高校数学II 正弦と余弦の不等式—単位円の弧とグラフを対応させ端点を選ぶ｜武蔵野個別指導塾

単位円でsin θ > 1/2の弧を選び、等号を含む境界と指定区間の端を別々に調べます。負の係数を持つ角の置換も確かめられます。

よくあるのは、高2が等号のない不等式でも、境界になる角を解に入れてしまう場面です。単位円で境界の点を見つけるところまでは合っていても、その点を含むかどうかは不等号をもう一度見なければ決まりません。角の範囲の端にも別の条件があります。円のどの弧を選び、角の数直線にどう戻すかを順番に追います。

どの範囲を選ぶ問題か

出方は大きく3つあります。1つ目は sin θ または cos θ と定数を比べる型です。境界を満たす点を単位円に置き、条件に合う側の弧を選びます。2つ目は2つの不等式を同時に満たす型です。それぞれの弧を選んでから共通する部分を取ります。片方に入っていても、もう片方に入らなければ答えには残りません。

3つ目は sin(2θ) のように角に係数や定数がある型です。括弧内を別の文字に置くときは、式だけでなく角の範囲も変えます。元の範囲をそのまま使うと、別の周期にある解を落とします。負の係数なら、変換した両端の大小が逆になる点にも注意します。

答えは境界の角を並べるだけではありません。その間の角が条件を満たすことと、境界を含むかを示して初めて範囲になります。等号を許す記号と許さない記号、問題が指定する区間の端を、それぞれ別に調べます。

座標の高さと左右で考える

半径1の円で、正の横軸から反時計回りに θ だけ回った点を P とします。Pの横座標は cos θ、縦座標は sin θ です。例えば sin θ > c は、点 P が高さ c の水平線より上にあることを表します。cos θ ≤ c なら、横座標 c の垂直線上か、その左側です。円周上の点を選ぶので、水平線や垂直線そのもの全体が答えになるわけではありません。

図1のように、境界線と円が交わる点が弧の切れ目です。線上を含まない不等式なら、その点は白丸で表します。線上を含む場合は塗った点で表します。対応する角の数直線でも同じ開閉を使います。図1は sin θ > 1/2 の例で、上側の弧の両端は入りません。

0 ≤ θ < 2π なら、高さ 1/2 になる角は π/6 と 5π/6 です。その間の上側の弧が条件に合うため、π/6 < θ < 5π/6 となります。たとえば θ = π/2 では sin θ = 1 なので確かに条件を満たします。境界では値が 1/2 に等しく、厳密な不等号を満たしません。

グラフでも同じ判断ができます。横軸を角、縦軸を関数の値にして、水平線 y = c より上か下かを見ます。交点の横座標は単位円の境界点に対応します。円では選んだ弧の位置が見え、グラフでは複数周期を横に並べて確認しやすくなります。どちらでも、角の指定範囲で切り取る操作が最後に必要です。

定数が値の範囲の外にある場合も、交点を無理に探しません。正弦と余弦はともに -1 以上 1 以下です。したがって sin θ > 1 は解なし、cos θ ≥ -1 は指定範囲のすべてです。sin θ ≥ 1 では値が1となる角は残りますが、sin θ < -1 は残りません。等号の有無によって、弧が点だけになる場合と空になる場合を区別します。

境界が見つからないとき

定数と -1、1 を比べるのは、作図の前にできる確認です。例えば cos θ > 2 なら、どの角でも余弦は2に届かないため解なしです。反対に cos θ < 2 なら指定された角はどれも条件を満たします。境界線が円と交わらないとき、交点がないという事実だけで解なしと決めず、円全体が線のどちら側にあるかまで見ます。

定数がちょうど1や-1なら境界線は円に1点で触れます。等号を含むかによって、その1点だけが残る場合も、その点だけを除く場合もあります。さらに指定された区間にその角が入らなければ、円上の点が存在しても答えにはなりません。

基本例題：余弦の小さい側

問題：0 ≤ θ < 2π において cos θ ≤ 1/2 を解き、答えを π を含む角の範囲で表してください。

まず境界 cos θ = 1/2 を考えます。単位円の横座標が 1/2 となる位置は、指定された1周の中で π/3 と 5π/3 です。求めるのはその垂直線上か左側なので、図2の太い弧を選びます。例えば θ = π では横座標が -1 であり、条件に合います。

等号があるので、境界の2点も含みます。0 は横座標が1なので含まず、2π はそもそも指定範囲の外です。したがって答えは次の通りです。

π/3 ≤ θ ≤ 5π/3

両端の cos はともに 1/2 です。弧の内側の代表として π を代入すると -1 ≤ 1/2 です。反対側の代表 0 では 1 ≤ 1/2 が成り立たないので、左右を取り違えていないことも確かめられます。境界値を含むことと、指定区間の端を含むことは独立した判断です。

もし条件が cos θ < 1/2 なら弧の内側は同じでも、境界の2点は除きます。逆に cos θ ≥ 1/2 なら右側の弧を選び、0 を含むため、指定範囲では2つの区間に分かれます。円では1本につながる弧が、角の数直線では0の位置で切られることがあります。

標準例題：2つの弧の共通部分

問題：0 ≤ θ < 2π において sin θ ≥ 1/2 かつ cos θ < 0 を満たす θ を求め、π を含む範囲で表してください。

まず sin θ ≥ 1/2 は、水平線上かその上です。指定範囲では次のようになります。

π/6 ≤ θ ≤ 5π/6

次に cos θ < 0 は、縦軸より左です。縦軸上は横座標が0なので除きます。

π/2 < θ < 3π/2

2つの範囲を数直線に重ねます。共通部分の左端は π/2 ですが、cos θ < 0 の等号がないので入りません。右端は 5π/6 で、sin の条件には等号があり、cos も負なので入ります。よって答えは次の範囲です。

π/2 < θ ≤ 5π/6

実際に θ = 5π/6 では sin θ = 1/2、cos θ = -√3/2 で、両方を満たします。θ = π/2 では sin の条件は満たしても cos θ = 0 なので不適です。各条件の解を和としてまとめず、共通部分を取ることが連立の要点です。

境界が同じ角に重なる場合は、その角で両方の条件を確かめます。一方が等号を許しても、他方が許さなければ共通部分には入りません。2つの弧が離れて共通点を持たない場合は解なしです。図で点が近く見えるだけでは重なりを判断せず、端の角の大小を比べます。

発展例題：負の係数を含む角の置換

問題：0 ≤ θ ≤ π において sin(π/2 − 2θ) > 1/2 を解き、答えを π を含む角の範囲で表してください。

u = π/2 − 2θ と置きます。θ が0から π まで増えると u は減るので、変換後の端を小さい順に書き直します。

-3π/2 ≤ u ≤ π/2

この範囲で sin u > 1/2 を満たす部分を探します。周期は 2π なので、基本の弧 π/6 < u < 5π/6 を左右にずらして考えます。指定範囲と重ねると、次の2つが残ります。

-3π/2 ≤ u < -7π/6
π/6 < u ≤ π/2

前者の左端では sin(-3π/2) = 1、後者の右端では sin(π/2) = 1 です。いずれも元の指定範囲の端であり、不等式も満たすので含みます。一方、-7π/6 と π/6 は値が 1/2 なので除きます。

それぞれ u = π/2 − 2θ を戻します。負の数で割るところで不等号の向きが変わります。

-3π/2 ≤ π/2 - 2θ < -7π/6
-2π ≤ -2θ < -5π/3
5π/6 < θ ≤ π

π/6 < π/2 - 2θ ≤ π/2
-π/3 < -2θ ≤ 0
0 ≤ θ < π/6

小さい順にまとめると、答えは 0 ≤ θ < π/6 または 5π/6 < θ ≤ π です。θ = 0 と π を元の式に戻すと、括弧内はそれぞれ π/2 と -3π/2 で、値はともに1です。除いた2つの境界では値が 1/2 です。置換後の区間がちょうど1周期でも、端の開閉によって角の戻し方は変わります。

誤答から端点を直す

基本例題で「cos θ < 1/2 の解は π/3 ≤ θ ≤ 5π/3」とした答案を考えます。弧の側は正しいものの、2つの境界を入れています。両端では cos θ = 1/2 ですから、厳密な不等式には合いません。図3のように、白丸に直し、π/3 < θ < 5π/3 とします。

原因は、境界を求めるために使った方程式の解と、不等式の解を同一視したことです。境界の方程式は範囲を切る場所を教えますが、その場所を採用するかは元の不等号が決めます。修正するときは、端点を元の式へ代入し、等号が成り立つか、それが許されるかを続けて確かめます。

別の失敗は、問題の θ の範囲の端を無条件に除くことです。例えば指定範囲に端が含まれ、そこで不等式も成り立つなら、その端は残します。反対に、指定範囲が開いている端は、式に代入した値が条件を満たしても答えに入れません。境界には「関数の値による境界」と「指定範囲による境界」があるためです。

練習問題

いずれも指定された範囲の解を求め、π を含む角の範囲または角で表してください。連立では両方の条件を同時に満たします。

1. 0 ≤ θ < 2π で sin θ < -√3/2。
2. -π ≤ θ ≤ π で cos θ > 1/2。
3. 0 ≤ θ < 2π で sin θ ≤ 0 かつ cos θ ≥ -1/2。
4. 0 ≤ θ ≤ 2π で cos(2θ) ≥ √2/2。
5. 0 ≤ θ ≤ 2π で sin θ ≥ 1 かつ cos θ ≤ 0。

練習の答えと解き方

1

高さ -√3/2 の境界は 4π/3 と 5π/3 です。円の下側の弧を選び、等号がないので両端を除きます。

4π/3 < θ < 5π/3

中央の 3π/2 では sin θ = -1 で条件を満たします。両端の値は -√3/2 なので除く判断も確かです。

2

cos θ = 1/2 の境界は指定範囲では -π/3 と π/3 です。右側の弧を選ぶと、その間が答えです。

-π/3 < θ < π/3

θ = 0 では cos θ = 1 です。指定範囲の両端では値が -1 なので入りません。境界は等号なしのため除きます。

3

それぞれの範囲を指定された1周で書きます。sin θ ≤ 0 は軸上を含む下半分ですが、0 も含みます。

θ = 0 または π ≤ θ < 2π

cos θ ≥ -1/2 は、左右の境界を含む右側です。

0 ≤ θ ≤ 2π/3 または 4π/3 ≤ θ < 2π

共通部分は次の通りです。

θ = 0 または 4π/3 ≤ θ < 2π

0 では値がそれぞれ0と1です。4π/3 では sin θ = -√3/2、cos θ = -1/2 なので含みます。2π は値だけなら条件に合いますが、指定範囲の外です。

4

u = 2θ と置くと、0 ≤ u ≤ 4π です。cos u ≥ √2/2 は各周期の正の横軸に近い部分なので、変換後の範囲に限ると次の3つです。

0 ≤ u ≤ π/4
7π/4 ≤ u ≤ 9π/4
15π/4 ≤ u ≤ 4π

2で割って戻します。正の数で割るので不等号の向きは変わりません。

0 ≤ θ ≤ π/8
7π/8 ≤ θ ≤ 9π/8
15π/8 ≤ θ ≤ 2π

指定範囲の両端では cos(2θ) = 1 です。内側の境界では値が √2/2 となり、等号が許されるため含みます。範囲を2周期に広げずに解くと後半を落とします。

5

正弦の値は1を超えません。したがって sin θ ≥ 1 が成り立つのは、指定範囲では sin θ = 1 となる角です。

θ = π/2

この角で cos θ = 0 なので、cos θ ≤ 0 も満たします。答えは θ = π/2 です。2つ目の不等式に等号がなければ、この点も消えて解なしになります。

覚えておくこと

正弦は縦座標、余弦は横座標で比べます。
境界は等号と指定範囲の両方で判定します。
連立はそれぞれの解の共通部分を取ります。
角を置き換えるときは範囲も変えます。
戻した端と代表点を元の条件に照らします。

つまずきの見分け方

答案の境界が違うときは、まず単位円で横座標と縦座標を指せるかを確かめます。境界は合っていて弧が逆なら、不等号が線のどちら側を表すかを代表点で説明してもらいます。弧は合っていて端だけ違うなら、端の値を元の不等式に入れると原因が見えます。

個別指導で確かめる箇所は、図から範囲に移す順序です。連立では各範囲を別に書き、共通部分の端がどちらの条件から来たかを言葉にします。置換では元の両端を変換してから小さい順に並べ、戻す際の不等号の向きを追います。点だけが残る場合や解なしの場合も同じ手順で判定できます。境界の値を元の条件に戻す習慣が、答えの開閉を支えます。