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高校数学II 三次関数の極値条件—文字係数による増減の変化を場合分けする｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学II 微分法と積分法

導関数の判別式が正・零・負となる場合を比べ、極値の有無と極値を取る位置の条件まで判定します。

よくあるのは、三次関数を微分して判別式が零になったとき、導関数が零になるから極大と極小が両方あると考える場面です。ところが、傾きが零になる点があっても、その前後で増減が変わらなければ極値にはなりません。文字の値によって零点が2個、1個、0個と変わる様子を、導関数の符号から調べます。最後には極値を取る位置が正になる条件も考えます。

何を条件に直すのか

三次関数に文字が入った問題では、「極大値と極小値をともに持つ文字の範囲」を求める型があります。このとき調べるのは元の三次式の判別式ではなく、微分して得られる二次式の判別式です。元の式が横軸と何回交わるかは、増減の切り替わりが何回あるかとは別の問いです。

もう1つは「極値を取る2つの x がともに正」など、位置まで指定される型です。判別式が正であっても、2点が負の側にあることや、正と負に分かれることがあります。まず異なる2点が存在する条件を求め、それから位置の条件を重ねます。極値という高さと、極値を取る x という位置を混同しないことも必要です。

文字の範囲を答えるときは境界を含むかどうかまで考えます。特に判別式が零の境界を、正の場合に紛れ込ませないようにしましょう。条件が厳密な不等号なのか、等号を含むのかを、符号の変化に戻して決めます。

判別式と増減の関係

多項式の関数はすべての実数で微分可能です。ここでは最高次係数が零でない三次関数 f(x) を扱います。その導関数 f′(x) は二次式です。ある点の近くで、その点の値が両側の値より大きければ極大値、小さければ極小値といいます。f′(x) の符号が正から負に変われば極大、負から正に変われば極小です。

導関数を A(x − p)(x − q) と表せる場合を考えます。ただし A は零でなく、p < q とします。A が正なら、p より左では2因子がともに負なので積は正、p と q の間では積は負、q より右では積は正です。したがって f は増加、減少、増加と変わり、p で極大、q で極小となります。A が負なら符号が反転し、p で極小、q で極大です。

図1のように、判別式 D が正なら異なる2つの実数の零点があり、それぞれで符号が切り替わります。D が零なら f′(x) = A(x − p)² と表せ、p の両側で符号は同じです。点 p では傾きが零ですが、増減は切り替わらず極値を取りません。D が負なら導関数に実数の零点はなく、符号は常に A と同じです。

図1は A が正の場合の符号を表しています。A が負のときは各符号を反転しますが、零点の個数と符号が変わるかどうかは変わりません。従って、最高次係数が零でない三次関数が極大値と極小値をともに持つための必要十分条件は、導関数の判別式 D > 0 です。

なお D = 0 で零点が1個あるという数え方は、異なる実数の零点の個数を数えています。重解という言葉から「2つの異なる点」と判断してはいけません。また、文字によって三次の係数が零になる式では、最初にその文字を分けます。二次関数以下になった場合は、三次関数についての上の条件をそのまま使えません。

基本例題：境界を含めずに求める

実数 a に対し、f(x) = x³ − 3ax + 2 が極大値と極小値をともに持つための a の範囲を、不等号で答えてください。

この式の x³ の係数は常に 1 なので、どの a でも三次関数です。微分して、導関数が異なる2つの実数解を持つ条件を調べます。

f′(x) = 3x² - 3a
       = 3(x² - a)
D = 0² - 4・3・(-3a)
  = 36a
D > 0 より 36a > 0
したがって a > 0

a > 0 なら f′(x) = 0 の解は x = -√a、x = √a です。前者は負、後者は正なので、左から順に書けます。導関数の最高次係数は正ですから、符号は正、負、正と変わります。よって x = -√a で極大値、x = √a で極小値を取ります。

f(-√a) = (-√a)³ - 3a(-√a) + 2
        = -a√a + 3a√a + 2
        = 2 + 2a√a
f(√a) = (√a)³ - 3a√a + 2
       = a√a - 3a√a + 2
       = 2 - 2a√a

求めた a の範囲を元の問いに戻すため、a = 4 の場合も確かめます。f′(x) = 3(x + 2)(x − 2) なので、x = -2 の前後は正から負、x = 2 の前後は負から正です。実際に f(-2) = 18、f(2) = -14 となり、2つの極値を持ちます。図2はこの a = 4 の場合の導関数の符号と元の関数の増減を示しています。

境界の a = 0 では f′(x) = 3x² です。x = 0 では零ですが、両側で正なので極大にも極小にもなりません。a < 0 では x² − a > 0 が常に成り立ち、極値はありません。図2の両方の切り替わりは、a が正であることに支えられています。

標準例題：最高次係数が負の場合

実数 t に対し、g(x) = -x³ + 3tx² − 12x + 1 が極大値と極小値をともに持つための t の範囲を不等号で答え、極値を取る x を根号で表してください。

導関数は二次式で、その最高次係数は負です。判別式の条件を出した後、符号の並びを正の係数の場合から反転させます。

g′(x) = -3x² + 6tx - 12
       = -3(x² - 2tx + 4)
D = (6t)² - 4・(-3)・(-12)
  = 36t² - 144
  = 36(t² - 4)
D > 0 より t² - 4 > 0
             (t - 2)(t + 2) > 0
したがって t < -2 または t > 2

この範囲では平方根の中が正です。導関数を零と置いて解きます。

x² - 2tx + 4 = 0
(x - t)² = t² - 4
x = t - √(t² - 4) または t + √(t² - 4)

平方根は正なので、左側の点は t − √(t² − 4)、右側の点は t + √(t² − 4) です。g′(x) の符号は左から負、正、負と並びます。したがって左側で極小値、右側で極大値を取ります。根号の前の符号だけで極大と極小を決めず、最高次係数も確かめてください。

例えば t = 3 は答えの範囲にあり、零点は 3 − √5 と 3 + √5 です。両方を x² − 6x + 4 に代入すると、平方完成した形から値は零になります。2点の間の x = 3 では g′(3) = 15 > 0、外側の x = 0 では g′(0) = -12 < 0 です。元の関数は減少から増加、さらに減少へ変わるので、要求された2種類の極値が確かにあります。

t = 2 では g′(x) = -3(x − 2)² となり、x = 2 の両側で負です。t = -2 も同様に重解を持つだけです。両境界を含めない理由は、式で等号が付かないからと覚えるのではなく、符号が変化しないことにあります。

発展例題：極値を取る位置がともに正

実数 a に対し、h(x) = x³ − 3ax² + 3(a + 2)x + 1 が極大値と極小値をともに持ち、それらを取る2つの x がともに正となるための a の範囲を不等号で答えてください。

まず2つの極値があること、次にその位置が両方正であることを調べます。h はどの a に対しても三次関数です。

h′(x) = 3x² - 6ax + 3(a + 2)
       = 3{x² - 2ax + a + 2}
       = 3{(x - a)² - (a² - a - 2)}
D = (-6a)² - 4・3・3(a + 2)
  = 36(a² - a - 2)
  = 36(a - 2)(a + 1)
D > 0 より a < -1 または a > 2

異なる零点を p、q とします。二次方程式の解と係数の関係から、次の2式を得ます。

p + q = 2a
pq = a + 2

異なる2つの実数 p、q がともに正であることは、積が正で和が正であることと同じです。積が正なら2つは同符号で、和が正ならその共通の符号は正だからです。そこで条件を重ねます。

p + q > 0 より a > 0
pq > 0 より a > -2
D > 0 より a < -1 または a > 2
共通範囲は a > 2

答えは a > 2 です。a = 2 では判別式が零で、正の位置に傾きが零の点はありますが、2つの極値はありません。a = -2 では導関数の零点に 0 が含まれるため、仮に異なる2点があっても「ともに正」という条件を満たしません。端点を式の意味に戻して確かめます。

答えの中から a = 3 を選ぶと、h′(x) = 3(x − 1)(x − 5) です。実際に h′(1) = h′(5) = 0 で、1 と 5 はともに正です。符号は正、負、正と変わるので、x = 1 で極大、x = 5 で極小になります。h(1) = 8、h(5) = -24 も元の式への代入で確かめられます。この具体例は答えを点検する材料ですが、範囲全体の証明は判別式と和・積の条件で行っています。

誤答を直す：重解は2つの極値ではない

基本例題で a = 0 とすると、f′(x) = 3x² です。ここで「x = 0 は重解だから、極大と極小が同じ場所にある」と答えるのは誤りです。導関数が零であることは候補を絞る情報であり、増減が変わることまで意味しません。

図3のように、x = 0 の左右ではどちらも 3x² > 0 です。元の関数は f(x) = x³ + 2 となり、点 (0, 2) で接線が水平でも、左から右へ増加を続けます。点の左右の値を直接確かめても、任意の正の数 r に対して次のようになります。

f(-r) = 2 - r³
f(0) = 2
f(r) = 2 + r³
f(-r) < f(0) < f(r)

この点は近くの両側の値より大きいわけでも、小さいわけでもありません。したがって極値はありません。図3の符号が同じであることを見れば、重解を異なる2点と数える誤りを修正できます。

別の誤りは、D > 0 から直ちに「2つの極値を取る位置が正」と結論することです。判別式が知らせるのは実数の零点の個数です。位置の正負は和と積、または実際に求めた解を使って別に調べます。答えの境界を代入したときに何が崩れるかまで説明できれば、等号の扱いも確かなものになります。

練習：5つの条件をそれぞれ判定する

次の関数について、指定された文字の範囲を不等号で答えてください。文字はすべて実数とします。問題を先に解いてから、後の解答で境界と符号を照合しましょう。

f(x) = x³ − 12kx + 7 が極大値と極小値をともに持つための k の範囲を求めてください。
g(x) = x³ + 3x² + 3mx + 4 が極大値と極小値をともに持つための m の範囲を求めてください。
h(x) = -2x³ + 6sx² − 6x + 5 が極大値と極小値をともに持つための s の範囲を求めてください。
p(x) = x³ − 6bx² + 3(4b² − 9)x + 2 が極大値と極小値をともに持ち、それらを取る2つの x がともに正となるための b の範囲を求めてください。
q(x) = x³ − 3ux² + 3(u + 6)x − 1 が極大値と極小値をともに持ち、それらを取る2つの x が異符号となるための u の範囲を求めてください。

練習の答えと解き方

微分して零点が2つになる条件を考えます。

f′(x) = 3x² - 12k
       = 3(x² - 4k)
D = 0² - 4・3・(-12k)
  = 144k
D > 0 より k > 0

答えは k > 0 です。例えば k = 1 では零点が -2 と 2 となり、符号は正、負、正です。k = 0 では f′(x) = 3x² となって符号が変わらず、2つの極値という元の条件を満たしません。

判別式を整理します。

g′(x) = 3x² + 6x + 3m
D = 6² - 4・3・3m
  = 36(1 - m)
D > 0 より 1 - m > 0
したがって m < 1

答えは m < 1 です。m = 0 では g′(x) = 3x(x + 2) で、-2 と 0 を境に符号が正、負、正と変わります。m = 1 では g′(x) = 3(x + 1)² となり、重解の左右で増減は変わりません。

導関数の最高次係数に注意します。

h′(x) = -6x² + 12sx - 6
D = (12s)² - 4・(-6)・(-6)
  = 144(s² - 1)
D > 0 より (s - 1)(s + 1) > 0
したがって s < -1 または s > 1

s = 2 では導関数の零点は 2 − √3 と 2 + √3 です。x² − 4x + 1 = (x − 2)² − 3 に代入して両方が零と確認でき、符号は負、正、負となります。元の関数は左の点で極小、右の点で極大です。s = 1 または -1 では重解となるため除きます。

平方完成すると零点を直接読めます。

p′(x) = 3x² - 12bx + 3(4b² - 9)
       = 3{(x - 2b)² - 9}
       = 3(x - 2b + 3)(x - 2b - 3)
p′(x) = 0 より x = 2b - 3 または 2b + 3
2b - 3 < 2b + 3
両方が正となる条件は 2b - 3 > 0
したがって b > 3/2

零点の間隔は常に 6 なので、どの b でも異なる2点で符号が変わります。b = 2 では零点は 1 と 7 で、両方とも正です。元の条件の極大と極小も符号の変化から存在します。b = 3/2 では左の零点が 0 となり、正という条件を満たしません。

導関数の2つの零点を r、s と置き、積を使います。

q′(x) = 3x² - 6ux + 3(u + 6)
q′(x) = 0 より x² - 2ux + u + 6 = 0
rs = u + 6
r と s が異符号なら rs < 0
u + 6 < 0 より u < -6

逆に u < -6 なら、定数項 u + 6 が負なので、二次式は x = 0 で負、十分大きな正負の x で正です。連続性から正と負にそれぞれ零点があり、二次式なのでそれらは異なる2点です。よって導関数の符号は正、負、正となり、元の関数は2つの極値を持ちます。答えは u < -6 です。u = -7 では零点は -7 ± 5√2 で、(5√2)² = 50 > 49 = 7² より一方が正、他方が負です。u = -6 では積が零となり、一方の位置は 0 なので異符号ではありません。