高校数学II 閉区間の最大最小—端点と極値の候補を同じ表で比較する｜武蔵野個別指導塾

端点と停留点の値を同じ表に並べ、区間外の候補や同値の位置も見落とさずに閉区間の最大最小を探ります。

よくあるのは、高校生が増減表で山を見つけ、端点の値を比較しないまま最大値を書いてしまう場面です。区間の中に山があっても、反対側の端がそれより高いことがあります。閉区間では両端も実際に選べる点ですから、山や谷と同じ候補表に入れます。値の大小を決めた後、その値を取る x も元の区間に戻して答えます。

まず区間と答えの形を見る

典型的な問いは、固定された区間で多項式の最大値と最小値を求めるものです。端点の値と、導関数が 0 になる区間内の点の値を比べます。導関数の方程式を解いて得た点が区間外なら、その点は選べないので表から除きます。

もう一つは、候補の値が等しい場合です。最大値が一つの数でも、それを取る位置は複数ありえます。例えば左右の端点が同じ高さなら、両方の x を書きます。問題が値だけでなく位置も求めるなら、大小比較の結果から位置を読み落とさないことが必要です。

さらに、関数に文字定数があると候補の高さの順序が変わります。そのときは候補の差を因数分解し、等しくなる境界も含めて場合分けします。ここでは多項式と固定された閉区間を扱い、区間そのものを動かす問題は扱いません。

候補に入る点と入らない点

実数 a < b に対し、a ≦ x ≦ b を閉区間といい、[a, b] と書きます。端点 a と b を含むことが大事です。多項式は閉区間で連続なので、その区間で最大値と最小値を取ります。また内部で微分可能な関数が内部の点で最大値や最小値を取るなら、そこでの導関数は 0 です。端点では左右の両方から区間内を調べられないため、この条件を端点に要求しません。

したがって、多項式については次の手順で十分です。まず f′(x) = 0 を解き、a < x < b にある解を拾います。次に a、b と拾った点で f の値を計算し、最大と最小を比べます。端点でも導関数が 0 の場合は、端点として一度だけ表に入れれば足ります。停留点は極値を取らないこともありますが、候補に残して比較しても結論は変わりません。

図1のように、候補を選ぶ段階と値を比べる段階を分けます。導関数が 0 となる点を求めただけでは高さの比較は終わっていません。

図1の左右の端はともに候補です。内部の停留点も候補ですが、どれが最大かは関数値で判定します。区間外にある停留点を選ぶことも、端点を落とすことも避けられます。

「極大値」と「最大値」は異なります。極大値はその点の近くと比べた高さで、最大値は指定された区間全体で最も大きい高さです。極大点が存在しない区間でも、端点で最大値を取ることがあります。単調な区間ならその向きから候補を絞れますが、最後に値と位置を分けて書く点は同じです。

基本例題：端点が山を上回る

関数 f(x) = x³ − 3x を閉区間 -2 ≦ x ≦ 3 で考えます。最大値と最小値を整数で求め、それぞれを取る x もすべて答えてください。

多項式なので連続かつ微分可能です。導関数を因数分解します。

f′(x) = 3x² - 3
       = 3(x + 1)(x - 1)
f′(x) = 0 より x = -1, 1

両方とも区間の内部です。符号は左から正、負、正なので、-1 で極大、1 で極小です。ただし、ここで最大値と最小値を決めず、両端も合わせて計算します。

f(-2) = (-2)³ - 3(-2) = -2
f(-1) = (-1)³ - 3(-1) = 2
f(1) = 1³ - 3・1 = -2
f(3) = 3³ - 3・3 = 18

最大値は 18、その位置は x = 3 です。最小値は -2、その位置は x = -2, 1 です。図2のように、極大点の高さ 2 より右端の高さ 18 が大きく、左端と谷の高さは一致します。

図2では横方向を x、縦方向を f(x) として点を置いています。増減と合わせると、候補の間に表の値を超える山や下回る谷がないことも確認できます。x = -2 と x = 1 はどちらも元の区間に属し、それぞれ代入すると -2 に戻ります。x = 3 の代入値も 18 です。

標準例題：区間外の停留点を除く

関数 g(x) = x³ − 12x + 1 の 0 ≦ x ≦ 3 における最大値と最小値を整数で求め、それぞれの位置を答えてください。

g′(x) = 3x² - 12
       = 3(x + 2)(x - 2)
g′(x) = 0 より x = -2, 2

-2 は指定区間の外なので候補に入りません。2 は内部にあり、0 < x < 2 では g′(x) < 0、2 < x < 3 では g′(x) > 0 です。両端と 2 の値を求めます。

g(0) = 1
g(2) = 8 - 24 + 1 = -15
g(3) = 27 - 36 + 1 = -8

1 > -8 > -15 なので、最大値は 1 で x = 0、最小値は -15 で x = 2 です。外にある -2 を代入して得た値は、この区間で実現できません。答えの位置 0 と 2 はともに条件内で、元の式に戻すとそれぞれ 1 と -15 になります。

導関数を 0 と置いた方程式の解が、区間の端点に重なる場合もあります。その場合に端点を除外してはいけません。内部の停留点として数えなくても、閉区間の端点として候補に残るからです。反対に、端点を含まない区間では端の値をそのまま最大値とすることはできず、閉区間とは別に考える必要があります。

発展例題：候補の高さが文字で変わる

実数 a に対し、h(x) = x³ − 3x + a x² を -1 ≦ x ≦ 1 で考えます。ただし、ここでは a ≧ 3 とします。最大値と最小値を a の式または整数で表し、その位置を答えてください。

まず導関数の符号を調べます。

h′(x) = 3x² + 2ax - 3
h′(-1) = -2a
h′(0) = -3
h′(1) = 2a

h′(x) = 0 の解は、解の公式から次の通りです。

x = (-a ± √(a² + 9))/3

負の解を p、正の解を q とします。a ≧ 3 より p < -1、0 < q < 1 です。実際、√(a² + 9) > a なので q > 0、また a² + 9 < (a + 3)² より q < 1 です。p < -1 は a + √(a² + 9) > 3 から従います。したがって区間内では q の前で減少し、後で増加します。最小値は x = q の値です。

最大値は端点を比較します。

h(-1) = -1 + 3 + a = a + 2
h(1) = 1 - 3 + a = a - 2
h(-1) - h(1) = 4 > 0

最大値は a + 2、位置は x = -1 です。最小値は q³ + aq² − 3q、位置は x = q です。根号を含む q をそのまま使った正確な式であり、近似値ではありません。q は導関数の方程式から得られ、上の不等式で元の区間の内部にあることも確かめました。例えば a = 3 のとき q = √2 − 1 で、両端の値は 5 と 1 です。減少から増加に変わる q は両端以下なので、比較の結論と一致します。

この例では導関数の解が 2 個あっても、区間内にあるのは q だけです。解の公式の結果をそのまま候補表に並べる前に、区間内かどうかを判定します。境界 a = 3 でも p < -1、0 < q < 1 が保たれるので、別の答えを作る必要はありません。

誤答を候補表から直す

基本例題で「x = -1 で極大値 2 だから最大値は 2」とする答えを考えます。局所的な山を見つけるところまでは正しいものの、閉区間の右端 x = 3 が表から抜けています。端点は導関数が 0 でなくても候補です。

図3のように、漏れた右端の値を追加します。f(3) = 18 は 2 より大きいので、最大値は 18 に直ります。

図3の比較では、極大値 2 自体を消す必要はありません。2 は候補として残し、18 と比べて最大ではないと判断します。同様に、最小値の候補を谷だけにすると、左端の -2 を取り逃し、最小値を取る位置を一つしか答えられません。

候補が区間外の場合は逆の処理です。値が大きく見えても、選べない x は比較表から取り除きます。表の各列に「区間内の位置」と「その位置での関数値」を対にして書けば、位置と値の混同も防げます。

練習：候補を自分で選ぶ

各問で最大値と最小値を整数または分数で求め、それぞれを取る x をすべて答えてください。関数は指定区間で考えます。

1. f(x) = x² − 4x + 7、-1 ≦ x ≦ 4。
2. f(x) = x³ − 3x²、-1 ≦ x ≦ 3。
3. f(x) = -x² + 6x − 2、0 ≦ x ≦ 2。
4. f(x) = x³ − 12x、-3 ≦ x ≦ 1。
5. f(x) = 2x³ − 3x²、-1 ≦ x ≦ 3/2。

練習の答えと道筋

いずれも多項式なので閉区間で連続、内部で微分可能です。候補を計算してから、元の式と区間に戻します。

1. 導関数と候補は次の通りです。

f′(x) = 2x - 4
f′(x) = 0 より x = 2
f(-1) = 1 + 4 + 7 = 12
f(2) = 4 - 8 + 7 = 3
f(4) = 16 - 16 + 7 = 7

最大値 12 を x = -1、最小値 3 を x = 2 で取ります。両位置は区間内で、代入した値が表の値です。

2. 停留点が 2 個あり、両端も別に調べます。

f′(x) = 3x² - 6x
       = 3x(x - 2)
f′(x) = 0 より x = 0, 2
f(-1) = -1 - 3 = -4
f(0) = 0
f(2) = 8 - 12 = -4
f(3) = 27 - 27 = 0

最大値 0 を x = 0, 3、最小値 -4 を x = -1, 2 で取ります。4 点とも区間内であり、それぞれ元の式に代入して同じ値を取ることを確認できます。

3. 導関数の零点は区間外です。

f′(x) = -2x + 6
f′(x) = 0 より x = 3
f(0) = -2
f(2) = -4 + 12 - 2 = 6

0 ≦ x ≦ 2 では f′(x) > 0 です。最大値 6 を x = 2、最小値 -2 を x = 0 で取ります。x = 3 を使わず、両端の代入で答えを戻せます。

4. 区間に入る停留点を選びます。

f′(x) = 3x² - 12
       = 3(x + 2)(x - 2)
f′(x) = 0 より x = -2, 2
f(-3) = -27 + 36 = 9
f(-2) = -8 + 24 = 16
f(1) = 1 - 12 = -11

2 は区間外です。最大値 16 を x = -2、最小値 -11 を x = 1 で取ります。両位置は指定範囲にあり、代入値も一致します。

5. 分数の端点を含めて比べます。

f′(x) = 6x² - 6x
       = 6x(x - 1)
f′(x) = 0 より x = 0, 1
f(-1) = -2 - 3 = -5
f(0) = 0
f(1) = 2 - 3 = -1
f(3/2) = 2・27/8 - 3・9/4
       = 27/4 - 27/4
       = 0

最大値 0 を x = 0, 3/2、最小値 -5 を x = -1 で取ります。3/2 は右端なので選べます。各位置を元の式に戻した値が上の比較と一致します。

比較の途中で迷ったら

表に候補を並べた後、値が負の場合は数直線を使って大小を判断できます。例えば -15 と -8 は、絶対値の大きい -15 の方が小さい数です。符号を落として 15 と 8 を比べると、最小値と最大値の判断が逆になるので、代入した符号を表に残します。分数も同じように、通分してから比べると順序を確かめやすくなります。

増減表と候補表の役割も区別します。増減表は各区間で上がるか下がるかを示し、候補表は実際の高さを比べます。右上がりの区間が最後にあっても、右端が以前の山より低いことはあります。右上がりという情報だけで右端を最大と決めず、両方の値を計算してください。反対に、候補表の値が等しければ、その間が一定だとは限りません。基本例題の左端と谷は同じ高さですが、間には高さ 2 の山があります。

計算の途中で端点と停留点が一致したら、同じ x に対して列を二つ作る必要はありません。その点を一度代入し、端点として残します。候補が両端しかない場合も、表が短くなるだけで手順は変わりません。連続性と微分可能性の条件を確認し、内部の候補がないことを示した上で、両端の値を比較します。

覚えておくこと

閉区間の端点は候補です。 内部では導関数が 0 の点を候補にします。 区間外の点を除いて関数値を比べます。 同じ値を取る位置はすべて答えます。

手が止まったときの確かめ方

候補を作れないときは、まず数直線に端点を書き、導関数の零点をその上に置いてみます。端点と内部の点を区別できれば、何を代入するかが明確になります。値を比べたのに位置を答え損ねるときは、表の上段を x、下段を f(x) にして、同じ最大値や最小値の列をすべて印で追います。

個別指導で確かめるなら、「なぜその点が候補か」と「端点を含めて何と何を比べたか」を式とともに説明してみてください。途中の符号に迷う場合は区間ごとに代表値を代入し、符号が変わる点と変わらない点を見分けます。最後に答えた位置を元の範囲と関数に戻すと、選べない点や代入の誤りに気づけます。端点を含む候補の比較が、閉区間の最大最小を決めます。