高校数学III・C 面積と体積の記述答案—図から積分式までの根拠を補う｜武蔵野個別指導塾

曲線の交点で上下を切り替える面積と、軸を含む断面の穴を判定する体積を通して、積分式に根拠を補います。

よくあるのは、理系高3の演習で、正しい数値だけ書いて積分する量を説明しないという場面です。答えが合っていても、曲線のどちらが上か、回転した断面のどこが塗られるかが読み手に伝わらなければ、式の根拠は残りません。図と式を往復し、境界が入れ替わる位置を示してから計算しましょう。

分割が必要になる場所を探す

面積では、縦に切った線分の長さを考えます。2曲線が交わると上下が入れ替わることがあるため、交点を求め、各区間で差の符号を調べます。交点の式を解いただけでは、どちらの関数を先に引くかは決まりません。

体積では、切り口の形を確かめます。回転軸と領域が離れていれば円環、軸に接するかまたげば円板になる場合があります。断面積の式が変わる場所は、曲線の交点とは限りません。軸までの距離が等しくなる場所も候補です。

媒介変数で表された曲線では、変数が増える向きと横座標が増える向きも区別します。横座標が減る部分では積分の端点の順序に注意します。以下ではこの向きの確認も扱いますが、中心は分割の理由を答案に書くことです。

長さから積分へ移るときの約束

連続な2関数 f、g が区間で f(x) ≧ g(x) を満たすとき、その間の面積は ∫[a→b] (f(x) − g(x)) dx です。これは縦の切り口の長さが f(x) − g(x) だからです。大小が途中で変わるなら、その点で区間を分け、それぞれ上から下を引きます。

x に垂直な断面の面積を A(x) とし、A が連続なとき、両端 a、b の間の体積は ∫[a→b] A(x) dx です。断面が外半径 R、内半径 r の円環なら A(x) = π(R² − r²) です。円板なら r = 0 です。長さと面積は違う量なので、半径をそのまま積分してはいけません。

図1のように、面積なら縦の長さ、体積なら切り口の面積を先に特定します。境界が変わる位置を端点に加えてから、区間ごとの式を書きます。

図1の左の線分は上端と下端の差を表し、右の円環は外側の円から内側の円を除いた断面を表します。どちらも積分する量は0以上です。式が負になったら、符号か上下の判断を調べ直します。

基本例題：交差する2曲線の間

問題：0 ≦ x ≦ 2 において、曲線 y = x と y = x² の間の面積を分数で求めなさい。

両関数は閉区間で連続です。交点の横座標は次の式から求まります。

x = x²
x(x - 1) = 0
x = 0, 1

与えられた区間の右端は2なので、交点1で分けます。差 x − x² = x(1 − x) は 0 < x < 1 で正、1 < x ≦ 2 で負です。図2のように、左側は直線、右側は放物線が上です。端点では2曲線が一致しても面積に影響しません。

図2で色を分けた2領域の面積を足します。したがって面積 S は次のとおりです。

S = ∫[0→1] (x - x²) dx + ∫[1→2] (x² - x) dx
  = [x²/2 - x³/3]₀¹ + [x³/3 - x²/2]₁²
  = (1/2 - 1/3) + ((8/3 - 2) - (1/3 - 1/2))
  = 1/6 + 5/6
  = 1

答えは 1 です。元の領域に戻ると、各区間で被積分関数は0以上であり、区間の内部では正です。正の面積を得たことも条件に合います。符号つきの1本の積分では2領域の差になり、求める和にはなりません。

標準例題：軸をまたぐ回転断面

問題：0 ≦ x ≦ 2、x² − 1 ≦ y ≦ 1 で表される領域を x 軸の周りに1回転してできる立体の体積を、πを用いた正確な式で求めなさい。

まず領域が存在する範囲を確認します。x² − 1 ≦ 1 より x² ≦ 2 です。もとの条件と合わせて 0 ≦ x ≦ √2 となります。x > √2 には縦の線分が存在しません。

0 ≦ x ≦ 1 では下端 x² − 1 が0以下、上端が1です。縦の線分は軸を含み、回転断面は半径1の円板です。下側の軸からの距離 1 − x² は1以下なので、外半径は1です。

1 ≦ x ≦ √2 では両端が軸上または軸の上です。回転断面は外半径1、内半径 x² − 1 の円環です。x = 1 では内半径が0、x = √2 では2つの半径が等しくなります。断面積は両方の境界で一致するので、各区間で連続です。

V = π∫[0→1] 1 dx + π∫[1→√2] (1 - (x² - 1)²) dx
  = π + π∫[1→√2] (2x² - x⁴) dx
  = π + π[2x³/3 - x⁵/5]₁√2
  = π + π(8√2/15 - 7/15)
  = (8 + 8√2)π/15

答えは (8 + 8√2)π/15 です。√2 をもとの境界に代入すると x² − 1 = 1 となり、断面は消えます。0を代入すると縦の線分は -1 から1で、半径1の円板になります。したがって両端の形も式と合います。

発展例題：外半径が途中で交代する場合

問題：0 ≦ x ≦ 3、-2 ≦ y ≦ x − 1 で表される領域を x 軸の周りに1回転した立体の体積を、πを用いた正確な式で求めなさい。

上端 x − 1 は区間全体で -1 以上ですから、下端 -2 より上にあります。0 ≦ x < 1 では領域は軸の下にあり、外半径2、内半径 1 − x の円環です。x = 1 で上端が軸に達します。

1 ≦ x ≦ 3 では縦の線分が軸を含みます。上端の軸からの距離 x − 1 は0から2までなので、下端までの距離2以上にはなりません。よって回転断面は半径2の円板です。x = 3 では上下の端が軸から等距離です。断面積は分割点で一致し、それぞれ連続です。

V = π∫[0→1] (4 - (1 - x)²) dx + π∫[1→3] 4 dx
  = π∫[0→1] (3 + 2x - x²) dx + 8π
  = π[3x + x² - x³/3]₀¹ + 8π
  = 11π/3 + 8π
  = 35π/3

答えは 35π/3 です。x = 0 の切り口は -2 から -1 なので半径2と1の円環、x = 2 の切り口は -2 から1なので半径2の円板です。元の条件へ戻して断面の形を確かめられます。軸を含む区間で内側の円を引くと、実際には埋まっている部分を失います。

誤った式を図から直す

基本例題で「S = ∫[0→2] (x² − x) dx = 2/3」とする答案を考えます。計算は合っていますが、面積は 1 なので結論が違います。原因は、x² − x が 0 < x < 1 で負であることを無視した点です。負の部分は面積の引き算として働きます。

図3のように交点1を境に上下を交換します。左の長さは x − x²、右の長さは x² − x です。各部分の積分を足すと基本例題の式に戻ります。図3では左右の領域を色分けし、同じ1本の差が両側で同符号にならないことを示しています。

値が偶然合っても、根拠が足りない例はあります。標準例題で「V = π∫[0→1] 1 dx + π∫[1→√2] (1 − (x² − 1)²) dx」と式だけを書くと、なぜ1で分けたか、何を二乗したかが伝わりません。修正答案には「1までは軸を含む半径1の円板、以後は内半径 x² − 1 の円環」と添えます。数値の正誤と説明の不足を別々に点検しましょう。

練習問題

各答えは分数、またはπを含む正確な式で表してください。面積では上下、体積では断面の形と分割点を明記します。

1. 0 ≦ x ≦ 3 で y = x と y = 3 の間の面積を求めなさい。
2. 0 ≦ x ≦ 3 で y = x² と y = 2x の間の面積を求めなさい。
3. 0 ≦ x ≦ 2、0 ≦ y ≦ x を x 軸の周りに1回転した体積を求めなさい。
4. 0 ≦ x ≦ 2、1 ≦ y ≦ x + 1 を x 軸の周りに1回転した体積を求めなさい。
5. 0 ≦ t ≦ 2 で x = 2 − t、y = t と表される線分と、両座標軸で囲まれる面積を積分で求めなさい。

練習の解答と点検

1の解答

0 ≦ x ≦ 3 では 3 − x ≧ 0 です。上端が3、下端が x なので、連続な差を積分します。

S = ∫[0→3] (3 - x) dx
  = [3x - x²/2]₀³
  = 9 - 9/2
  = 9/2

答えは 9/2 です。x = 3 で両端が一致し、x = 0 では縦の長さが3です。これらは元の領域の端と一致します。

2の解答

交点は x² = 2x、すなわち x(x − 2) = 0 から x = 0, 2 です。差 2x − x² = x(2 − x) は0から2の間で正、2から3の間で負です。両関数は連続なので、2で分けて面積を足します。

S = ∫[0→2] (2x - x²) dx + ∫[2→3] (x² - 2x) dx
  = [x² - x³/3]₀² + [x³/3 - x²]₂³
  = (4 - 8/3) + ((9 - 9) - (8/3 - 4))
  = 4/3 + 4/3
  = 8/3

答えは 8/3 です。例えば x = 1 では 2x = 2 > 1 = x²、x = 3 では x² = 9 > 6 = 2x です。区間ごとの上下と元の式が合います。

3の解答

縦の線分は軸から y = x までです。0 ≦ x ≦ 2 で x は0以上なので、断面は半径 x の円板です。断面積 πx² は連続です。

V = π∫[0→2] x² dx
  = π[x³/3]₀²
  = 8π/3

答えは 8π/3 です。x = 0 の断面は点になり、x = 2 の半径は2です。どちらも与えられた縦の線分を回した形と一致します。

4の解答

下端1と上端 x + 1 はともに正です。断面は外半径 x + 1、内半径1の円環で、断面積は連続です。

V = π∫[0→2] ((x + 1)² - 1) dx
  = π∫[0→2] (x² + 2x) dx
  = π[x³/3 + x²]₀²
  = π(8/3 + 4)
  = 20π/3

答えは 20π/3 です。x = 0 では上下が一致して断面積は0、x = 2 では半径3と1の円環です。元の条件に戻して確かめます。

5の解答

x = 2 − t から t = 2 − x です。t が0から2へ増えると x は2から0へ減り、y = 2 − x です。求める範囲は 0 ≦ x ≦ 2、0 ≦ y ≦ 2 − x です。上端は連続な直線で、下端は x 軸です。

S = ∫[0→2] (2 - x) dx
  = [2x - x²/2]₀²
  = 4 - 2
  = 2

答えは 2 です。t = 0 は (2, 0)、t = 2 は (0, 2) に戻ります。横座標で積分するときは左端0から右端2へ進むため、媒介変数の増加方向と逆です。

式を検査するときの別の視点

境界の式を作った後は、分割点の左右で1点ずつ試します。たとえば基本例題で x = 1/2 を代入すると直線の値は 1/2、放物線の値は 1/4 です。一方 x = 3/2 では直線が 3/2、放物線が 9/4 です。この代入は符号の判断の点検には役立ちますが、区間全体の証明は x(1 − x) の符号で行います。標本の値が合うことと、区間全体で成立することを区別しましょう。

また、交点が見つからない場合に無理に分割する必要はありません。差の符号が区間全体で一定なら、同じ上下関係で1回積分できます。反対に、軸と境界の交点があっても、そこが領域の外なら体積の分割点にはなりません。式を解いた後、もとの領域に含まれるか確かめることが必要です。

回転の問題では、円の半径は符号つきの y 座標ではなく、軸からの距離です。下側の点の座標が負でも、その距離は正になります。軸をまたぐ線分を回すと、各点が通る円が中心から最も遠い端まで連続して埋めるため、穴は残りません。軸から離れた線分なら、近い端より内側には点が届かず、円環になります。

媒介変数を使うとき、曲線を描く順と面積を測る向きは別に決めます。練習5では t の増加につれて右から左に動くので、もし t で積分するなら横座標の減少分に負号をつけて ∫[0→2] t dt とします。これは横座標で左から右へ積分した結果と一致します。向きを書けば、途中の負号の意味も読み手に伝わります。

答案を閉じる前に

交点と領域の端を出し、上下または断面の形が変わる場所で分けます。
面積は上端から下端を引き、体積は断面積を積分します。
軸をまたぐ断面は円板か円環かを図で調べます。
媒介変数の向きと積分の端点の順を照合します。
最後に元の条件へ戻し、端点と符号を点検します。

式を立てられないときは、1つの位置で縦の線分を描き、上下端の値を声に出して比べます。式は立つのに答えが負になるときは、各区間で差の符号を調べます。個別指導では、切り口を回したとき内側に穴が残るかを本人に説明してもらい、分割点を式と図の両方で確かめます。積分値が正でも、図の別の部分を数えている可能性があります。境界の範囲まで振り返りましょう。図から選んだ積分する量が、答案の根拠になります。