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高校数学II 不定積分と初期条件—通る点の情報を使い積分定数を決める｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学II 微分法と積分法

傾きの式を積分した後で通る点を代入し、定数が決まる場合と未知係数が残る場合を区別できます。

よくあるのは、導関数から元の関数を求める途中で、通る点の条件に導関数の値を入れてしまう場面です。傾きの式と高さの式には同じ x が現れますが、表している量は違います。点の縦座標は元の関数の値です。まず関数を定数つきで復元し、その式に点の座標を戻す順序を練習しましょう。

条件が指定するものを読む

問題には、f′(x) の式と f(a) = b のような条件が与えられます。前者は各位置での傾き、後者は x = a での関数の値です。グラフが点 (a, b) を通るという言葉も、後者と同じ条件です。横座標 a を代入する先は f′ ではなく f です。

もう1つの型は、導関数に未知の係数があり、通る点が2つ与えられるものです。積分定数と係数が両方未知なので、2つの関数値から連立方程式を作ります。計算の前に、何が未知で、条件が何本あるかを数えると見通しが立ちます。条件が不足すれば複数の関数が残り、条件が食い違えば該当する関数はありません。条件の数が十分に見えても、実際に方程式を解いて判定します。

傾きから高さへ戻る

関数 F(x) を微分して f(x) になるとき、F を f の原始関数といいます。多項式 f の不定積分は、原始関数に任意の定数 C を加えたものです。定数を微分すると 0 なので、異なる C は同じ導関数を持ちます。逆に、同じ導関数を持つ関数どうしの差は定数です。したがって、初期条件がなければ上下に平行移動した曲線が残ります。

図1のように、傾きの式から関数の候補の集まりへ進み、点の情報で C を決めます。点を通る条件は高さを決める情報です。傾きが同じでも高さが違う候補を区別できます。

図1の右端にある検算には2つの役割があります。微分が元の傾きに戻るかを調べれば積分の間違いを見つけられます。点の代入が合うかを調べれば定数や座標の取り違えを見つけられます。一方だけ合っても、もう一方が合うとは限りません。

多項式では、例えば x² の原始関数は x³/3 です。微分すると 3 が降りてきて x² に戻ります。定数項 k の原始関数は kx です。定数の原始関数がまた定数になるわけではありません。和や差は各項をそれぞれ積分し、最後に積分定数を1つ加えます。項ごとに定数を書いても、それらの和は1つの定数にまとめられます。

基本例題：点を通る放物線

関数 f は f′(x) = 4x − 2 を満たし、そのグラフは点 (1, 5) を通ります。f(x) を求め、係数は整数で表してください。

まず導関数を積分します。各項を微分して戻る形を選び、最後に定数 C を付けます。

f(x) = ∫(4x - 2) dx
     = 2x² - 2x + C

点の条件は f(1) = 5 です。導関数に 1 を代入した値は傾きであり、5 と同じ意味ではありません。元の関数に代入すると次のようになります。

2・1² - 2・1 + C = 5
C = 5
f(x) = 2x² - 2x + 5

図2のように、候補は同じ形の放物線ですが、点 (1, 5) を通るものが選ばれます。図では C = 5 と C = 2 の候補を示しています。両方とも x = 1 での傾きは 2 ですが、その高さはそれぞれ 5 と 2 です。

答えを微分すると 4x − 2 となり、与えられた傾きに戻ります。また f(1) = 2 − 2 + 5 = 5 です。指定された横座標と縦座標の組に戻して、点を通ることも確かめました。

標準例題：負の座標で定数を決める

関数 g は g′(x) = 3x² + 2x − 4、g(-2) = 7 を満たします。g(x) を求め、係数は整数で表してください。

導関数は多項式なので、項ごとに原始関数を作れます。負の数を代入するときは、累乗の範囲を括弧で明確にします。

g(x) = ∫(3x² + 2x - 4) dx
     = x³ + x² - 4x + C
g(-2) = (-2)³ + (-2)² - 4・(-2) + C
      = -8 + 4 + 8 + C
      = 4 + C
4 + C = 7
C = 3
g(x) = x³ + x² - 4x + 3

検算では、微分が 3x² + 2x − 4 に戻ります。さらに g(-2) = -8 + 4 + 8 + 3 = 7 なので、点 (-2, 7) を通ります。例えば (-2)² を -4 と誤ると C が変わり、微分は合っていても点の条件に戻りません。微分だけでは見逃す誤りです。

この例で g′(-2) は 12 − 4 − 4 = 4 です。これは点での接線の傾きで、縦座標 7 とは異なります。同じ -2 を入れても、どちらの関数に入れたかで得られる量が変わります。

発展例題：係数と定数を同時に決める

関数 h は h′(x) = 6x + a を満たし、そのグラフは点 (0, 2) と (2, 14) を通ります。定数 a と h(x) を求め、係数は整数で表してください。

まず a を x に関して定数として積分します。未知数は a と積分定数 C の2つです。2点の条件はそれぞれ h(0) = 2、h(2) = 14 となります。

h(x) = 3x² + ax + C
h(0) = C
C = 2
h(2) = 12 + 2a + 2
12 + 2a + 2 = 14
2a = 0
a = 0
h(x) = 3x² + 2

答えを微分すると 6x です。a = 0 を与えられた導関数に入れた式と一致します。また h(0) = 2、h(2) = 12 + 2 = 14 なので、2点の両方に戻ります。片方の点だけを確認すると、もう片方の条件での計算違いは残るため、2つとも代入します。

条件が常に解を決めるわけではありません。例えば同じ横座標で h(0) = 2 と h(0) = 3 を同時に要求すれば、1つの関数値が異なる2値になるため不可能です。反対に h(0) = 2 を2回与えても、独立した条件は増えず、上の形では a が自由に残ります。式の本数より、その式が何を制約しているかを確認します。

誤答を直す：傾きと高さの混同

基本例題で、f′(1) = 4 − 2 = 2 を計算し、それを条件の 5 と比較して「条件に合わない」とする誤りを考えます。条件は f(1) = 5 であり、f′(1) = 5 ではありません。高さと傾きは別の量なので、2 と 5 が異なることは矛盾ではありません。

図3のように、点 (1, 5) の高さは 5、その点の接線の傾きは 2 です。通る点の座標と接線の傾きを、それぞれ元の関数と導関数へ対応させます。

修正には f(x) = 2x² − 2x + C を使います。f(1) = C ですから、C = 5 と決まります。図3の接線は y = 2x + 3 で、x = 1 で y = 5 となります。傾きと高さの両方を同じ点に対応させても、数値を等しいと置く必要はありません。

別の失敗は、積分定数を初めから 0 と決めることです。導関数には定数の情報が残らないので、0 と置く理由はありません。候補を C つきで書き、点の条件から値を決めてください。条件がない場合は C を任意の定数として残します。

条件の組を比べる

初期条件が1つある場合、定数が決まる理由を文字で確かめます。f′(x) が与えられ、その原始関数の1つが F(x) なら、候補は f(x) = F(x) + C です。ここに f(a) = b を入れると、次の式になります。

F(a) + C = b
C = b - F(a)
f(x) = F(x) + b - F(a)

F(a) は既知の数なので、C は1つに定まります。実際にこの式を微分すると F′(x) に戻り、x = a を入れると F(a) + b − F(a) = b です。導関数の指定と点の指定をそれぞれ満たします。別の原始関数を最初に選んでも、その定数分が最後に打ち消されるため、得られる f は同じです。

2点を与えたときは、定数を消した差にも意味があります。f(x) = F(x) + C が (a, b)、(d, e) を通るなら、次の2式が必要です。

F(a) + C = b
F(d) + C = e
F(d) - F(a) = e - b

最後の式は、候補の高さの変化と指定された2点の高さの差が一致するという条件です。一致すれば最初の点から C を決めた式はもう一方の点も通ります。一致しなければ、上下に移動するだけでは2点を同時に通せません。これは導関数が既に決まっている場合の判定です。発展例題のように導関数に未知係数があれば、その係数も変化量を調整できます。

計算の順番を変えるときにも、何を消去したかを意識します。2つの点の式を引けば C は消えますが、引き算の向きが左右で逆になると係数の符号が変わります。片方の式からもう片方の式を引くと決め、両辺で同じ順序にします。求めた係数は片方の式へ戻して C を決め、最後に両方の点へ代入します。式の数が足りない場合や矛盾する場合は、無理に数値を作らず、残る自由度や矛盾を答えます。

符号と代入の点検

積分の前後で次数が1つ変わることも目印です。ただし次数だけ合っていても係数の誤りは残るので、必ず微分して係数まで戻します。例えば 6x² の候補を 6x³ とすると微分は 18x² です。正しくは 2x³ で、微分による3倍を打ち消します。

点の条件を式に入れた後は、左辺全体が指定された縦座標に等しいかを見ます。負の横座標では偶数乗と奇数乗の符号が異なります。括弧を書いてから計算すると、定数を決める段階での符号の混乱を減らせます。最後の代入は計算のやり直しではなく、条件が指す点へ実際に戻る検査です。

練習問題

各問の関数と定数を求め、係数は整数または既約分数で表してください。問題を解き終えてから、下の答えで微分と点の両方を確認しましょう。

p′(x) = 8x + 3、p(2) = 1 のとき、p(x) を求めてください。
q′(x) = 6x² − 4、q(-1) = 6 のとき、q(x) を求めてください。
r′(x) = 2x + b、r(1) = 4、r(3) = 14 のとき、b と r(x) を求めてください。
s′(x) = 3x² − 2x + 1、s(0) = -2 のとき、s(x) と s(2) を求めてください。
t′(x) = 2cx + 1、t(-1) = 3、t(1) = 5 のとき、条件を満たす c と t(x) を求めてください。

練習の答えと解き方

1

p(x) = 4x² + 3x + C
p(2) = 16 + 6 + C
22 + C = 1
C = -21
p(x) = 4x² + 3x - 21

微分すると 8x + 3、p(2) = 16 + 6 − 21 = 1 です。傾きと指定点の両方に戻ります。

2

q(x) = 2x³ - 4x + C
q(-1) = -2 + 4 + C
2 + C = 6
C = 4
q(x) = 2x³ - 4x + 4

微分は 6x² − 4、q(-1) = -2 + 4 + 4 = 6 です。負の座標の3乗にも符号を付けて戻しました。

3

r(x) = x² + bx + C
1 + b + C = 4
b + C = 3
9 + 3b + C = 14
3b + C = 5
2b = 2
b = 1
C = 2
r(x) = x² + x + 2

微分は 2x + 1 で、b = 1 の条件に合います。r(1) = 1 + 1 + 2 = 4、r(3) = 9 + 3 + 2 = 14 となり、両点を通ります。

4

s(x) = x³ - x² + x + C
s(0) = C
C = -2
s(x) = x³ - x² + x - 2
s(2) = 8 - 4 + 2 - 2
     = 4

微分は 3x² − 2x + 1 で、s(0) = -2 です。求めた s(2) は復元した関数に 2 を代入した高さです。

5

t(x) = cx² + x + C
t(-1) = c - 1 + C
t(1) = c + 1 + C
c - 1 + C = 3
c + C = 4
c + 1 + C = 5
c + C = 4

2つの条件は同じ式になるため、c は任意の実数で、C = 4 − c です。したがって t(x) = cx² + x + 4 − c です。微分は 2cx + 1、t(-1) = c − 1 + 4 − c = 3、t(1) = c + 1 + 4 − c = 5 です。2条件があっても未知数をそれぞれ決められるとは限らない例です。