高校数学III・C ベクトルの係数と軌跡—動く点の範囲を係数条件から図へ戻す｜武蔵野個別指導塾

内分点の係数の符号と和から三角形内の範囲を求め、端点と逆の構成までたどる係数軌跡です。

よくあるのは、理系高3の演習で、位置ベクトルの係数の和だけを見て点が三角形内にあると決める場面です。和が1でも負の係数があれば、点は辺の外側に出ることがあります。動点がどの線分を通り、端点を含むかを式と図の両方に戻して、軌跡を過不足なく記述しましょう。

係数の何を調べるか

線分上の点なら、両端の位置ベクトルを重み付きで足し、重みが0以上で和が1であることを使います。三角形なら頂点に対する3つの重みを調べます。和が1という条件だけでは直線や平面上の位置を表せても、辺の外に出ることを防げません。

出方の1つは、辺上の点をさらに内分して別の線分を動く場合です。まず動く辺の係数を文字で表し、次に内分の式に代入します。もう1つは、2つの点がそれぞれ独立に辺上を動き、その中間の点が領域を描く場合です。2つの文字の範囲を係数の不等式に移し、逆にその不等式を満たす点から元の2点を作ります。さらに、動きに連動条件があれば、2文字を独立とみなさず関係式を残します。

式から図に移るときは、候補の領域に入ることと、候補の各点が実際に作れることを分けます。前者だけでは、実際には通らない点まで含める危険があります。端点を除く条件や分母が0となる場合は、逆に作る段階で特に注意します。

三角形の重みと一意性

A、B、Cを一直線上にない3点とし、原点Oからの位置ベクトルをそれぞれ a、b、c とします。これらはベクトルです。点Pについて

ベクトル AP = s ベクトル AB + t ベクトル AC
ベクトル OP = (1 - s - t)a + sb + tc

と表します。ベクトル AB と AC は平行でないため、s、tは一意です。実際、2通りの表示を引くと係数の差を使った和が零ベクトルとなり、平行でない2つのベクトルの係数はともに0です。この一意性が、図で選んだ点と式の係数を結びます。

Pが辺を含む三角形ABC内にある条件は、s ≧ 0、t ≧ 0、s + t ≦ 1です。必要性は、Aから辺BC上の点へ引いた線分上にPを置けば得られます。逆に、s + t > 0なら辺BC上に

ベクトル AQ = (s/(s + t)) ベクトル AB + (t/(s + t)) ベクトル AC

となるQを取れます。両係数は0以上で和が1です。PはAQを Aから s + t の割合だけ進んだ点なので、0 ≦ s + t ≦ 1から三角形内です。s + t = 0なら非負性からs = t = 0で、P = Aです。この例外を別に扱えば0で割らずに済みます。

図1のように、3つの重みの符号と和を同時に調べます。辺上では少なくとも1つが0、頂点では2つが0です。したがって等号を含むかどうかが、図の境界を実線で含めるかの判断に対応します。

図1のように、重みが負になる側は、対応する頂点の反対の辺を越えた側です。係数を比較する前に、どの3点が一直線上にないかを確かめると、表示の一意性を安心して使えます。

基本例題：固定した割合で辺を結ぶ

一直線上にない3点A、B、Cについて、Qは線分BC上を両端を含めて動きます。Pは線分AQを AP : PQ = 2 : 1 に内分します。Pの軌跡を、端点を明示して図形として答えてください。

Qの位置を実数uで表すと、0 ≦ u ≦ 1で

ベクトル OQ = (1 - u)b + uc
ベクトル OP = (1/3)a + (2/3)ベクトル OQ
             = (1/3)a + (2/3)(1 - u)b + (2/3)uc

です。辺AB上の点D、辺AC上の点Eを、それぞれ AD : DB = 2 : 1、AE : EC = 2 : 1 と定めます。すると

ベクトル OD = (1/3)a + (2/3)b
ベクトル OE = (1/3)a + (2/3)c
ベクトル OP = (1 - u)ベクトル OD + u ベクトル OE

となります。0 ≦ u ≦ 1なのでPは線分DE上にあります。図2のように、QがBからCへ動くと、PはDからEへ対応して動きます。

逆に線分DE上の任意の点Pを取れば、ある0 ≦ u ≦ 1を用いて最後の式で表せます。同じuでQを線分BC上に取ると、上の式を逆にたどって AP : PQ = 2 : 1 が成り立ちます。u = 0ではQ = B、P = D、u = 1ではQ = C、P = Eです。よって軌跡は両端を含む線分DEです。係数が1/3で固定されるため三角形全体には広がらない点も重要です。

標準例題：2つの動きから領域を作る

一直線上にないA、B、Cに対し、Dは線分AB上、Eは線分AC上をそれぞれ独立に両端を含めて動きます。Pは線分DEの中点です。Pの動く範囲を、境界を含むか明示して答えてください。

0 ≦ u ≦ 1、0 ≦ v ≦ 1として

ベクトル OD = (1 - u)a + ub
ベクトル OE = (1 - v)a + vc
ベクトル AP = (u/2)ベクトル AB + (v/2)ベクトル AC

です。ここでs = u/2、t = v/2と置くと、0 ≦ s ≦ 1/2、0 ≦ t ≦ 1/2です。AB、ACの中点をそれぞれM、Nとし、ベクトル AR = (1/2)ベクトル AB + (1/2)ベクトル ACでRを定めれば、候補は平行四辺形AMRNの周および内部です。s + t ≦ 1も自動的に成り立つので、この平行四辺形は三角形ABCの内部と辺に収まります。

逆にその平行四辺形の任意の点は、0 ≦ s ≦ 1/2、0 ≦ t ≦ 1/2で一意に表せます。u = 2s、v = 2tと置けば、どちらも0以上1以下です。これでDとEを元の線分上に取ると、その中点は指定した点です。4つの頂点も、u、vのそれぞれを0または1に取って実現できます。したがって境界を含む平行四辺形AMRNが答えです。

2つの文字を自由に選べたのは、問題文に独立に動くとあるからです。例えばu = vという制約が加われば、s = tとなり、動く範囲はAからRへの線分に縮みます。係数のそれぞれの範囲だけを見て、文字同士の関係を捨ててはいけません。

発展例題：動く内分比を逆に作る

一直線上にないA、B、Cについて、Qは線分BC上を両端を含めて動きます。Pは線分AQ上を、Aを除きQを含めて動きます。さらに AP ≦ (3/4)AQ とします。Pの動く範囲を、境界と除く点を明示して答えてください。

Qを0 ≦ u ≦ 1、Pを0 < λ ≦ 3/4で表します。AQの長さは、Aが直線BC上にないので0ではありません。よって割合λは正しく定義され、条件もこの範囲に一致します。

ベクトル AQ = (1 - u)ベクトル AB + u ベクトル AC
ベクトル AP = λ(1 - u)ベクトル AB + λu ベクトル AC

s = λ(1 − u)、t = λuと置くと

s ≧ 0、t ≧ 0
s + t = λ
0 < s + t ≦ 3/4

です。AB、AC上にそれぞれ AD : DB = 3 : 1、AE : EC = 3 : 1となるD、Eを取ります。係数の条件からPは三角形ADEの辺および内部にあり、s + t > 0なのでAを除きます。

逆に三角形ADE内またはその辺上でA以外の点Pを取ります。その係数はs ≧ 0、t ≧ 0、0 < s + t ≦ 3/4を満たします。そこで

λ = s + t
u = t/(s + t)

と定めます。分母は正で、0 ≦ u ≦ 1です。このuでQをBC上に取れば、元の式からPはAQ上にあり、AP = λAQです。λ > 0なのでPはAでなく、λ ≦ 3/4なので指定された長さの条件も満たします。よって求める範囲は、辺を含む三角形ADEからAを除いた集合です。

Aに近い点は作れますが、Aそのものはλ = 0を要するので作れません。辺AD、AEはA以外を含み、辺DEは両端とも含みます。境界ごとに言い直すと、図の線を全部実線にしてAまで含める誤りを防げます。

誤答を係数から直す

「Pの位置ベクトルが 2a − b + 0c と表され、係数の和が1だからPは三角形ABC内にある」という答案を考えます。計算した和は正しいものの、結論は誤りです。ベクトル AP = -ベクトル AB なので、PはBと反対側にAを越えた点です。

図3のように、負の重みは辺の外側への移動を示すことがあります。和が1であることと、各重みが0以上であることは別の検査です。

修正答案では、係数が2、-1、0であると書き、Bの重みが負であることを示します。ABとACの独立性により、この点を3頂点の非負の重みで別に表すことはできません。したがってPは三角形の外です。図3のようにAを挟んでBの反対側という元の位置にも戻せば、符号の意味がはっきりします。

別の失敗は、非負条件から候補を出し、それで軌跡の証明を終えることです。候補内の点から媒介変数を作れるかを確認し、分母が0なら別に処理します。端点を除く問題では、逆の構成で得た文字が許される範囲の端に落ちないかも確認します。

練習：条件を図に戻す

以下のA、B、Cはいずれも一直線上にありません。範囲は境界や除外点を含めて答えてください。

1. Qは線分BC上を両端を含めて動き、PはAQを AP : PQ = 1 : 3 に内分します。Pの軌跡を図形で答えてください。
2. DはAB上、EはAC上を独立に両端を含めて動きます。PはDEを DP : PE = 1 : 2 に内分します。Pの範囲を図形で答えてください。
3. ベクトル AP = s ベクトル AB + t ベクトル AC、s ≧ 0、t ≧ 0、s + t = 2/3を満たすPの軌跡を図形で答えてください。
4. QはBC上を両端を含めて動き、PはAQ上で 1/4 ≦ AP/AQ ≦ 1/2 を満たします。Pの範囲を図形で答えてください。
5. DはAB上を両端を含めて動き、EはAC上で AE/AC = AD/AB を満たします。PはDEの中点です。Pの軌跡を図形で答えてください。

練習の解答と逆向きの確認

1. AB、AC上にそれぞれ AF : FB = 1 : 3、AG : GC = 1 : 3となるF、Gを取ります。0 ≦ u ≦ 1として

ベクトル OQ = (1 - u)b + uc
ベクトル OP = (3/4)a + (1/4)ベクトル OQ
             = (1 - u)ベクトル OF + u ベクトル OG

です。Pは線分FG上にあります。逆に線分上の任意のuでQを作れば同じ式が成り立ち、AP : PQ = 1 : 3です。u = 0、1も許されるので答えは両端を含む線分FGです。

2. AD/AB = u、AE/AC = vとすると、0 ≦ u、v ≦ 1です。内分公式から

ベクトル OP = (2/3)ベクトル OD + (1/3)ベクトル OE
ベクトル AP = (2u/3)ベクトル AB + (v/3)ベクトル AC

です。AB上に AF/AB = 2/3、AC上に AG/AC = 1/3となるF、Gを取り、AFHGを平行四辺形とします。係数は0 ≦ s ≦ 2/3、0 ≦ t ≦ 1/3なので、Pはその周または内部にあります。逆にこの範囲のs、tに対しu = 3s/2、v = 3tとすれば、どちらも0以上1以下で元のD、Eを作れます。内分式に戻るので、答えは境界を含む平行四辺形AFHGです。

3. AB、AC上に AF/AB = AG/AC = 2/3となるF、Gを取ります。s + t = 2/3、s、t ≧ 0より0 ≦ 3t/2 ≦ 1です。

ベクトル AP = (1 - 3t/2)ベクトル AF + (3t/2)ベクトル AG

逆にFG上の点を割合wで表せば、s = (2/3)(1 − w)、t = 2w/3と取れて元の条件に戻ります。答えは両端を含む線分FGです。

4. s = λ(1 − u)、t = λuと表すと、0 ≦ u ≦ 1、1/4 ≦ λ ≦ 1/2です。よってs、t ≧ 0、1/4 ≦ s + t ≦ 1/2です。AB上にAF/AB = 1/4、AH/AB = 1/2、AC上にAG/AC = 1/4、AJ/AC = 1/2となる点を取ります。候補は四角形FHJGの周と内部です。

逆にその四角形の点についてλ = s + t、u = t/(s + t)と置けば、λ ≧ 1/4なので割ることができ、0 ≦ u ≦ 1です。対応するQをBC上に取るとAP/AQ = λで、元の条件を満たします。等号を含むので四角形の境界も含みます。

5. 共通の比をuとすると0 ≦ u ≦ 1で

ベクトル AD = u ベクトル AB
ベクトル AE = u ベクトル AC
ベクトル AP = (u/2)(ベクトル AB + ベクトル AC)

です。BCの中点をMとすればベクトル AM = (1/2)(ベクトル AB + ベクトル AC)です。したがってPは線分AM上にあります。逆にAM上の任意の割合uからD、Eを作れば、共通の比を満たし、その中点は指定したPです。答えは両端を含む線分AMです。2つの比が連動するため、平行四辺形にはなりません。

答案を仕上げる前に

係数の和と各係数の符号を別々に確認します。
動点の文字が独立か、連動するかを記します。
候補を出した後、候補内の点から元の動点を構成します。
端点、等号、0で割れない場合を調べます。

手が止まったときは、まず候補が線分か領域かを、自由に動く文字の数とその関係から見分けます。図を描けても逆の構成が書けない場合は、候補の点の係数を先に置き、元の比をその係数で表してください。個別指導で確かめるなら、係数が0になる辺と、候補の点から作った比が許される範囲に入る理由を、それぞれ自分の言葉で説明できるかを見ます。係数の条件と図の境界が往復できれば、軌跡の過不足を自分で点検できます。