高校数学II 指数方程式の置換—正の値を取る条件から二次方程式の解を選び直す｜武蔵野個別指導塾

指数を正の文字に置き換え、二次方程式の負の根を除く判断と、重解を含む実数解の数え方を確かめられます。

よくあるのは、高2が指数方程式を二次方程式に直し、置換後の負の解をそのまま採用する場面です。因数分解は正しくても、指数の値は正であるという条件を忘れると、元の方程式に対応しない答えが混ざります。文字を替える前に値の範囲を書き、二次方程式を解いた後でその範囲と照らしましょう。

二次式に見える形を探す

出方の1つは、aの2x乗とaのx乗が並ぶ方程式です。指数法則により前者は後者の2乗なので、同じものをtと置けば二次方程式になります。係数が負でも、置く対象であるaのx乗の値は正です。係数の符号と置換した値の符号を混同しないようにします。

もう1つは、aのマイナスx乗が混ざる形です。t = aˣとすればa⁻ˣ = 1/tです。ここではtが正なので分母は零ではなく、両辺にtを掛けられます。分母を払った後の二次方程式にも、もとのt > 0という条件を添えたまま進みます。

さらに、文字を含む係数によって解の個数を尋ねる形もあります。二次方程式が実数の根を持つかだけでは足りません。異なる正の根が何個あるかを調べることで、元の方程式の実数解の個数が決まります。重解は二次方程式の根として重なっていますが、異なる値としては1個です。

使うのは指数法則と二次方程式の因数分解、平方完成です。学習範囲として、有理数への指数の拡張と指数関数の変化を踏まえます。ここでは指数方程式を扱い、不等式の解法には踏み込みません。

置換には戻り道が必要です

底aが正で1でないとき、指数関数aˣは実数xのどの値に対しても正です。また、a > 1なら増加し、0 < a < 1なら減少します。いずれの場合も異なるxに異なる値が対応し、正の値はそれぞれ1回ずつ取ります。したがってt = aˣと置くと、tの範囲はt > 0です。

図1のように、置換後の二次方程式の根から正のものを選びます。正のtが1個あれば対応するxも1個です。負の根や零は、二次方程式を満たしていても指数の値になれません。

図1では正の部分を示し、零を境界として空丸にしています。零は近づく先として描いても、実数xに対するaˣの値としては含まれません。底が1なら常に値が1となり、正の値と実数xが1対1に対応しないため、この個数の数え方には使えません。

例えばt = aˣなら、aの2x乗は(aˣ)² = t²です。一方、aのx乗を含む式全体を何でもt²に置き換えるわけではありません。指数法則を使い、どの部分が同じものの2乗なのかを先に確認します。

候補をxへ戻す際、正の候補が底の整数乗や分数乗なら指数を比較できます。そうでなければ、底aの対数を使いx = logₐ tと表せます。この表記にはa > 0、a ≠ 1、t > 0が必要です。対数値自体は負でも構いません。正でなければならないのは真数tです。

置換の妥当性を確かめるときは、向きを2回たどります。元のxから作ったtが二次方程式を満たすことは、式変形でわかります。逆向きには、得られたtが正であることを確かめ、その値を取るxが存在することを使います。さらに分母を払った場合は、その分母が零でないことも必要です。この往復がそろうと、候補の取りこぼしや余分な候補を判定できます。

例えば正の候補が2個あれば、それぞれの値に対応するxを別々に考えます。指数関数は底が1でないとき単調なので、異なる正の値が同じxから生じることはありません。こうして根の個数をxの個数へ移せます。

基本例題：負の根をふるいにかける

方程式 4ˣ − 2ˣ = 6 の実数解をすべて求め、対数を用いて正確に表してください。

底2は正で1ではありません。t = 2ˣと置くとt > 0であり、4ˣ = (2ˣ)² = t²です。元の方程式は次のように変わります。

t² - t = 6
t² - t - 6 = 0
(t - 3)(t + 2) = 0
t = 3 または t = -2

負の候補-2は、2ˣ > 0という置換の条件に合わないため除きます。正の候補3には実数のxがただ1つ対応します。2ˣ = 3を指数の意味へ戻すと、求める解はx = log₂ 3です。底2は正で1ではなく、真数3も正なので、この対数は定義されています。

図2のように、二次方程式の候補を範囲で選別してから、求めるxの条件に戻ります。図中の正の候補3は2ˣの値として採用しますが、これをそのままxの値と答えないようにします。

図2の候補を元の式で確かめると、2ˣ = 3の場合は4ˣ = 9なので、左辺は9 − 3 = 6です。実数解としては確かに成立します。また2¹ = 2、2² = 4で、底2の指数関数は増加するので、2ˣ = 3の解は1と2の間にあります。この確認からも、実数解を整数という答えの形に押し込められないことがわかります。二次方程式の根を見つけた時点と、求める種類のxが得られた時点を区別しましょう。

標準例題：逆数を含む式

方程式 3ˣ + 6・3⁻ˣ = 5 の実数解をすべて求め、整数または対数で正確に表してください。

3 > 0かつ3 ≠ 1なので、t = 3ˣと置くとt > 0です。指数法則より3⁻ˣ = 1/tですから、次のようになります。

t + 6/t = 5
t² + 6 = 5t
t² - 5t + 6 = 0
(t - 2)(t - 3) = 0
t = 2 または t = 3

tを掛けた操作はt > 0のもとで同値です。2つの候補はいずれも正なので、ここでは正の条件によっては除かれません。それぞれを元の指数へ戻すと、3ˣ = 2からx = log₃ 2、3ˣ = 3からx = 1です。底3は正で1ではなく真数2も正なので、対数の解は定義されています。2つのtは異なり、指数関数は1対1に対応するため、対応する実数解も異なります。

答えはx = log₃ 2とx = 1です。元の左辺に戻すと、前者では3ˣ = 2、3⁻ˣ = 1/2なので2 + 6/2 = 5です。後者でも3 + 6/3 = 5となります。0 < log₃ 2 < 1なので、2つを同じ解として数えることはありません。正のtを選ぶ段階と、それぞれをxへ戻す段階を分けて確認します。

分母を払う操作でt = 0を勝手に候補に加えないためにも、最初にt > 0を書きます。逆に、分母があるからといって正の候補を除く理由はありません。元の式に戻して分母と等式の両方を確認します。

発展例題：重解と解の個数

実数kについて、方程式 9ˣ − 2k・3ˣ + 4 = 0 の異なる実数解の個数を、kの範囲ごとに答えてください。

3 > 0、3 ≠ 1です。t = 3ˣとするとt > 0、9ˣ = t²なので、方程式は次の形です。

t² - 2kt + 4 = 0
(t - k)² = k² - 4

まず右辺が負のとき、左辺は零以上ですから実数のtはありません。つまり -2 < k < 2ではxの解もありません。右辺が零のときはt = kという重解です。k = 2ならt = 2は正で、対応するxは1個です。k = -2ならt = -2であり、正の条件に合わないためxの解はありません。

次にk > 2では、2つの異なる根は k ± √(k² − 4) です。k² − 4 < k²でkは正なので、√(k² − 4) < kです。よって小さい方も正で、異なる正の根が2個あります。対応するxも異なる2個です。

k < -2では、両根とも負です。実際、√(k² − 4) < -kなので、大きい方のk + √(k² − 4)も負になります。したがって正の根はなく、xの解はありません。

以上をまとめると、k < 2では0個、k = 2では1個、k > 2では2個です。境界のk = -2を含めても、負の重解は正の値にならないため0個です。判別式が零という事実だけから元の解が1個と決めることはできません。

別の見方として、2つの根が実数なら積は4で正、和は2kです。異なる根の場合、積が正なので2根は同符号であり、和の符号から正負を決められます。ただし実数根がある条件を先に確認し、重解と零を別に扱う必要があります。例えばk = 3なら根は3 ± √5でともに正です。元の式はt² − 6t + 4 = 0であり、それぞれを代入すると零になります。

誤答のどこで条件を失ったか

基本例題で「t = -2だから2ˣ = -2も解」とするのは誤りです。因数分解の結果と、指数の値として可能な範囲を同じものと考えたことが原因です。2ˣはどの実数xに対しても正なので、負の値を代入先として探しても元の等式に戻せません。

図3のように、根を求めた直後にt > 0を照合します。負の根を消すのは計算結果を都合よく変更するためではなく、置換前に決まっていた条件を適用するためです。

図3では二次方程式の候補と採用の可否を分けています。もう一つの失敗は、正のtを得たところでそれをxの答えにしてしまうことです。t = 3は2ˣの値であり、xそのものではありません。最後に2ˣ = 3へ戻して初めてxについての答えが得られます。

重解の扱いも同様です。二次式の因数が同じもの2個に分かれても、同じtに対応するxは異なる解として1個です。反対に、正の重解がなければ、重なっているという情報だけではxの解を作れません。

練習：条件を残して戻す

次の5問は互いに独立です。指定の形で答えてください。

1. 5の2x乗 − 4・5ˣ − 5 = 0を解き、xを整数で答えてください。
2. 2の2x乗 − 10・2ˣ + 16 = 0を解き、xを整数で答えてください。
3. 4ˣ + 4⁻ˣ = 2を解き、xを整数で答えてください。
4. 7の2x乗 + 3・7ˣ + 2 = 0の実数解の個数を答えてください。
5. 実数mについて、2の2x乗 − 2m・2ˣ + 9 = 0の異なる実数解の個数をmの範囲ごとに答えてください。

解答と解き方

1. t = 5ˣ > 0とします。指数法則で5の2x乗 = t²です。

t² - 4t - 5 = 0
(t - 5)(t + 1) = 0
t = 5 または t = -1

負の候補を除くと5ˣ = 5なのでx = 1です。元の左辺は25 − 20 − 5 = 0です。負の候補を含めずに得られる整数解はこの値です。

2. t = 2ˣ > 0とすると、次の通りです。

t² - 10t + 16 = 0
(t - 2)(t - 8) = 0
t = 2 または t = 8

両方正であり、2ˣ = 2、2ˣ = 8からx = 1、3です。元の左辺は順に4 − 20 + 16 = 0、64 − 80 + 16 = 0です。異なる正の候補から異なるxが得られています。

3. t = 4ˣ > 0とすると、4⁻ˣ = 1/tです。tは零ではないので両辺にtを掛けられます。

t + 1/t = 2
t² - 2t + 1 = 0
(t - 1)² = 0
t = 1

正の重解は値として1個です。4ˣ = 1からx = 0で、元の左辺は1 + 1 = 2です。重解だからxを2個と数える必要はありません。

4. t = 7ˣ > 0とすると、二次方程式は次のようになります。

t² + 3t + 2 = 0
(t + 1)(t + 2) = 0
t = -1 または t = -2

どちらも負なので実数解は0個です。元の式でも7ˣは正で、その2乗と3倍、定数2はいずれも正です。したがって左辺が零にならないことを直接確かめられます。

5. t = 2ˣ > 0とすると、平方完成により次を得ます。

t² - 2mt + 9 = 0
(t - m)² = m² - 9

-3 < m < 3では右辺が負なので根がありません。m = 3では正の重解t = 3があり、xは1個です。m = -3では重解t = -3を除きます。m > 3では√(m² − 9) < mなので2根はともに正、m < -3では√(m² − 9) < -mなので2根はともに負です。よってm < 3で0個、m = 3で1個、m > 3で2個です。

例えばm = 5ではt = 1、9です。元の式の左辺はそれぞれ1 − 10 + 9 = 0、81 − 90 + 9 = 0です。どちらも正の指数の値として実現し、異なるxに対応します。境界m = 3ではt = 3を元の式に入れて9 − 18 + 9 = 0となります。

手元に残す要点

置換前に底を確かめ、t = aˣ > 0と書きます。
二次方程式の根から正の値を選びます。
重解は異なる値として1個です。
正の候補をxへ戻し、求める範囲と元の式を確かめます。

つまずきを見分ける問い

途中式が合っていて答えが違うときは、「負のtに対応する実数xがあるか」と尋ねます。正の条件を口で説明できるかを見ると、因数分解の誤りと置換の範囲の誤りを分けられます。個別指導では、正の候補を残した後にtとxを取り違えていないか、また重解の個数をどう数えたかも式を指しながら確かめます。

元の条件へ戻る一手が、二次方程式の候補を指数方程式の答えに変えます。