高校数学II 三次関数のグラフ—極値と切片を結び交点の位置を確かめる｜武蔵野個別指導塾

三次関数の極値と軸との交点を求め、増減の向きと点の高さが一致するように概形を描いていきます。

よくあるのは、増減表を作った高校生が、極大点を極小点より低い位置に描いてしまう場面です。x の順番は合っていても、点の高さを確かめなければ、増加と減少の矢印をつなげられません。三次関数のグラフは、式から得た情報を座標平面に置き、点の間を増減に沿って結ぶことで描けます。軸との交点も、図の見た目だけで決めずに元の式で確かめましょう。

描く前に拾う情報

問題には、関数の式から概形を描く型と、グラフを使って軸との交点の位置を調べる型があります。前者では導関数の符号と極値を調べ、後者ではさらに関数値の符号や因数分解を使います。数値がきれいな交点でも、図から読み取っただけでは正確な座標の証拠になりません。

三次の項の係数の符号も手掛かりです。正なら左下から右上へ、負なら左上から右下へ向かいます。ただし、それだけでは途中に山や谷があるかは決まりません。導関数が 0 になる点を求め、各区間の符号を調べてから、曲線をつなぎます。

軸との交点は役割を分けて調べます。縦軸上では x = 0 なので、縦切片は f(0) です。横軸上では y = 0 なので、f(x) = 0 を解きます。方程式を因数分解できないときも、連続性と増減、適当な整数での関数値を使えば交点のある範囲を絞れます。

増減から点をつなぐ

三次関数 f(x) = ax³ + bx² + cx + d では a ≠ 0 です。多項式は実数全体で連続かつ微分可能で、導関数は f′(x) = 3ax² + 2bx + c です。ある区間で f′(x) > 0 なら f はその区間で増加し、f′(x) < 0 なら減少します。符号が変わる点では、左から右へ増加して減少すれば極大、減少して増加すれば極小です。

極大値や極小値は縦の値、極大点や極小点は座標の組です。特に極大値が正、極小値が負とは限りません。両方が横軸より上でも、両方が下でも、山から谷へ減少するので極大点の方が高くなります。図1のように、横方向の順序と縦方向の高さを同時に読み取ります。

図1では左側で増加し、山の後に減少し、谷の後に再び増加しています。これは最高次係数が正で、導関数が異なる 2 つの実数解を持つ場合の形です。係数が負なら両端の向きと符号の並びが逆になり、左から谷、山の順になります。点を滑らかにつなぐ際、増減と軸との交点を勝手に増やさないようにします。

導関数の解が 1 つの重解の場合は、その前後の符号が変わらず、水平になっても極値は生じません。実数解がない場合も導関数の符号は変わりません。どちらも、左右で同じ向きに進む概形です。導関数が 0 という情報だけで山や谷を描かないことが大切です。

基本例題：3 つの交点を持つ曲線

例題1（基本） f(x) = x³ − 3x の増減と極値、両軸との交点を求め、概形を描きなさい。交点の座標は整数または根号を用いて表しなさい。

f は多項式なので実数全体で微分可能です。まず導関数を求めます。

f′(x) = 3x² - 3
       = 3(x + 1)(x - 1)
f′(x) = 0 の解は x = -1, 1

2 つの因数の符号を調べると、x < -1 では正、-1 < x < 1 では負、1 < x では正です。したがって x = -1 で極大、x = 1 で極小です。それぞれ元の関数に戻します。

f(-1) = (-1)³ - 3(-1)
      = 2
f(1) = 1³ - 3・1
     = -2

極大点は (-1, 2)、極小点は (1, -2) です。次に交点を求めます。縦軸との交点は x = 0 より (0, 0) です。横軸との交点は次の方程式から求まります。

x³ - 3x = 0
x(x² - 3) = 0
x = -√3, 0, √3

よって横軸との交点は (-√3, 0)、(0, 0)、(√3, 0) です。図2のように極大点と極小点、3 個の交点を置き、符号に従って曲線を結びます。√3 は 1 より大きいので、左の交点は極大点より左、右の交点は極小点より右にあります。

図2の点は元の条件にも戻して確かめられます。x = ±√3 では x² = 3 なので x(x² − 3) = 0 です。x = 0 も式を 0 にします。また両極値の間では減少し、2 から -2 へ進むので原点を通る向きと矛盾しません。最高次係数が正であることと、左端が下、右端が上へ延びることも一致します。

標準例題：負の係数と接する交点

例題2（標準） g(x) = -x³ + 3x + 2 の増減、極値、両軸との交点を求め、概形を描きなさい。座標は整数で表しなさい。

g は多項式で実数全体で微分可能です。最高次係数が負なので両端の向きは基本例題と逆ですが、極値の位置は符号を調べて決めます。

g′(x) = -3x² + 3
       = -3(x + 1)(x - 1)
g′(x) = 0 の解は x = -1, 1

x < -1、-1 < x < 1、1 < x の順に符号は負、正、負です。よって x = -1 で極小、x = 1 で極大です。

g(-1) = -(-1)³ + 3(-1) + 2
      = 0
g(1) = -1³ + 3・1 + 2
     = 4

極小点は (-1, 0)、極大点は (1, 4) です。縦軸との交点は (0, 2) です。横軸との交点を求めるために因数分解します。

g(x) = -(x³ - 3x - 2)
     = -(x + 1)²(x - 2)
g(x) = 0 の解は x = -1, 2

横軸との交点は (-1, 0)、(2, 0) です。x = -1 は重なった因数に対応する 1 個の点で、そこでは減少から増加へ変わります。したがって曲線は横軸に接して折り返します。x = 2 では正から負へ通り抜けます。

元の式に x = -1 と x = 2 を入れると、それぞれ 0 です。縦軸でも g(0) = 2 となります。極小点から極大点への上昇中に (0, 2) があるので、高さの順序も一致します。左上から下降し、(-1, 0) で折り返して (1, 4) を通り、右下へ向かう線を描いてください。

発展例題：交点を整数の間に絞る

例題3（発展） h(x) = x³ − 3x + 1 の増減と極値を求め、横軸との交点がそれぞれどの隣り合う整数の間にあるかを示しなさい。縦軸との交点も整数で答え、概形を描きなさい。

h は実数全体で連続かつ微分可能です。まず増減を調べます。

h′(x) = 3x² - 3
       = 3(x + 1)(x - 1)
h′(x) = 0 の解は x = -1, 1
h(-1) = -1 + 3 + 1
      = 3
h(1) = 1 - 3 + 1
     = -1

導関数の符号は左から正、負、正です。極大点は (-1, 3)、極小点は (1, -1) です。h(0) = 1 なので縦軸との交点は (0, 1) です。横軸との交点の位置を、整数での値から探します。

h(-2) = -8 + 6 + 1 = -1
h(-1) = 3
h(0) = 1
h(1) = -1
h(2) = 8 - 6 + 1 = 3

連続な関数なので、符号が異なる両端の間に少なくとも 1 つ零点があります。(-2, -1) では増加、(0, 1) では減少、(1, 2) では増加するため、それぞれの区間に零点は高々 1 つです。従って各区間にちょうど 1 つあります。区間の端の値はいずれも 0 ではありません。

さらに、3 つの単調区間それぞれに既に 1 つずつ交点があり、極値の位置の値も 0 ではないので、ほかに横軸との交点はありません。求めた範囲に点を置けば、極大点は横軸より上、極小点は下にあり、左下から右上へ進む概形になります。近似値を図から読み取って解とする必要はありません。

高さを取り違えた図を直す

例題1で、x = -1 と x = 1 の位置は正しく置いたのに、(-1, -2) を山、(1, 2) を谷として描いたとします。この 2 点を左から右へたどると高さが -2 から 2 へ上がります。一方、導関数はその間で負なので、関数は減少するはずです。図3のように、矢印と点の高さが食い違うことが誤りの印になります。

図3の左は誤った配置、右は元の式に代入して直した配置です。f(-1) = 2、f(1) = -2 と計算してから点を置き直すと、山から谷へ下がる矢印に合います。極大や極小という名前を x 座標にそのまま付けるのではなく、元の関数値を計算して座標を完成させます。

もう一つの失敗は、極値の点を求めた後で横軸との交点を目分量で置くことです。例えば極小値が 0 なら、その点で横軸に接する場合があります。2 個の近い交点として描かず、式の解と増減の両方を確認します。逆に極値がどちらも正なら、2 つの極値の間を減少しても横軸を横切るとは限りません。高さの符号と区間の増減を一緒に見ます。

練習問題

各問で指定された量を求め、概形を描いてください。座標と値は整数または分数で表し、範囲は不等号で表します。

1. p(x) = x³ − 12x の増減、極値、縦軸との交点を求めなさい。
2. q(x) = -x³ + 12x の増減、極値、縦軸との交点を求めなさい。
3. r(x) = x³ − 3x² + 4 の増減、極値、両軸との交点を求めなさい。
4. s(x) = x³ + 3x² + 3x + 2 の増減、極値、両軸との交点を求めなさい。
5. t(x) = x³ − 12x + 3 の増減と極値を求め、横軸との各交点の x 座標を隣り合う整数の間に挟みなさい。縦軸との交点も求めなさい。

練習の答えと解き方

いずれも多項式なので実数全体で連続かつ微分可能です。増減を確認した後、指定された交点と極値を元の式に代入して照合します。

1

p′(x) = 3x² - 12
      = 3(x + 2)(x - 2)
p(-2) = -8 + 24 = 16
p(2) = 8 - 24 = -16
p(0) = 0

x < -2 と x > 2 で増加し、-2 < x < 2 で減少します。極大値は 16、極小値は -16、縦軸との交点は (0, 0) です。求めた点の縦座標はそれぞれ元の式から得られ、原点は山と谷の間にあります。左下から右上に延びる曲線です。

2

q′(x) = -3x² + 12
      = -3(x + 2)(x - 2)
q(-2) = 8 - 24 = -16
q(2) = -8 + 24 = 16
q(0) = 0

x < -2 と x > 2 で減少し、-2 < x < 2 で増加します。極小値は -16、極大値は 16、縦軸との交点は (0, 0) です。元の式への代入で各高さを確認でき、左上から右下に延びます。負の最高次係数では谷が先に現れることにも注意します。

3

r′(x) = 3x² - 6x
      = 3x(x - 2)
r(0) = 4
r(2) = 8 - 12 + 4 = 0
r(x) = (x + 1)(x - 2)²

x < 0 と x > 2 で増加し、0 < x < 2 で減少します。極大値は 4、極小値は 0 です。縦軸との交点は (0, 4)、横軸との交点は (-1, 0)、(2, 0) です。x = -1 と x = 2 を元の式に入れると、それぞれ -1 − 3 + 4 = 0、8 − 12 + 4 = 0 です。極小点では横軸に接します。

4

s′(x) = 3x² + 6x + 3
      = 3(x + 1)²
s(-1) = -1 + 3 - 3 + 2 = 1
s(x) = (x + 1)³ + 1
s(x) = 0 の解は x = -2
s(0) = 2

導関数は x = -1 で 0、それ以外で正です。前後とも増加するので極値はありません。横軸との交点は (-2, 0)、縦軸との交点は (0, 2) です。元の式に -2 を入れると -8 + 12 − 6 + 2 = 0 です。(-1, 1) では水平になりますが、向きは変わりません。

5

t′(x) = 3x² - 12
      = 3(x + 2)(x - 2)
t(-2) = -8 + 24 + 3 = 19
t(2) = 8 - 24 + 3 = -13
t(0) = 3

x < -2 と x > 2 で増加し、-2 < x < 2 で減少します。極大値は 19、極小値は -13、縦軸との交点は (0, 3) です。横軸との交点を調べます。

t(-4) = -64 + 48 + 3 = -13
t(-3) = -27 + 36 + 3 = 12
t(0) = 3
t(1) = 1 - 12 + 3 = -8
t(3) = 27 - 36 + 3 = -6
t(4) = 64 - 48 + 3 = 19

連続性と各区間での単調性により、交点は -4 < x < -3、0 < x < 1、3 < x < 4 にそれぞれ 1 個あります。各端での値は上のように 0 でなく符号が異なり、極大点と極小点の値も 0 でないので、ほかに交点はありません。求めた各範囲は元の関数の符号の変化と一致します。

覚えておくこと

• 導関数の符号で区間ごとの増減を決めます。
• 極値を取る x を元の式に戻し、点の高さを出します。
• 軸との交点は x = 0 または f(x) = 0 から求めます。
• 最高次係数と単調区間を使い、両端と交点の数を照合します。

手が止まったときの確かめ方

点の上下が決まらないときは、極値を取る x を元の関数に代入した行を見直します。増減表の矢印の始点と終点を指し、左から右へ高さが上がるのか下がるのかを言葉にすると、符号の誤読を見つけやすくなります。交点が描けないときは、縦軸では x = 0、横軸では y = 0 という条件を別々に書いてみてください。

個別指導で説明を確かめるなら、導関数の符号が変わらない零点を 1 つ挙げ、なぜ極値にならないかを前後の増減で話してみましょう。図と式が食い違った場所を特定できれば、どの計算に戻るべきかも見えてきます。極値の高さと交点の位置を照らし合わせると、曲線の道筋が定まります。