高校数学II 指数関数の平行移動—括弧の位置から移動後の点と漸近線を求める｜武蔵野個別指導塾

点と漸近線を動かし、式の符号と反転から曲線を捉える指数関数の平行移動です。

よくあるのは、高2が指数関数の曲線を上へ動かしたのに、横軸をそのまま漸近線として描く場面です。点のいくつかは合っていても、曲線が近づく先が違えば、グラフ全体の位置が変わります。式の内側と外側の数字を別々に読み、元の点と近づく直線を同じ操作で動かしてみましょう。

式から何を読み取るか

出方は大きく3つあります。元のグラフと式が与えられ、移動後の点と漸近線を求める型。点や漸近線が与えられ、どれだけ移動したかを逆に求める型。そして、平行移動に反転を組み合わせ、どの側から直線に近づくかを判断する型です。いずれも座標の対応を先に書くと、数字の符号を勘だけで決めずに済みます。

必要なのは、点の座標、平行移動、正の底の指数法則と指数関数のグラフです。底aはa>0、a≠1とします。この条件のもとで、実数xに対してaのx乗は正です。文部科学省の学習指導要領でも、指数関数の変化とグラフが数学IIの内容に含まれています。ここでは移動と反転を扱い、指数方程式の一般的な解法には立ち入りません。

点と直線を同じ操作で動かす

元の関数をf(x) = aのx乗とします。グラフ上の点(P, Q)はQ = f(P)を満たします。右にh、上にkだけ移動した点は(P+h, Q+k)です。hやkが負なら、それぞれ左や下への移動を表します。新しい横座標をxとすると元の横座標はx-hですから、新しい式はy = f(x-h)+kです。横方向では、式の中がx-hとなる理由をこの逆算で確認します。

たとえば元の点の横座標が0なら、右に3動かした先の横座標は3です。新しい式の指数部にx = 3を入れると3-3 = 0となり、確かに元の点の高さが戻ります。x+3なら指数部が0になるのはx = -3で、移動先は左です。括弧内の符号をそのまま移動方向に読むと、左右を取り違えます。

図1のように、元の点と近づく直線は同じ平行移動に従います。y = aのx乗は常に正で、横軸y = 0に近づきます。これを上にk動かすと、近づく直線はy = kです。右への移動はこの水平な直線を別の高さには動かしません。グラフは有限のxでその直線に達しないことも、正の値が残る式から確認できます。

図1の点(P, Q)は(P+h, Q+k)へ、横軸はy = kへ移ります。移動後の値域はy>k、定義域は実数全体です。a>1では元のグラフは右へ進むほど増加し、0<a<1では減少します。平行移動は増減の向きを変えません。底が1より大きいか小さいかを調べてから、曲線が漸近線に近づく左右を決めます。

反転も座標で考えます。y = -f(x)では、元の点(P, Q)が(P, -Q)となり、横軸に関して対称です。y = f(-x)では(-P, Q)となり、縦軸に関して対称です。前者は高さの符号を、後者は横座標の符号を変えます。移動と反転を組み合わせると、順序によって結果が変わる場合があります。たとえばf(x)+kを横軸で反転すれば-f(x)-kですが、-f(x)を上にk移せば-f(x)+kです。式を見て各操作を確かめましょう。

基本例題：点と漸近線を移す

問題：y = 2ˣのグラフを右に2、上に3だけ平行移動します。移動後の式、元の3点(-1, 1/2)、(0, 1)、(1, 2)の移動先、漸近線、値域を求めてください。式と座標は正確な数で答えます。

まず底は2>1なので、元の曲線は増加し、正の値を取ります。右に2移すため、元の横座標は新しいxから2を引いたx-2です。続いて高さを3増やします。

y = f(x-2)+3
y = 2の(x-2)乗 + 3

点は横座標に2、縦座標に3をそれぞれ加えます。

(-1, 1/2) → (1, 7/2)
(0, 1) → (2, 4)
(1, 2) → (3, 5)

元の漸近線はy = 0ですから、新しい漸近線はy = 3です。2の(x-2)乗はどの実数xでも正なので値域はy>3です。定義域は実数全体で、曲線は増加しながら左側で直線y = 3に近づきます。

図2のように、移動前の3点を移した後でも、直線y = 3は曲線の下にあります。式に戻して調べると、x = 1では2⁻¹+3 = 7/2、x = 2では2⁰+3 = 4、x = 3では2¹+3 = 5です。元の問題で指定された3点の高さとすべて一致します。y = 3を横軸だと思い込むと、x = 2の点の高さを3ではなく4と計算できても、左側の曲線を誤って伸ばしてしまいます。

標準例題：点と直線から移動量を探す

問題：y = 3ˣを平行移動したグラフの漸近線がy = -2で、元の点(0, 1)の移動先が(4, -1)です。移動後の式、移動方向、値域を求めてください。移動量は整数で、式と値域は正確に答えます。

元の漸近線y = 0がy = -2になったため、縦の移動量は-2です。元の点の横座標が0から4になったため、横の移動量は4です。縦座標も1から-1へ変わっており、下に2という読みと一致します。移動後の点の横座標xに対応する元の横座標はx-4です。

y = f(x-4)-2
y = 3の(x-4)乗 - 2

したがって右に4、下に2の移動です。指数の部分は正なので値域はy>-2です。底3は1より大きく、曲線は増加して左側でy = -2に近づきます。移動先の座標を元の条件に戻すと、x = 4のとき指数部が0で、y = 3⁰-2 = -1となります。漸近線も元の横軸を下へ2移したy = -2で、問題の両条件に合います。

別の読み方として、移動後の式をy = 3の(x-h)乗 + kと置き、漸近線からk = -2、点の対応からh = 4と決めてもよいです。ただし与えられた点が元のどの点の移動先かを使わずにhを4と決めることはできません。点の横座標と移動量が同じになるのは、元の横座標が0だからです。

発展例題：反転と移動を組み合わせる

問題：y = (1/2)のx乗のグラフを横軸に関して反転し、さらに左に1、上に4だけ平行移動します。移動後の式、元の点(0, 1)、(1, 1/2)の移動先、漸近線と値域を求めてください。式と座標は正確な数で答えます。

底は正で1より小さいので、元の曲線は減少します。また元の値は常に正です。まず横軸に関して反転すると、各点の縦座標の符号が反対になります。次に左に1なら横座標から1を引き、上に4なら縦座標に4を加えます。

(0, 1) → (0, -1) → (-1, 3)
(1, 1/2) → (1, -1/2) → (0, 7/2)

左に1移した先の横座標をxとすると、元の横座標はx+1です。反転後の高さに4を加えます。

y = -f(x+1)+4
y = -(1/2)の(x+1)乗 + 4

元の漸近線y = 0は反転後もy = 0で、その後の上への移動でy = 4になります。指数部分は正なので、反転後の項は負です。したがって値域はy<4で、曲線は直線の下側にあります。元の減少は横軸反転で増加へ変わり、平行移動ではその向きが保たれます。右側でy = 4に近づきます。

元の条件へ戻します。x = -1なら指数部は0でy = -1+4 = 3、x = 0なら指数部は1でy = -1/2+4 = 7/2です。2点は指定された元の点を反転してから移した結果と一致します。反転後の曲線を下に4移してから横軸に映すと別の順序になり、同じ式とは限りません。操作を受ける対象が曲線全体か、指数部分だけかを言葉で確かめます。

誤答の原因を点でほどく

基本例題で、右に2、上に3移した式をy = 2の(x+2)乗 + 3とする誤答を考えます。元の(0, 1)が(2, 4)に移るはずなのに、この式でx = 2を代入すると2⁴+3 = 19です。元の点の高さと合いません。原因は、右へ2という言葉の符号を、そのまま指数の括弧に入れたことです。

図3のように、正しい式ならx = 2で指数部が0になり、対応する点の高さは4です。指数部をx-2と直すと元の横座標0を取り戻せます。図に描く前のこの1点の検査は、符号の誤りを見つける手掛かりです。

もう1つの誤りは、式を正しく書きながら漸近線をy = 0とすることです。xが左へ進むと指数部分は小さくなりますが、外の+3は消えません。近づく高さは3であり、元の横軸を上に3移した直線です。さらに、y = -2の(x-2)乗 + 3なら値域はy<3です。括弧の前の負号を見落としてy>3とすると、点や曲線を漸近線の反対側に描きます。符号を直した後は、指定された点を式に代入して元の操作と照合してください。

手を動かす5問

それぞれ、移動後の式、指定された点の移動先、漸近線、値域を正確な式と座標で答えてください。点はすべて移動前のグラフ上にあります。

1. y = 5ˣを左に2、下に1だけ移します。元の点(0, 1)を使ってください。
2. y = (1/3)のx乗を右に1、上に2だけ移します。元の点(1, 1/3)を使ってください。
3. y = 4ˣを横軸に関して反転し、その後に右に3、下に2だけ移します。元の点(-1, 1/4)を使ってください。
4. y = 2ˣを縦軸に関して反転し、その後に左に3、上に1だけ移します。元の点(1, 2)を使ってください。
5. y = 3ˣを平行移動したグラフの漸近線がy = 5で、元の点(1, 3)の移動先が(-1, 8)です。移動量も求めてください。

5問の解答と確かめ

1. 左に2なので、移動後のxに対応する元の横座標はx+2です。下に1移すので、式と点は次のようになります。

y = 5の(x+2)乗 - 1
(0, 1) → (-2, 0)

指数部分は正なので値域はy>-1、漸近線はy = -1です。x = -2で指数部が0になり、y = 1-1 = 0です。元の点を左に2、下に1移した座標と一致します。増加する曲線の左側が、直線に上から近づきます。

2. 右に1、上に2なので次の式と点です。

y = (1/3)の(x-1)乗 + 2
(1, 1/3) → (2, 7/3)

漸近線はy = 2、値域はy>2です。x = 2で指数部は1となり、y = 1/3+2 = 7/3です。元の高さ1/3に2を足した値なので、移動の条件へ戻しても合います。底が1より小さいため曲線は減少し、右側で直線へ近づきます。

3. 先に縦座標の符号を変え、次に右へ3、下へ2移します。

y = -4の(x-3)乗 - 2
(-1, 1/4) → (-1, -1/4) → (2, -9/4)

漸近線はy = -2、値域はy<-2です。x = 2では指数部が-1なので、y = -1/4-2 = -9/4です。元の1/4を反転した-1/4からさらに2下げた点と一致します。元の増加は横軸反転で減少に変わります。

4. 縦軸に関する反転では横座標の符号が変わります。反転した式のxへx+3を代入し、その後に1を加えます。

y = 2の(-(x+3))乗 + 1
(1, 2) → (-1, 2) → (-4, 3)

漸近線はy = 1、値域はy>1です。x = -4なら指数部は-(-4+3) = 1なので、y = 2+1 = 3です。元の点を反転し、左に3、上に1移した結果と合います。横方向の反転で増加は減少に変わり、右側で直線に近づきます。

5. 漸近線がy = 5なので上に5です。点の横座標は1から-1へ変わったので左に2です。縦座標も3から8へ増え、上に5と一致します。

y = 3の(x+2)乗 + 5
(1, 3) → (-1, 8)

値域はy>5です。x = -1なら指数部は1で、y = 3+5 = 8となります。元の点の移動先と、元の横軸を上に5移した直線の両方が問題の条件に合います。点の移動先の横座標-1をそのまま移動量とせず、元の1との差を使うことが要点です。

覚えておきたい対応

右にh、上にkの移動は、点(P, Q)を(P+h, Q+k)へ移します。
式はy = f(x-h)+k、漸近線はy = kです。
横軸反転は縦座標の符号、縦軸反転は横座標の符号を変えます。
指数部分の正負と底の大小から、値域と曲線の向きを確かめます。

どこで止まったかを見分ける

式を作れないときは、まず元の点(0, 1)を紙の上で移し、新しい横座標を式の指数部に入れて0が戻るかを説明してみてください。式が合っていても図が違う場合は、外側の定数が近づく高さをどう変えるか、また負号が曲線を直線のどちら側へ移すかを確認します。個別指導では、点を1つ動かす説明、漸近線の高さ、底による左右の向きを順に聞き、食い違った箇所から図と式を結び直します。点と直線の両方が対応すれば、移動後の曲線の位置を根拠を持って描けます。