高校数学II 三角関数の定義—単位円の座標から符号と定義できない角を判断する｜武蔵野個別指導塾

単位円の横と縦を読み分け、軸上で正接が定義されない理由を商の分母から判断します。

よくあるのは、角の終わりが円の一番上に来たとき、tanにも何か数を入れようとする場面です。sinとcosにはそれぞれ値がありますが、tanは同じ方法では決まりません。座標を読む順番と、割り算が可能かという条件を分ければ、値が0のときと値が定義されないときを区別できます。角が軸上にある場合も、象限の内部にある場合も、出発点は同じ単位円です。

座標をどこまで求めるか

問題の出方には、まず角が与えられ、sin、cos、tanの厳密値を求める型があります。このときは動径の終わりの点を定め、横と縦の順に座標を書いてから値に移します。30°や45°に対応する座標を使う場合も、最後に位置を見直します。

次に、正確な角が与えられず、動径がある象限にあるという条件から符号を判断する型があります。ここでは数値を無理に決める必要はありません。横座標と縦座標がそれぞれ正か負かを調べ、その商の符号を決めます。象限は軸を含まないので、横座標が0になる心配はありません。

もう1つは、軸上の点で値が存在するかを判定する型です。座標が0であることと、0で割ることは違います。特にtanの分子が0なら商は0ですが、分母が0なら商を定義できません。どちらかを決める前に、分子と分母を別々に書きます。

単位円の点から読む

原点Oを中心とする半径1の円を単位円といいます。正のx軸から反時計回りを正として角θだけ回した動径と円との交点をP(x, y)とします。時計回りの角も同じように終わりの点を取ります。θに対し、次のように定義します。

cos θ = x
sin θ = y
tan θ = y/x （x ≠ 0）

図1のように、cosは横座標、sinは縦座標です。tanは縦座標を横座標で割った値なので、xが0でないことを先に確かめます。終わりの点が同じなら座標も同じですから、回転の向きや回数が異なっても、定義できる値は一致します。

図1では第1象限の点を描いています。半径は1で、点から軸へ下ろした線が横と縦の座標を示します。斜めの半径の長さをsinと取り違えないようにします。sinは符号も含めた縦座標なので、点がx軸より下にあれば負になります。

各象限の座標の符号を先に並べると、tanの符号も割り算から決まります。順番は横、縦です。

例えば第3象限でsinが負なのは、点が原点より下にあるためです。同時にcosも負なので、その商であるtanは正です。符号だけの表を暗記すると軸上を扱いにくくなります。軸上は表の外に置き、座標から直接判定します。

軸上の4点は、正のx軸から順に(1, 0)、(0, 1)、(-1, 0)、(0, -1)です。横座標が0となる上下の2点ではtanを定義できません。左右の2点では横座標が0でなく、縦座標が0なのでtanは0です。0で割る操作と、0を割る操作を同じものとして扱わないことが大切です。

特殊角の座標は、直角三角形の辺の比から得られます。半径1を斜辺とする直角三角形を考えると、横の長さと縦の長さが座標の大きさになります。例えばπ/6では辺の比が1対√3対2なので、斜辺を1にすると短い辺は1/2、長い辺は√3/2です。座標の符号は長さの比には含まれないため、点の位置から別に付けます。第1象限では、角がπ/6のとき(√3/2, 1/2)、π/4のとき(√2/2, √2/2)、π/3のとき(1/2, √3/2)です。分母の2は座標の両方にかかります。別の象限では、軸からの距離が対応する点を見て、横と縦にそれぞれ符号を付けます。座標を変えずに符号を一括して付けると、片方を誤ります。

基本例題：上側の軸で何が起こるか

問題　動径が正のx軸から反時計回りにπ/2だけ回ったとき、sin、cos、tanの値を求めてください。値が定義できないものはその旨を答えます。

図2のように、動径の終わりは単位円の上端です。点の座標は(0, 1)であり、横座標は0、縦座標は1です。これを定義へ戻します。

sin(π/2) = 1
cos(π/2) = 0

ここでtanを計算するには、横座標が0でないことが必要です。しかし実際には横座標が0です。したがってtan(π/2)は定義できません。1/0を大きな数や0と置くことはできません。

点が上端にあるという場面へ戻すと、縦の高さは1で、横の位置は0です。よってsinとcosはそれぞれ上で得た値になります。もし「cosが0だからsinも0」と書いたら、点が原点にあることを意味しますが、原点は半径1の円上にはありません。座標に戻ると誤りを見つけられます。

標準例題：第2象限の特殊角

問題　単位円でθ = 5π/6とします。sin θ、cos θ、tan θを根号と分数による厳密値で求めてください。

5π/6はπ/2より大きくπより小さいので、動径の終わりは第2象限です。負のx軸との角はπ/6です。第1象限のπ/6の点をy軸について対称に移すと、終わりの点Pの座標になります。縦座標は変わらず、横座標の符号が変わります。

P = (-√3/2, 1/2)
cos θ = -√3/2
sin θ = 1/2

横座標は0でないため、tanも定義できます。商の分母が0でないことを確認してから計算します。

tan θ = (1/2)/(-√3/2)
       = -1/√3
       = -√3/3

終わりの点は左上にあるので、横は負、縦は正です。求めた座標はその位置と合い、縦を横で割ったtanも負になります。π/6の値をそのまま3つ並べるとcosとtanの符号が違ってしまいます。基準にした角の値と、実際の点の位置は別々に確認します。

発展例題：負の回転と軸上を分ける

問題　角α = -3π/4、β = -3π/2について、それぞれsin、cos、tanを根号と分数による厳密値で求めてください。定義できない場合はその旨を答えます。

負の角なので、正のx軸から時計回りに動径を回します。αは時計回りに3π/4進むため、終わりの点は第3象限にあり、負のx軸との角はπ/4です。π/4の点と軸からの距離は同じですが、横と縦はいずれも負です。

Pα = (-√2/2, -√2/2)
sin α = -√2/2
cos α = -√2/2

横座標は0でないのでtanを計算します。

tan α = (-√2/2)/(-√2/2)
      = 1

一方、βは時計回りに3π/2進みます。終わりは上向きの軸であり、点は(0, 1)です。軸上の点は第1象限にも第2象限にも含めません。

sin β = 1
cos β = 0

横座標が0なのでtan βは定義できません。2つの角はいずれも負ですが、値の符号を角の符号だけから決めることはできません。回転後の点に戻すと、αでは左下の点から正の商が得られ、βでは上端で割り算が止まると確かめられます。

誤答を座標から直す

たとえば「θ = 3π/2ではcos θ = 0、sin θ = -1だからtan θ = 0」とする答えを考えます。前半の2つの値は正しいものの、結論は誤りです。図3のように下端の点は(0, -1)で、tanに使う横座標が0だからです。

原因は、座標の0を見て商全体を0と判断したことです。正しくは縦座標を横座標で割るため、下端では(-1)/0という操作が必要になります。これは定義されません。図3の右端(1, 0)では逆に0/1となり、tanは0です。同じ0を含む点でも、0の位置によって結論が変わります。

修正するときは「分母は横座標」と書き、横座標が0かどうかを丸で囲んでから商を作ります。分母が0ならそこで止めます。分母が0でなければ、分子が0かどうかも含めて通常の割り算をします。値が0という答えと、値が存在しないという答えの違いを言葉で説明できるか確認してください。

練習問題

各問の角はラジアンです。値は根号と分数による厳密値で答え、定義できないものはその旨を答えてください。符号を問う場合は正・負・0・定義できないのいずれかで答えます。

1. 単位円上の角θ = 4π/3について、sin θ、cos θ、tan θを求めてください。
2. 単位円上の角θ = 7π/4について、sin θ、cos θ、tan θを求めてください。
3. 単位円上の角θ = πについて、sin θ、cos θ、tan θを求めてください。
4. 単位円上の動径が第4象限にあるとき、sin θ、cos θ、tan θの符号を答えてください。
5. 角θ = -5π/2の動径の終わりの座標と、sin θ、cos θ、tan θを求めてください。

練習問題の答えと考え方

1

4π/3はπより大きく3π/2より小さいため、第3象限です。負のx軸からの角はπ/3で、横と縦はいずれも負です。したがって終わりの点は(-1/2, -√3/2)です。

sin θ = -√3/2
cos θ = -1/2
tan θ = (-√3/2)/(-1/2)
      = √3

横座標は0でないので商を使えます。求めた点は左下にあり、π/3の点と軸からの距離が一致します。2つの負の座標の商は正で、第3象限の位置とも合います。

2

7π/4は第4象限にあり、正のx軸との角はπ/4です。座標の大きさはそれぞれ√2/2で、横は正、縦は負です。

P = (√2/2, -√2/2)
sin θ = -√2/2
cos θ = √2/2
tan θ = (-√2/2)/(√2/2)
      = -1

横座標は0でありません。点は右下にあり、横と縦の距離が等しいため、π/4を基準にした位置と一致します。商の符号も負です。

3

πだけ反時計回りに回すと、終わりは左端(-1, 0)です。横座標は0でないので、tanも定義されます。

sin π = 0
cos π = -1
tan π = 0/(-1)
      = 0

左端はx軸上なので高さは0、横の位置は-1です。分子が0であるこの場合は、分母が0の場合と異なり、商は0になります。

4

第4象限では横座標が正、縦座標が負です。軸上ではないので横座標は0でなく、tanも定義できます。

sin θ は負
cos θ は正
tan θ は負

点が右下にあることへ戻せば、正の数で負の数を割る商も負です。角の正確な値は与えられていませんが、符号の判定には座標の位置で足ります。

5

時計回りに2π回ると出発点に戻り、さらにπ/2回ると下端に着きます。したがって終わりの点は(0, -1)です。

sin θ = -1
cos θ = 0

横座標が0なのでtan θは定義できません。時計回りの回転を元の場面に戻し、1周後に下向きへさらに4分の1周することを確認します。負の角だからといって、sinとcosの両方が負になるわけではありません。

覚えておくこと

cosは横座標、sinは縦座標です。 tanは横座標が0でないとき、縦座標を横座標で割ります。 象限内の符号は点の位置から決め、軸上は座標を直接読みます。 特殊角では基準となる座標の大きさと、実際の位置による符号を分けます。

つまずきを見分ける

点の位置を描けるのにsinとcosが逆になるなら、軸に下ろした線の先を指しながら横と縦を言葉にします。座標は合うのにtanが違うなら、縦を横で割る式を書き、分母が0でないかを計算前に確かめます。負の角で迷うなら、負号を値の符号に直結させず、時計回りに回した終わりの位置を描きます。

個別指導で確かめる場合も、答えの数字だけでなく、軸上の点を象限に入れていないか、0が分子と分母のどちらにあるかを説明してもらいます。特殊角なら座標の大きさを求める段階と符号を付ける段階を分け、どこで判断が変わったかをたどれます。定義できない角は計算の失敗ではなく、定義の条件を正しく見つけた結果です。