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高校数学II 定積分の性質—向きと区間の分割をそろえて値を組み立てる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学II 微分法と積分法

逆向きの区間では符号を変え、同じ関数の区間をつないで、未知の積分値を組み立てていきます。

よくあるのは、高校生が積分区間を逆向きに書き直しても、値は変わらないと考える場面です。数直線では同じ部分を通るので、同じ量に見えるかもしれません。しかし定積分には始点から終点への向きがあります。向きを逆にしたときの符号を確かめ、途中の点で区間をつなぐと、直接積分しなくても未知の値を求められます。

何をつなぎ、何を反転するか

問題には主に3つの型があります。既知の積分を逆向きにする型、2つの区間をつないで未知の区間を求める型、同じ区間で関数の和や定数倍を扱う型です。混ざった問題では、まず関数と区間を別々に読み取ります。関数が違う積分を区間だけ見てつなぐことも、区間が違う積分を関数だけ見て線形性でまとめることもできません。

たとえば、左から右へ進む2つの区間が端点でつながるなら、その和は出発点から到着点への積分です。一方、逆向きの区間が含まれるなら、符号を変えて向きをそろえます。図を描く前に積分記号の下端と上端に印をつけると、どの数字が出発点かを見失いにくくなります。

値が負でも計算の失敗とは限りません。積分値は向きを持ち、関数の符号にも影響されます。面積を求める問題では別に上下の位置を調べる必要がありますが、ここでは与えられた定積分の値を性質によって結びます。

原始関数から見る向きと分割

多項式 f(x) の原始関数を F(x) とします。つまり F′(x) = f(x) です。定積分は端点の大小にかかわらず、次の差で定めます。

∫[a→b] f(x) dx = F(b) - F(a)

同じ端点なら差は 0 です。また、端点を入れ替えれば差の順序が反対になるので、符号が変わります。

∫[a→a] f(x) dx = 0
∫[b→a] f(x) dx = F(a) - F(b)
                      = -∫[a→b] f(x) dx

図1のように、a から b を経て c へ進むとき、途中の b に対応する値は差の和で消えます。したがって途中点 b が a と c の間にない場合でも式は成り立ちます。その場合は一度通り過ぎて戻る向きも含めて考えます。

∫[a→b] f(x) dx + ∫[b→c] f(x) dx
= F(b) - F(a) + F(c) - F(b)
= F(c) - F(a)
= ∫[a→c] f(x) dx

次に多項式 g(x) の原始関数を G(x)、実数を p、q とします。pF(x) + qG(x) を微分すると pf(x) + qg(x) なので、同じ端点について次の線形性が成り立ちます。

∫[a→b] {pf(x) + qg(x)} dx
= p∫[a→b] f(x) dx + q∫[a→b] g(x) dx

この式は、異なる区間の値をそのまま足す規則ではありません。端点をそろえられるかを先に調べます。また、定数の積分は ∫[a→b] k dx = k(b − a) です。向きが逆なら b − a も負になるため、定数項にも向きの影響が残ります。

区間の分割は、数直線の上で線分を切る操作に限りません。途中点が外にあっても、原始関数の値を一度足して同じ値を引くため、差は変わりません。図に描いた向きが重なって見えるときは、前向きの値と逆向きの値を別々に書けば相殺を確認できます。式を移項するときの負号と、向きを逆にするときの負号は別の操作です。2つが続いた場合はそれぞれを1行ずつ記録します。

また、与えられた数値だけで足りるかを先に調べます。求めたい区間と既知の区間を矢印でつないでも端点がそろわない場合、残りの区間の値が必要です。関数の式も追加条件もないまま、見た目の長さから積分値を決めることはできません。積分値は区間の長さに加えて関数の値にも依存するからです。

基本例題：逆向きの区間をつなぐ

多項式 f(x) について、∫[1→4] f(x) dx = 7、∫[1→6] f(x) dx = 2 とします。∫[6→4] f(x) dx を整数で求めてください。

図2のように、1 から 6 まで進んだ後、6 から 4 へ戻ると、全体として 1 から 4 まで進みます。求める値を A と置けば、既知の値と同じ向きの式に整理できます。

∫[1→6] f(x) dx + ∫[6→4] f(x) dx
= ∫[1→4] f(x) dx
2 + A = 7
A = 5

答えは 5 です。逆向きを先に直す別の方法もあります。1 から 6 を 4 で分けると、4 から 6 の値は 2 − 7 = -5 です。その逆の 6 から 4 は 5 になります。元の条件へ戻すと、2 + 5 = 7 となって 1 から 4 の値と一致します。

ここで、4 から 6 の値が負であることと、区間の向きが右向きであることは別の話です。関数の値が負になる部分があるために右向きでも負の積分値が生じます。向きを反転する操作は、元の値が正でも負でも符号を反対にします。

標準例題：区間と関数を順にそろえる

多項式 f(x)、g(x) が次の条件を満たすとします。∫[2→5] {2f(x) − 3g(x) + 4} dx を整数で求めてください。

∫[2→7] f(x) dx = 9
∫[5→7] f(x) dx = 4
∫[5→2] g(x) dx = 2

まず f の区間を 2 から 5 にそろえます。2 から 7 は 2 から 5 と 5 から 7 に分かれます。

∫[2→5] f(x) dx + 4 = 9
∫[2→5] f(x) dx = 5

g は端点が同じで向きが反対なので、符号を変えます。定数項の区間の長さも計算してから、線形性を使います。

∫[2→5] g(x) dx = -2
∫[2→5] 4 dx = 4(5 - 2)
                  = 12
∫[2→5] {2f(x) - 3g(x) + 4} dx
= 2・5 - 3・(-2) + 12
= 28

答えは 28 です。確かめると、f の値は 5 + 4 = 9 と元の区間に戻ります。g の値も向きを再び逆にすれば 2 です。定数部分は長さ 3 の区間で高さ 4 を積分して 12 となり、各条件に対応しています。

2 と 5 の位置関係を使って定数項を計算しましたが、線形性自体は端点の大小を問いません。たとえば逆向きに全体を求めるなら、最後の 28 の符号を変えて -28 です。係数 -3 と逆向きによる負号が重なる箇所では、括弧を省かずに書くと区別できます。

発展例題：途中点が区間の外にある場合

多項式 f(x) について、∫[0→3] f(x) dx = 4、∫[0→8] f(x) dx = -6 とします。実数 t に対し、∫[3→t] f(x) dx + ∫[t→8] f(x) dx を求め、さらに ∫[8→3] f(x) dx との関係を説明してください。答えは整数で示します。

途中点 t が 3 と 8 の間にあるときは、2つの矢印をつないで 3 から 8 です。t が 8 より大きいときは、一度 8 を越えて t まで進み、そこから 8 へ戻ります。余分に進んだ部分と戻った部分は互いに符号が反対なので消えます。t が 3 より小さい場合も、3 から t へ戻る部分と、t から 3 へ進む部分が消えます。境界 t = 3、t = 8 では片方の積分が 0 です。

原始関数を用いた加法性はこれらをまとめて表します。したがって t の範囲を場合分けして別々の答えを作る必要はありません。

∫[3→t] f(x) dx + ∫[t→8] f(x) dx
= ∫[3→8] f(x) dx
∫[0→3] f(x) dx + ∫[3→8] f(x) dx
= ∫[0→8] f(x) dx
4 + ∫[3→8] f(x) dx = -6
∫[3→8] f(x) dx = -10
∫[8→3] f(x) dx = 10

求める和は t によらず -10 で、逆向きの積分はその符号を変えた 10 です。元の条件に戻すと、0 から 3 の 4 と 3 から 8 の -10 の和が -6 になり、与えられた 0 から 8 の値に一致します。t が端点の外にあると加法性を使えないと決めつけず、向き込みでつながるかを見ます。

符号を落とした答えを直す

∫[2→5] f(x) dx = -3 から、∫[5→2] f(x) dx = -3 と書いたとします。同じ数直線上の部分を通るという見方は合っていますが、始点と終点を入れ替えたことが値に反映されていません。図3の矢印は同じ区間を反対に進みます。

原始関数を F とすると、最初の値は F(5) − F(2) = -3 です。求める差はその逆なので、次のように直します。

∫[5→2] f(x) dx = F(2) - F(5)
                  = -{F(5) - F(2)}
                  = -(-3)
                  = 3

この 3 を元の区間につなぐと、-3 + 3 = 0 です。2 から 5 を経て 2 に戻る積分も 0 なので整合します。負の値をさらに負にする操作は、絶対値を取る操作ではありません。元の値が正なら逆向きは負になることも、同じ規則から確かめてください。

もう一つの誤りは、異なる関数を区間がつながるという理由で一つにすることです。∫[a→b] f(x) dx と ∫[b→c] g(x) dx では、一般に途中で関数が変わります。加法性を使うには同じ関数が必要です。逆に同じ区間でも、f と g の和を扱うときは線形性を使い、区間の加法性とは区別します。

練習問題

以下の f、g は多項式です。答えは各問とも整数で示してください。まず5問を続けて解き、区間の向きと関数を確認してから解答を見ます。

∫[-2→3] f(x) dx = 8 のとき、∫[3→-2] f(x) dx を求めてください。
∫[-1→2] f(x) dx = -4、∫[2→9] f(x) dx = 6 のとき、∫[-1→9] f(x) dx を求めてください。
∫[1→10] f(x) dx = 3、∫[4→10] f(x) dx = -2 のとき、∫[4→1] f(x) dx を求めてください。
∫[-3→2] f(x) dx = 5、∫[-3→2] g(x) dx = -1 のとき、∫[-3→2] {3f(x) + 2g(x) − 2} dx を求めてください。
∫[1→5] f(x) dx = 7、∫[5→11] f(x) dx = -3 のとき、∫[11→1] f(x) dx + ∫[1→1] f(x) dx を求めてください。

練習の答えと解き方

1

端点が逆なので符号を変えます。

∫[3→-2] f(x) dx = -∫[-2→3] f(x) dx
                    = -8

答えは -8 です。元の向きに戻すと 8 となり、与えられた値に一致します。両方向の和も 0 です。

2

途中の 2 で区間がつながります。

∫[-1→9] f(x) dx
= ∫[-1→2] f(x) dx + ∫[2→9] f(x) dx
= -4 + 6
= 2

答えは 2 です。全体の 2 から前半の -4 を引くと 6 となり、後半の条件に戻ります。負の値を引くときは符号に注意します。

3

まず 1 から 4 の値を取り出し、最後に向きを変えます。

∫[1→4] f(x) dx + ∫[4→10] f(x) dx = 3
∫[1→4] f(x) dx - 2 = 3
∫[1→4] f(x) dx = 5
∫[4→1] f(x) dx = -5

答えは -5 です。逆向きに戻した 5 と 4 から 10 の -2 を足すと 3 となり、全体の条件を満たします。

4

定数項を含め、同じ区間の各積分に分けます。

∫[-3→2] {3f(x) + 2g(x) - 2} dx
= 3・5 + 2・(-1) - 2{2 - (-3)}
= 15 - 2 - 10
= 3

答えは 3 です。区間の長さは 5 なので定数部分は -10 です。各成分を足した値は 15 − 2 − 10 = 3 となり、元の被積分関数の3項に対応します。

5

まず 1 から 11 の値を求めます。同じ端点の積分は 0 です。

∫[1→11] f(x) dx = 7 + (-3)
                     = 4
∫[11→1] f(x) dx = -4
∫[1→1] f(x) dx = 0
∫[11→1] f(x) dx + ∫[1→1] f(x) dx = -4

答えは -4 です。逆向きの値を再度反転すると 4 となり、与えられた2区間の和 7 + (-3) と一致します。

手元に残す要点

端点を交換すると積分値の符号が反転します。
同じ関数なら、つながる2区間の和は出発点から到着点への値です。
線形性を使う前に、積分区間が同じかを見ます。
定数項は定数と上端から下端を引いた差の積です。
答えを元の向きと区間へ戻し、与えられた値に合うか確かめます。

式が止まったときの点検

途中で符号が合わなくなったら、各積分の下端から上端へ矢印を書き、その横に既知の値を置きます。矢印を反転したときに値も反転したか、つなぐ点が一致するかを順番に調べます。負の積分値を見ただけで矢印の向きを変えないことも大切です。

個別指導で確かめるなら、まず ∫[a→b] f(x) dx = u のとき逆向きがなぜ -u かを、原始関数の差で説明します。次に ∫[a→b] f(x) dx + ∫[b→c] f(x) dx の途中の項がどう消えるかを書きます。答えだけでなく、始点と終点の差がどう残るかを言葉にできれば、途中点が区間の外にある場合にも同じ考えを使えます。