高校数学II 正弦と余弦の方程式—単位円の二つの位置と整数を用いて解を表す｜武蔵野個別指導塾

正弦と余弦の方程式を単位円の交点から解き、一般解の重複や指定区間の端点まで確認します。

よくあるのは、三角方程式を解く高2が、見慣れた特殊角を1つ見つけて解答を終える場面です。たとえば単位円上で高さが同じ点は、左右に離れた2か所にあることがあります。さらに一周して同じ点に戻る角も、方程式の条件を満たします。角の範囲が指定されているかどうかを先に読み、点の位置と回転の回数を分けて考えましょう。

問われ方で答えの形を選ぶ

正弦や余弦がある値に等しいという条件は、単位円と水平線または垂直線との交点を探す問題です。角の範囲がないときは、同じ点に戻る回転の回数を整数で表します。これが一般解です。角を1つだけ書いても、その点に何周して到達する場合かを表せません。

一方、範囲が指定された問題では、その範囲に入る角を列挙します。一般解を作ってから整数を絞る方法も、一周分の位置を見て必要な周期へ移す方法も使えます。いずれも範囲の両端を含むかどうかが、答えの一部です。

もう一つの型は、与えられた値と単位円の座標の範囲を比べる問題です。値が1より大きいときは、いくら角を探しても交点がありません。値が1や-1のときは線が円に1点で触れ、普段の2つの位置が重なります。解なしと、解が1系列に重なることは別の判断です。

高さと横座標を位置に戻す

原点を中心とする半径1の円を考えます。正の横軸から角 θ だけ回転した点の座標は (cos θ, sin θ) です。θ は実数で、角はラジアンで表します。sin θ は縦座標、cos θ は横座標なので、値が決まるとそれぞれ水平線、垂直線上の点を探すことになります。

図1のように、同じ高さの2点は縦軸に関して対称です。同じ横座標の2点は横軸に関して対称です。円の中心から各点へ引いた半径の方向を角に戻すと、1つの値に対応する別の角が見えます。

図1の水平線と円の交点は2点ですが、線を上端まで動かすと1点に重なります。円の外に動かせば交点はありません。縦座標も横座標も -1 以上 1 以下であるため、sin θ=c と cos θ=c は、いずれも c がこの範囲外なら実数 θ の解を持ちません。

sin α=c を満たす角 α が1つわかっているとします。縦軸対称の点も同じ高さなので、もう一方は π-α です。一周は 2π ですから、一般解は次の2系列です。ここで n はそれぞれ任意の整数です。

θ = α + 2nπ
θ = π - α + 2nπ

cos α=c なら、横軸対称の点が同じ横座標を持ちます。したがって、n を整数として次の2系列です。

θ = α + 2nπ
θ = -α + 2nπ

ここで α は、その値を実際に持つと確認した角です。特殊角で表せない値でも、問題文が α をそのような角として定めれば同じ考え方が使えます。公式に数値を入れる前に、α の座標が目的の値かを確かめます。

2系列は常に異なるわけではありません。sin θ=1 なら α=π/2 と π-α が一致します。sin θ=0 では 0 と π は異なる位置ですが、2系列をまとめて θ=nπ と表せます。cos θ=1 では α=0 と -α が一致し、cos θ=-1 では π と -π が一周違いで同じ位置です。重複した記述を整理しても、整数の範囲を勝手に狭めてはいけません。

基本例題：同じ高さを2か所で探す

問題：0 ≤ θ < 2π のとき、sin θ=1/2 を満たす θ を、πを用いてすべて求めてください。

まず範囲は0を含み、2πを含まない一周です。1/2 は -1 以上 1 以下なので、対応する高さは円に届きます。特殊角の値から、θ=π/6 は条件を満たします。しかし、そこで終えず、同じ高さの反対側の点を探します。

図2のように、高さ1/2の水平線は円と2点で交わります。右側の角が π/6 なら、左側は正の横軸から π-π/6 だけ回った位置です。

π - π/6 = 6π/6 - π/6
              = 5π/6

よって答えは θ=π/6, 5π/6 です。2つとも指定範囲に入り、端の0では高さが0なので解ではありません。2πはそもそも範囲に含まれません。水平線と円の交点はこの高さで2点なので、同じ一周内に別の位置はありません。

元の条件へ戻すと、両方の点の縦座標が1/2です。左の点は横座標が負でも、問われたのは縦座標です。符号を横座標と取り違えると、左側の点を誤って捨てます。逆に cos θ=1/2 なら同じ図の水平線を使えず、横座標1/2の垂直線を考える必要があります。

標準例題：負の値を持つ一般解

問題：cos θ=-√3/2 を満たす実数 θ の一般解を、πと整数 n を用いて求めてください。

横座標が負なので点は円の左側です。基準となる角 π/6 では横座標が √3/2 ですから、左上の点の角は π-π/6=5π/6 です。横軸対称の左下にも同じ横座標を持つ点があり、一周内では 7π/6 です。

一周内の2点をそれぞれ 2π ずつ移して、n を整数として答えます。

θ = 5π/6 + 2nπ
θ = 7π/6 + 2nπ

実際、両点の横座標は -√3/2 です。n が負でも正でも、整数回の回転後は同じ点へ戻ります。逆に円上で横座標がこの値の点はこの2点なので、どの解もいずれかの系列に入ります。後者を -5π/6+2nπ と書いても、整数を1つずらせば同じ系列です。見た目の負号だけで別の答えと判断せず、角の差が 2π の整数倍かを比べます。

この問題を例えば 0 ≤ θ < 2π に限定したら、各系列で範囲に入るものを選び、5π/6 と 7π/6 になります。一般解では回転回数を整数で残し、区間解では範囲外の回転を除くという違いがあります。

発展例題：両端を含む区間と重なり

問題：-2π ≤ θ ≤ 2π において、cos θ=-1 を満たす θ を、πを用いてすべて求めてください。

横座標が -1 の点は円の左端1点です。π でその点に着くので、一周ずつの回転を含めると、n を整数として一般解は次のとおりです。

θ = π + 2nπ

通常の2系列に当てはめると π+2nπ と -π+2nπ ですが、両者は整数を1つずらすと一致します。2点があると数えて同じ角を重複して並べる必要はありません。指定範囲を代入すると次のようになります。

-2π ≤ π + 2nπ ≤ 2π
-3π ≤ 2nπ ≤ π
-3/2 ≤ n ≤ 1/2

この範囲の整数は -1 と 0 です。したがって θ=-π, π です。どちらも円の左端に着き、横座標は -1 になります。両端 -2π と 2π は範囲には含まれますが、どちらも右端に着くため元の条件を満たしません。端点を含むことと、端点が解であることは別の確認です。

例えば条件を cos θ=-3/2 に変えると、横座標 -3/2 は単位円の左端より外です。したがって実数解はありません。-1 の場合と同じ手順で無理に角を探すのではなく、まず値の取り得る範囲を調べます。

誤答を図で直す

sin θ=1/2、0 ≤ θ < 2π に対し、「θ=π/6」とだけ書く誤答を考えます。π/6 を代入した確認は正しいものの、それは解の候補が1つ正しいと示す作業です。他の候補がないことは示していません。

原因は、特殊角の表から1つの値を探したあと、単位円に戻らなかったことです。図3のように、高さを固定した水平線を見ると、右側だけでなく左側にも点があります。左の角を π-π/6 と求めれば、落としていた 5π/6 を加えられます。

図3の2点は同じ高さですが、横座標の符号は反対です。正弦の条件では高さが等しいことが必要ですから、横座標が負という理由で左を除くことはできません。余弦なら縦軸でなく横軸を挟んだ対称性を使います。

別の誤りは、一般解の 2nπ を忘れて一周分だけで終えることです。角に制限がない場合は回転回数を戻します。一方、範囲が指定された問題で一般解だけを示すと、範囲外も含むため答えが完成しません。範囲に入る整数を選び直し、開いた端点に一致する候補は除きます。

また、2つの式を機械的に書いた結果、同じ解を別のものとして数える場合もあります。値が ±1 なら円と直線の接点を調べ、系列の重なりを整理します。値が範囲外なら交点自体がないので、重複の整理に進む前に解なしと判断します。

練習問題

各問の角はラジアンです。区間を指定した問題は、その区間内の解をπを用いてすべて列挙してください。一般解を求める問題は、πと整数 n を用いて表してください。

1. 0 ≤ θ < 2π で、cos θ=1/2 を解いてください。
2. 実数 θ について、sin θ=-√2/2 の一般解を求めてください。
3. -π < θ ≤ π で、sin θ=0 を解いてください。
4. 0 ≤ θ ≤ 4π で、cos θ=1 を解いてください。
5. 実数 θ について、sin θ=5/4 を解いてください。

練習の答えと考え方

1. 横座標を固定する

cos θ=1/2 なので、単位円の横座標が 1/2 の点を選びます。右上の角 π/3 と、横軸に関して対称な右下の角 2π-π/3 が候補です。

2π - π/3 = 5π/3

答えは θ=π/3, 5π/3 です。どちらも指定された一周の内側にあり、横座標は 1/2 です。0 では横座標が1なので条件を満たさず、2πは範囲外です。右半円の上下2点が垂直線との交点なので、他の位置はありません。

2. 下半円の2系列

sin θ=-√2/2 は縦座標が負なので下半円を見ます。一周内の位置は 5π/4 と 7π/4 です。整数 n を用いた一般解は次のとおりです。

θ = 5π/4 + 2nπ
θ = 7π/4 + 2nπ

どちらも縦座標は -√2/2 です。整数回の回転でその高さに戻り、水平線と円の交点はこの2点なので他の系列はありません。-3π/4 と -π/4 を基準に書いた式も、それぞれ 2π の整数倍の差を除けば同じです。

3. 開いた端点を除く

sin θ=0 の点は横軸と円との交点です。一般解は θ=nπ、n は整数です。指定範囲へ入れると次の条件です。

-π < nπ ≤ π
-1 < n ≤ 1

整数は0と1なので、答えは θ=0, π です。-π も縦座標は0ですが、左端は含まれません。π は右端で、等号があるため含めます。両方が同じ円上の点に着くことと、角として両方が範囲に入ることを混同しないようにします。

4. 一点へ複数回戻る

cos θ=1 は単位円の右端です。一般解は θ=2nπ、n は整数です。指定範囲に代入します。

0 ≤ 2nπ ≤ 4π
0 ≤ n ≤ 2

答えは θ=0, 2π, 4π です。3つとも横座標が1で、同じ点に着きますが、回転した角は異なります。両端に等号があるため、0 と 4π も解です。1点と解の個数を同じものとして扱うと、複数回の回転を落とします。

5. 円に届かない値

任意の実数 θ で、単位円の縦座標は -1 以上 1 以下です。5/4 は1より大きいので、指定の高さに円上の点はありません。したがって実数解はありません。

これは特殊角を思い出せなかったという意味ではありません。どの回転でも高さが5/4に届かないことから、解が存在しないと判断しています。値がちょうど1なら上端で実現し、解なしにはならない点も区別します。

区間を変えて自分で確かめるときは、まず端点が解になるかを原式に代入します。端点が解でも不等号に等号がなければ除き、端点が解でなければ等号の有無だけで加えることはありません。一般解から整数を選ぶときも、この区別を不等式に残して計算します。

覚えておくこと

正弦は高さ、余弦は横座標から位置を探します。
一般解には整数回の 2π を含めます。
指定区間では端点の開閉と候補の範囲を点検します。
値が ±1 では位置の重なり、範囲外では解なしを確認します。

つまずきを見分ける

最初の角が正しいのに解を落とす場合は、同じ値の線を円に引き、もう一方の交点を指せるかを確かめます。正弦なら高さ、余弦なら横座標を言葉で説明してから、対称な角を計算すると、符号の取り違えに気づきやすくなります。

個別指導で途中を確かめるなら、まず一周分の位置、次に整数を使った繰り返し、最後に指定区間と端点の順に説明してもらいます。答えが複数ある理由と、値が円の外にあって解がない理由をそれぞれ説明できれば、特殊角の暗記を位置の判断につなげられます。円上の点と回転回数を分けると、解の数え落としを防げます。