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高校数学II 定積分を含む関数の決定—定数になる部分を置き換え係数を照合する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学II 微分法と積分法

固定区間の積分を未知定数に置き、元の式への代入で解の個数を調べる題材は定積分方程式です。

よくあるのは、式の中に定積分を見つけ、高校生がその部分も x の関数として微分しようとする場面です。積分の上端が x なら変化しますが、上下の端が固定され、積分する文字も別に置かれているなら、その積分値は x によらない数です。まず式のどこが動き、どこが固定されているかを見分けましょう。未知の数を置いた後も、元の積分に戻して条件を満たすか確かめます。

まず見るのは積分区間と文字の役割

たとえば、未知の多項式 f(x) が、固定された区間の ∫[0→1] f(t) dt を含む式で与えられる場合を考えます。f はまだ未知ですから積分値は最初にはわかりません。しかし、f が決まれば積分値は1つの数に決まり、外側の x を変えても積分区間は変わりません。この「値は未知だが x については定数」という区別が出発点です。

典型的な問いには、積分値がそのまま足される型と、積分値が x の係数に入る型があります。前者では未知の定数項を、後者では未知の係数を求めます。さらに文字を含む係数がある型では、定数を決める方程式の係数が 0 になる境界も調べます。そこで割り算を急ぐと、解がない場合や多数ある場合を見落とします。

問題の式が「すべての実数 x について成り立つ」ときは、1つの x を代入して終わりにはできません。右辺の多項式と求めた f(x) が各 x で一致し、その f を固定区間で積分した値が最初に置いた定数と一致する必要があります。以下では多項式を扱います。変動する端点を持つ積分や、より一般の関数の積分は扱いません。

固定区間の積分を1つの数として置く

a、b を固定した実数とし、f(t) を多項式とします。多項式は連続なので、この区間の定積分が定まります。積分に使う t は、積分の中で動かすための文字です。結果には t が残らず、同じ積分を別の文字 s で書いても値は変わりません。

I = ∫[a→b] f(t) dt
  = ∫[a→b] f(s) ds

図1のように、区間と積分する関数を固定した後の I は、外側の x が変わっても同じ数です。たとえば f(x) = x² + 2I と表されたなら、2I は定数項です。x² は x に応じて変わりますが、I の値を別の x ごとに取り替えてはいけません。

図1の矢印の先では I が未知のままです。数が固定されることと、その数が既知であることは別です。I を使った f(t) を積分し直して、I 自身が満たす方程式を作ることではじめて値を決めます。

一般に、固定された多項式 P(x)、Q(x) を用いて f(x) = P(x) + Q(x)I と表されるなら、定義に代入して次の関係を得ます。A、B はそれぞれ表示された固定区間の積分値です。

I = ∫[a→b] {P(t) + Q(t)I} dt
  = ∫[a→b] P(t) dt + I∫[a→b] Q(t) dt
A = ∫[a→b] P(t) dt
B = ∫[a→b] Q(t) dt
I = A + BI
(1 - B)I = A

I は t についても定数なので、積分の外に出せます。1 − B が 0 でなければ I は一意に決まります。1 − B が 0 のときは元の方程式が 0 = A となり、A が 0 でなければ矛盾、A も 0 なら I はこの方程式からは制限されません。ただし、その場合も各 I に対して作った f が元の式を満たすことを確認します。

係数照合という見方も役立ちます。f(x) を多項式として、右辺の x²、x、定数項を同じ次数ごとに比べます。ただし係数を比べて得た式にも、元の積分から定めた I との関係が残ります。係数だけを写して I を自由な数のまま答えると、条件を使い切ったことになりません。

基本例題：定数項を決める

すべての実数 x について、次の式を満たす多項式 f(x) を求め、係数を分数で表してください。

f(x) = x² + 2∫[0→1] f(t) dt

積分区間は 0 から 1 に固定されています。図2のように、積分値を I と置けば、右辺の積分を含む部分は定数項 2I です。f(x) の x² の係数は 1、x の係数は 0 と直ちに読み取れます。

まず I の定義と f の形を並べます。積分の中では x を t に置き換えてから計算します。

I = ∫[0→1] f(t) dt
f(x) = x² + 2I
f(t) = t² + 2I
I = ∫[0→1] (t² + 2I) dt
  = 1/3 + 2I
-I = 1/3
I = -1/3

したがって、係数を戻すと次の候補が得られます。

f(x) = x² + 2(-1/3)
     = x² - 2/3

ここで計算を止めず、候補を問題文の積分に戻します。自分が置いた I が本当にその候補の積分値になっているかを確認するためです。

∫[0→1] (t² - 2/3) dt = 1/3 - 2/3
                           = -1/3
x² + 2(-1/3) = x² - 2/3

右辺が候補の f(x) とすべての x で一致しました。逆に、解があるなら上の方程式から I = -1/3 に限られます。よって答えは f(x) = x² − 2/3 で、他の多項式はありません。

積分値が負になっても不自然ではありません。定積分はグラフと軸の間の面積そのものとは限らず、軸より下の部分を負として数えます。この候補では定数項が負であり、積分値の符号も条件から確認できます。負になったという理由だけで符号を直してはいけません。

標準例題：積分値が x の係数に入る

すべての実数 x について次の式を満たす多項式 f(x) を求め、係数を整数で表してください。

f(x) = 2x + 1 + x∫[0→2] f(t) dt

積分値自体は固定された数ですが、その前の x は変化します。したがって、積分を含む項全体は定数ではありません。I を置いた後、x の係数をまとめてから積分します。

I = ∫[0→2] f(t) dt
f(x) = 2x + 1 + xI
     = (2 + I)x + 1
f(t) = (2 + I)t + 1
I = ∫[0→2] {(2 + I)t + 1} dt
  = (2 + I)・2 + 2
  = 6 + 2I
-I = 6
I = -6

ここで ∫[0→2] t dt = 2 です。積分区間の長さも 2 なので、定数項 1 の積分は 2 になります。どちらも 2 ですが、理由は異なります。上端が 2 のとき、t の積分を 2 とせずに 1 と扱うと結果が変わります。

f(x) = (2 - 6)x + 1
     = -4x + 1
∫[0→2] (-4t + 1) dt = -4・2 + 2
                          = -6
2x + 1 + x(-6) = -4x + 1

元の固定区間の積分値も -6 となり、元の右辺は候補と一致します。方程式 -I = 6 から I も一意なので、答えは f(x) = -4x + 1 に限られます。

係数照合で見るなら、f(x) = px + q と置いて p = 2 + I、q = 1 を得ます。さらに I = 2p + 2q という積分の関係を加えます。p と q だけの式にしても、I を先に置く方法と同じ条件に行き着きます。式の形から係数を読むことと、積分値を計算することを1組にして考えましょう。

発展例題：割る前に境界を調べる

a を実数とします。すべての実数 x について次の式を満たす多項式 f(x) の個数を a によって分類し、存在する場合は係数を a の式で表してください。

f(x) = x² + 2 + a∫[-1→1] f(t) dt

積分値を I とすると、定数項は 2 + aI です。a は問題で固定された数ですから、I とともに積分の外へ出せます。

I = ∫[-1→1] f(t) dt
f(t) = t² + 2 + aI
I = ∫[-1→1] (t² + 2 + aI) dt
  = 2/3 + 4 + 2aI
  = 14/3 + 2aI
(1 - 2a)I = 14/3

ここで 1 − 2a で割れるかを確認します。a ≠ 1/2 のときは割ることができ、次のように決まります。

I = 14/{3(1 - 2a)}
f(x) = x² + 2 + 14a/{3(1 - 2a)}

候補が条件を満たすことも確かめます。求めた I は (1 − 2a)I = 14/3 を満たすので、候補を積分すると次のようになります。

∫[-1→1] {t² + 2 + aI} dt = 14/3 + 2aI
                                 = (1 - 2a)I + 2aI
                                 = I
x² + 2 + aI = f(x)

したがって a ≠ 1/2 なら解は1個です。一方、a = 1/2 では、割る前の方程式に戻します。

(1 - 2・1/2)I = 14/3
0 = 14/3

これは矛盾です。よって a = 1/2 のとき、条件を満たす f は存在しません。分母が 0 なので式が使えないと述べるだけでは、別の解がないことは示せません。割る前の式から矛盾を出すことが必要です。

では、係数が 0 になればいつも解がないのでしょうか。そうとは限りません。固定区間 [-1, 1] で、別の条件 f(x) = x + a∫[-1→1] f(t) dt を考えます。積分値を J とすると、x に対応する t の積分は 0 なので、次の式になります。

J = ∫[-1→1] (t + aJ) dt
  = 0 + 2aJ
(1 - 2a)J = 0

ここで a ≠ 1/2 なら J = 0、f(x) = x です。a = 1/2 なら 0 = 0 となり、J は任意の実数です。そのとき f(x) = x + J/2 の積分は 0 + J = J なので、どの J も元の条件を満たし、異なる J は異なる定数項を与えます。解の個数は無数です。右辺が 0 かどうかによって、係数が消えた後の結論が分かれます。

誤答を直す：固定された値と、値を掛ける x

基本例題で I = ∫[0→1] f(t) dt と置いたのに、I を x ごとに変わるものとして扱う誤りを考えます。図3のように、端点 0 と 1 は変わりません。したがって I の x に関する変化は 0 です。

微分を使って基本例題を調べるなら、両辺は多項式で微分可能なので、固定された I を定数として次の式が得られます。

f(x) = x² + 2I
f′(x) = 2x
f(x) = x² + C

ただし、ここから C を 0 と決めることはできません。元の条件に戻すと、C と積分値 I の間に C = 2I があり、I 自身も C を使って決まります。

I = ∫[0→1] (t² + C) dt
  = 1/3 + C
C = 2I
C = 2(1/3 + C)
-C = 2/3
C = -2/3

このように微分後には定数項の情報が失われます。元の式へ戻す操作を省くと、定数項を誤ります。さらに、標準例題の xI は I が固定でも x によって変わり、微分すれば I です。「積分値は定数」と「積分値を含む項全体も定数」を混同しないようにします。

もう1つの誤りは、I = A + BI から直ちに I = A/(1 − B) と書き、1 − B = 0 の可能性を調べないことです。まず (1 − B)I = A と整理し、係数が 0 かどうかで場合分けします。矛盾と恒等式の両方を調べると、存在しない解を作ったり、無数の解を捨てたりすることを避けられます。

練習問題：積分値から係数と解の個数へ

いずれも、書かれた等式はすべての実数 x で成り立つものとします。f(x) は多項式です。係数は整数または既約分数で表し、文字を含む場合はその文字の式で表してください。

f(x) = 3x² + ∫[0→2] f(t) dt を満たす f(x) を求めてください。
f(x) = x + 2 − ∫[0→1] f(t) dt を満たす f(x) を求めてください。
f(x) = 1 + x∫[0→1] f(t) dt を満たす f(x) を求めてください。
f(x) = 2x² + ∫[-1→1] f(t) dt を満たす f(x) を求めてください。
k を実数とします。f(x) = 2x + k∫[0→1] f(t) dt を満たす f(x) の個数を k によって分類し、存在するときは f(x) を求めてください。

練習の答えと解き方

各問の I は、その問に書かれた固定区間での f の積分値です。異なる問題の I を同じ値として扱わず、それぞれの定義から計算します。

積分区間の上端が 2 であることに注意します。

I = ∫[0→2] f(t) dt
f(t) = 3t² + I
I = ∫[0→2] (3t² + I) dt
  = 8 + 2I
I = -8
f(x) = 3x² - 8
∫[0→2] (3t² - 8) dt = 8 - 16
                            = -8
3x² + (-8) = 3x² - 8

元の右辺に積分値 -8 を戻すと候補に一致します。I は一意なので答えも一意です。

マイナス記号を積分値の前に残して整理します。

I = ∫[0→1] f(t) dt
f(t) = t + 2 - I
I = ∫[0→1] (t + 2 - I) dt
  = 1/2 + 2 - I
2I = 5/2
I = 5/4
f(x) = x + 2 - 5/4
     = x + 3/4
∫[0→1] (t + 3/4) dt = 1/2 + 3/4
                           = 5/4
x + 2 - 5/4 = x + 3/4

元の式に戻しても左右が一致します。定数項は 3/4 です。

I は定数でも xI は x の項です。

I = ∫[0→1] f(t) dt
f(t) = 1 + tI
I = ∫[0→1] (1 + tI) dt
  = 1 + I/2
I/2 = 1
I = 2
f(x) = 1 + 2x
∫[0→1] (1 + 2t) dt = 1 + 1
                         = 2
1 + x・2 = 1 + 2x

積分値を元の右辺へ戻すと候補に一致します。x の係数が 2 と決まります。

負の端点を含む区間では、積分区間の長さが 2 です。

I = ∫[-1→1] f(t) dt
f(t) = 2t² + I
I = ∫[-1→1] (2t² + I) dt
  = 4/3 + 2I
I = -4/3
f(x) = 2x² - 4/3
∫[-1→1] (2t² - 4/3) dt = 4/3 - 8/3
                                = -4/3
2x² + (-4/3) = 2x² - 4/3

候補の積分値を元の右辺に戻すと、すべての x で候補に一致します。定数項の積分では、区間の長さ 2 を忘れないようにします。

k = 1 を割り算の前に分けます。

I = ∫[0→1] f(t) dt
f(t) = 2t + kI
I = ∫[0→1] (2t + kI) dt
  = 1 + kI
(1 - k)I = 1

k ≠ 1 のとき、候補は次のように一意に決まります。

I = 1/(1 - k)
f(x) = 2x + k/(1 - k)
∫[0→1] {2t + k/(1 - k)} dt = 1 + k/(1 - k)
                                    = 1/(1 - k)
2x + kI = 2x + k/(1 - k)

よって k ≠ 1 なら解は1個です。k = 1 なら 0 = 1 という矛盾になるため、解はありません。候補を作れなかっただけでなく、元の条件を満たす積分値が存在しないことまで示せました。

手元に残す4行

固定区間の積分値を未知定数 I と置きます。
右辺の x の各次数の係数を I で表します。
その関数を積分し、I の方程式を解きます。
係数が 0 の場合を分け、元の式全体へ戻します。

どこで止まったかを式で見つける

途中で答えが合わないときは、まず「固定される数はどれか」を口に出して説明し、積分の端点と積分する文字を指で追ってみてください。次に、I を置いた式から f(t) を作り、定数項に区間の長さを掛けたかを確認します。xI がある場合は、I が一定でも項全体は x に応じて変化することを、x = 0 と x = 1 の式で比べられます。

個別指導で考え方を確かめるなら、完成した答えだけでなく、(1 − B)I = A を作った根拠と、係数が 0 のときの結論を説明してみましょう。最後に候補の積分値を計算し、元の等式に戻した1行まで書ければ、計算と条件の両方を点検できます。固定区間の定数化から始め、元の式へ戻るところまでが関数決定の道筋です。