えますが、qn が残るときは引く量を定数から一次式へ広げます。q が 0 なら一次式の傾きも 0 となり、定数を引く方法に戻ります。

一次式を引く理由

n の一次式 f(n) = An + B を用意し、bₙ = aₙ − (An + B) と置きます。n は自然数で、A、B はこれから決める定数です。bₙ₊₁ を作るとき、引く式の番号も n + 1 に進めます。図1のように、元の関係から一次式自身の関係を引くことができれば、余分な項が消えます。

図1では、上段が元の数列、下段が引く一次式です。対応する番号どうしを引くので、次の項では A(n + 1) + B を使います。第n項どうしの差が bₙ、第(n+1)項どうしの差が bₙ₊₁ です。

bₙ₊₁ = aₙ₊₁ - {A(n + 1) + B}
        = p aₙ + qn + r - An - A - B
        = p bₙ + (pA + q - A)n + pB + r - A - B

右辺の n の係数と定数部分をともに 0 にすれば、bₙ₊₁ = p bₙ です。その条件は次の2本です。

A = pA + q
A + B = pB + r

これは、f(n + 1) = p f(n) + qn + r が全ての自然数 n で成り立つよう、両辺の n の係数と定数項を比較した式でもあります。p ≠ 1 なら、順番に次のように決まります。

A = q/(1 - p)
B = (r - A)/(1 - p)

分母の 1 − p が 0 でないことを確かめてから割ります。b₁ = a₁ − (A + B) であり、p ≠ 0 のとき bₙ = b₁pⁿ⁻¹ です。b₁ が 0 でも、各項が 0 であることは漸化式から直接確かめられます。最後は aₙ = bₙ + An + B に戻します。

p = 0 では b₂ 以降が 0 です。0 の 0 乗を使わず、b₁ と n ≧ 2 を分けて表せます。p = 1 では aₙ₊₁ − aₙ = qn + r として、n ≧ 2 に対し k = 1 から n − 1 まで増分を足します。n = 1 は初項で別に確かめます。

一次式が見つかる理由を逆から見てもよいでしょう。もし f(n) = An + B が元の漸化式を満たすなら、aₙ と f(n) の差を取った式には、両方に共通する qn + r が残りません。一次式そのものを答えと決めるのではなく、元の数列との差が初期条件を補うことに注目します。初項が f(1) と一致する場合には差の初項が 0 なので、以後の差も 0 です。

係数比較は、ある1つの n で左右が等しいという条件ではありません。全ての自然数 n に対して同じ一次式になるため、n の係数と定数項をそれぞれ合わせます。検算では、求めた A と B を2本の条件へ戻すと符号の取り違えを早く見つけられます。分数が出ても途中で丸めずに扱うと、最後の初項との照合が正確です。特に負の係数では、引く式の括弧を外すときの符号にも注意します。

基本例題：引く一次式を作る

初項 a₁ = 4、自然数 n に対し aₙ₊₁ = 2aₙ + n − 1 とします。一般項 aₙ を n の式で求めてください。

ここでは p = 2 なので 1 − p は 0 ではありません。An + B を引いて bₙ₊₁ = 2bₙ とする条件を比べます。

A = 2A + 1
A = -1
A + B = 2B - 1
-1 + B = 2B - 1
B = 0

よって引く一次式は -n、変換後は bₙ = aₙ + n です。図2の矢印で、元の式に含まれる n が消える様子を追います。

図2の下段では b₁ = a₁ + 1 = 5 です。元の初項 4 と変換後の初項 5 を混同せず、次の式を立てます。

bₙ₊₁ = aₙ₊₁ + n + 1
        = 2aₙ + n - 1 + n + 1
        = 2(aₙ + n)
        = 2bₙ
bₙ = 5・2ⁿ⁻¹
aₙ = 5・2ⁿ⁻¹ - n

答えは自然数 n に対し aₙ = 5・2ⁿ⁻¹ − n です。n = 1 で 5 − 1 = 4 となり初項に戻ります。さらに一般項を元の関係に代入すると、

aₙ₊₁ = 5・2ⁿ - n - 1
2aₙ + n - 1 = 2(5・2ⁿ⁻¹ - n) + n - 1
                 = 5・2ⁿ - n - 1

と一致します。最初の数項の一致は計算点検には役立ちますが、全ての番号で成り立つ理由は、この変形と初項から次の項が順に決まることにあります。

標準例題：負の係数でも同じ手順

初項 a₁ = 2、自然数 n に対し aₙ₊₁ = -aₙ + 4n + 1 とします。一般項 aₙ を n の式で求めてください。

p = -1 なので 1 − p = 2 です。負の係数でも係数比較はそのまま使えます。

A = -A + 4
2A = 4
A = 2
A + B = -B + 1
2 + B = -B + 1
2B = -1
B = -1/2

bₙ = aₙ − (2n − 1/2) と置くと、次のように余分な項が消えます。

bₙ₊₁ = -aₙ + 4n + 1 - {2(n + 1) - 1/2}
        = -aₙ + 2n - 1/2
        = -bₙ
b₁ = 2 - (2 - 1/2)
    = 1/2
bₙ = (1/2)(-1)ⁿ⁻¹
aₙ = 2n - 1/2 + (1/2)(-1)ⁿ⁻¹

これが自然数 n に対する一般項です。n = 1 では 2、n = 2 では 3 です。元の条件でも a₂ = -2 + 4 + 1 = 3 となります。一般の n でも、一次式の部分が元の非同次項を受け持ち、符号が交互に変わる部分は係数 -1 の関係を満たします。したがって初項と漸化式の両方に戻っています。

発展例題：係数による分岐

実数 t と自然数 n に対し、a₁ = 3、aₙ₊₁ = t aₙ + 2n とします。t = 1、t = 0、それ以外に分けて一般項 aₙ を n の式で求めてください。

まず t ≠ 1 とします。引く一次式 An + B の係数について、

A = tA + 2
A = 2/(1 - t)
A + B = tB
B = -2/(1 - t)²

となります。bₙ = aₙ − An − B とすれば、

b₁ = 3 - 2/(1 - t) + 2/(1 - t)²
bₙ₊₁ = t bₙ

です。さらに t ≠ 0 なら、自然数 n に対して次を得ます。

aₙ = {3 - 2/(1 - t) + 2/(1 - t)²}tⁿ⁻¹
     + 2n/(1 - t) - 2/(1 - t)²

t = 0 では元の式が aₙ₊₁ = 2n です。よって a₁ = 3、n ≧ 2 では aₙ = 2(n − 1) です。第2項を作るとき元の n は 1 なので a₂ = 2 です。ここを 2n とすると番号が1つずれます。

t = 1 では増分を足します。n ≧ 2 として、

aₙ - a₁ = Σ[k=1..n-1] 2k
             = (n - 1)n
aₙ = n(n - 1) + 3

です。この式は n = 1 でも 3 となるため、自然数 n に対して使えます。差を取ると aₙ₊₁ − aₙ = 2n となり、元の条件に戻ります。t ≠ 0、1 の式も n = 1 で 3 に戻り、一次式と等比部分をそれぞれ代入すれば元の漸化式を満たします。分岐は公式の分母と、0 の 0 乗を避けるために必要です。

間違いを直す：定数を引けば消えるか

基本例題で、cₙ = aₙ − h と定数 h を引き、cₙ₊₁ = 2cₙ にしようと考えます。計算を進めると、

cₙ₊₁ = 2aₙ + n - 1 - h
        = 2cₙ + n - 1 + h

です。h をどう選んでも n の係数 1 は残ります。図3のように、定数を調整して消せる部分と、番号に比例して変わる部分を分けて見ます。

図3の上段は失敗した変換です。下段のように -n を引くと、次の番号で引く量も -(n + 1) に変わり、その差が n の項を消す働きをします。h を大きくしたり符号を変えたりしても、全ての n に対して n が定数になることはありません。

もう1つの誤りは、bₙ = aₙ + n と置いた後で b₁ = 4 とすることです。置換式に n = 1 と a₁ = 4 を入れると b₁ = 5 です。さらに bₙ を求めたまま答えると、求める aₙ には戻っていません。置換、変換後の初項、復元の3か所に印を付けると、どこで別の数列に移ったか追えます。

練習問題

いずれも n は自然数です。一般項は n の式で答えてください。問題を先に解き、その後で解答と照合しましょう。

1. a₁ = 1、aₙ₊₁ = 3aₙ + 2n + 1 の一般項を求めてください。
2. a₁ = 6、aₙ₊₁ = -2aₙ + 3n + 4 の一般項を求めてください。
3. a₁ = -2、aₙ₊₁ = aₙ + 5n − 3 の一般項を求めてください。
4. a₁ = 7、aₙ₊₁ = 5n − 2 の一般項を、初項と n ≧ 2 に分けて求めてください。
5. a₁ = 0、aₙ₊₁ = 2aₙ − 3n + 4 の一般項と a₄ を整数で求めてください。

練習問題の解答と道筋

1

引く式を An + B とすると、

A = 3A + 2
A = -1
A + B = 3B + 1
B = -1
bₙ = aₙ + n + 1
b₁ = 3
bₙ₊₁ = 3bₙ
bₙ = 3・3ⁿ⁻¹
aₙ = 3ⁿ - n - 1

n = 1 で 1 です。また aₙ₊₁ = 3ⁿ⁺¹ − n − 2 と、元の右辺 3(3ⁿ − n − 1) + 2n + 1 は一致します。

2

A = -2A + 3
A = 1
A + B = -2B + 4
B = 1
bₙ = aₙ - n - 1
b₁ = 4
bₙ₊₁ = -2bₙ
bₙ = 4(-2)ⁿ⁻¹
aₙ = 4(-2)ⁿ⁻¹ + n + 1

n = 1 で 6 となります。一次式 n + 1 を元の右辺に代入すると -2(n + 1) + 3n + 4 = n + 2 で、次の番号の一次式に一致します。残りの項も -2 倍されるので元の関係を満たします。

3

n ≧ 2 として差を足します。

aₙ - a₁ = Σ[k=1..n-1] (5k - 3)
             = 5n(n - 1)/2 - 3(n - 1)
aₙ = -2 + 5n(n - 1)/2 - 3(n - 1)

この式は n = 1 でも -2 です。隣り合う式の差は 5n − 3 となり、初期条件と増分の両方に戻ります。和の上端を n にすると、次の項までの増分が1個余ります。

4

元の式で n を1つ戻すと、

a₁ = 7
aₙ = 5(n - 1) - 2  （n ≧ 2）
    = 5n - 7

です。n = 1 の式を後者で代用すると -2 になり、与えられた初項 7 と合いません。n ≧ 1 に対して後者に n + 1 を入れると 5n − 2 となり、元の次項の条件に戻ります。

5

A = 2A - 3
A = 3
A + B = 2B + 4
B = -1
bₙ = aₙ - 3n + 1
b₁ = -2
bₙ₊₁ = 2bₙ
bₙ = -2・2ⁿ⁻¹
aₙ = -2ⁿ + 3n - 1
a₄ = -16 + 12 - 1
    = -5

元の式から直接作ると a₂ = 1、a₃ = 0、a₄ = -5 です。一般項の初項も 0 で、一次式 3n − 1 は次の番号で 3n + 2、元の右辺でも 2(3n − 1) − 3n + 4 = 3n + 2 です。等比部分も係数 2 に従います。

手元に残す要点

• p ≠ 1 では An + B を引き、n の係数と定数項を比較します。
• 引いた後の初項を計算し、求めた bₙ から aₙ に戻します。
• p = 1 では増分を初項から足し、上端を n − 1 にします。
• p = 0 では初項と第2項以降を分けると安全です。
• 答えは初項と元の漸化式に代入して確かめます。

手が止まった場所を調べる

係数比較で止まったら、次の番号の一次式を A(n + 1) + B と書けているか確認します。A + B を次の項そのものと扱うと、n の係数を失います。計算が進んだのに初項が合わない場合は、元の a₁ と置換後の b₁ を横に並べて差を確かめます。

個別指導で答案を見直すときも、式の完成形だけでなく、どの行で番号を進め、どの行で元の数列に戻したかをたどれます。係数が1のときに割り算を始めていないか、0のときに初項を含む式を無条件に使っていないかも点検します。番号に合わせて引く一次式が、漸化式の変換を支えます。