高校数学III・C 平均値の定理と評価—区間の条件を確認して二つの値を比べる｜武蔵野個別指導塾

指数・対数の差を導関数で挟む例題を通じ、平均値の定理の適用区間と負の増分の扱いを整理できます。

よくあるのは、理系高3の演習で、平均値の定理を使う区間と、その中に存在する点の位置を書き落とす場面です。差を導関数で表せても、その値をどの範囲で評価できるかが不明だと、次の不等式はつながりません。指数関数と対数関数を使い、区間の選択から結論までを追います。

差を比べるときの見取り図

出方の1つは、2点の関数値の差を、2点の間の距離で割った式を評価する問題です。差商を見たら、まず左右の端点を定め、その間で導関数がどの範囲に入るか調べます。対数では特に、区間全体が正の範囲にあることを確認します。

もう1つは、差そのものを上から、または下から抑える問題です。差商の評価から差へ戻すとき、掛ける数が正か負かで不等号の向きが変わります。端点の大小が文字によって変わるときは、先に場合を分けると安全です。

さらに、評価を極限に結ぶ問題もあります。両側の評価が同じ値に近づけば、はさみうちが使えます。ただし、定理が与える点がどこかを正確に求める必要はありません。その点が区間内にあることを使い、導関数の値を挟みます。

定理の点から導関数の範囲へ

a < b とします。関数 f が閉区間 [a, b] で連続、開区間 (a, b) で微分可能なら、a < c < b を満たし、次の式を満たす c が少なくとも1つあります。

(f(b) - f(a))/(b - a) = f′(c)

左辺は2点を結ぶ直線の傾き、右辺は途中の点での接線の傾きです。定理は c の存在を保証しますが、c が中点だとは保証しません。また、閉区間での連続性と開区間での微分可能性は、使う前に確認します。

図1のように、まず端点から区間を決め、次に c の位置を得て、最後に導関数を評価します。もし区間内で m < f′(t) < M なら、存在する c にも同じ評価を適用できます。b − a は正なので、差を求めるためにこれを掛けても不等号の向きは変わりません。

図1の各段階は別々の役割を持ちます。区間の条件は定理の適用を支え、c の範囲は導関数の評価を支えます。端点で等号が成り立っても、c は開区間にあるため、導関数が区間内で厳密に単調なら、得られる評価が不等号だけになる場合があります。

対数関数 log x は x > 0 で連続かつ微分可能で、導関数は 1/x です。指数関数 eˣ は実数全体で連続かつ微分可能で、導関数は eˣ です。どちらも導関数の大小を区間の位置から判断できます。平均値の定理そのものと、導関数が増加または減少するという別の事実を区別して使います。

基本例題：対数の差を挟む

正の数 a, b が a < b を満たすとします。log b − log a を、a と b を用いる分数で上下から厳密に評価してください。

log x は [a, b] で連続、(a, b) で微分可能です。平均値の定理より、ある c について次が成り立ちます。

a < c < b
(log b - log a)/(b - a) = 1/c

a, c, b は正です。正の数の逆数は大小が逆になるため、

1/b < 1/c < 1/a

です。b − a > 0 を掛ければ、求める評価は次のようになります。

(b - a)/b < log b - log a < (b - a)/a

図2は横軸上の端点と c の位置を示します。図2の順序を逆数にすると、導関数の大小は逆順です。導関数そのものが正なので、差も正になるという結論は log x の増加とも一致します。

例えば a = 2, b = 3 なら、1/3 < log 3 − log 2 < 1/2 です。c は2と3の間にあり、1/c がこの差に等しくなります。端点の値を代入して差が厳密にその値になるとは言っていません。a = b では差商が定義されず、定理をこのまま適用できませんが、元の差は0です。

標準例題：増分の符号で向きを変える

実数 x と、0でない実数 h について、eˣ⁺ʰ − eˣ を eˣ、eˣ⁺ʰ、h で評価してください。h の符号ごとに答え、不等号は厳密なものとします。

まず h > 0 とします。eᵗ は [x, x + h] で連続、内部で微分可能です。平均値の定理より、x < c < x + h となる c があって、

(eˣ⁺ʰ - eˣ)/h = eᶜ

です。指数関数は厳密に増加するので、

eˣ < eᶜ < eˣ⁺ʰ
heˣ < eˣ⁺ʰ - eˣ < heˣ⁺ʰ

となります。最後は正の h を掛けました。

次に h < 0 とします。今度の区間は [x + h, x] です。同じ定理から、x + h < c < x かつ

(eˣ - eˣ⁺ʰ)/(-h) = eᶜ
(eˣ⁺ʰ - eˣ)/h = eᶜ

となる c があります。したがって、

eˣ⁺ʰ < eᶜ < eˣ
heˣ⁺ʰ > eˣ⁺ʰ - eˣ > heˣ

です。負の h を掛けた行で不等号が反転します。小さい順に並べ直した答えは、

heˣ < eˣ⁺ʰ - eˣ < heˣ⁺ʰ

です。結果の形は h > 0 の場合と同じですが、その理由は異なります。h = 0 なら差は0であり、厳密な不等号は成り立ちません。この境界を別に述べることで、除外した条件が明確になります。

発展例題：評価から極限へ

正の数 a を固定します。x > -a かつ x ≠ 0 として、次の極限を求めてください。答えは a を用いる分数で表します。

lim[x→0] (log(a + x) - log a)/x

x > 0 の場合、[a, a + x] は正の範囲にあり、log t はそこで連続かつ内部で微分可能です。平均値の定理より、a < c < a + x かつ

(log(a + x) - log a)/x = 1/c
1/(a + x) < 1/c < 1/a

です。x < 0 の場合、区間は [a + x, a] です。a + x > 0 より同じ条件を満たし、a + x < c < a かつ

(log(a + x) - log a)/x = 1/c
1/a < 1/c < 1/(a + x)

となります。分子と分母の向きを同時に逆にすると差商は変わりません。ここでは負の数を不等式に掛けておらず、逆数の大小を直接使っています。

x → 0 のとき、いずれの場合も両側の分数は 1/a に近づきます。よって、はさみうちにより答えは

lim[x→0] (log(a + x) - log a)/x = 1/a

です。左右で評価の順序を取り違えなければ、両側から同じ極限に到達します。c 自体の式は不要です。a + x > 0 が欠けると、実数の対数が定義されない点を含むため、そもそもこの区間に定理を適用できません。

評価の幅を読む

基本例題の上下の差は (b − a)/a − (b − a)/b です。これを整理すると (b − a)²/(ab) になります。a と b が正なので、この幅も正です。2点が近づくと幅が小さくなるため、単に差が正だと述べるより、差の大きさを細かく制限できます。

ただし、上下の評価があるだけでは元の差の正確な値が決まるわけではありません。極限を求めるときは、評価の両端が同じ値へ近づくことを別に示します。区間が負の値を含む対数の問題や、端点が一致する差商には、同じ手順をそのまま適用できません。条件が外れた場合は、元の式が定義されるかを先に調べます。

誤答をほどく：中間点は中点とは限らない

a = 1, b = 4 として、log 4 − log 1 を考えます。次の答案は誤りです。

平均値の定理より c = (1 + 4)/2 = 5/2。
よって log 4 - log 1 = 3/(5/2) = 6/5。

定理が主張するのは、1 < c < 4 を満たす点の存在です。c が中点であるとは限りません。中点を代入して得た値がたまたま近く見えても、存在が保証された点と同じという根拠にはなりません。

図3のように、1と4の間の点として c を残します。図3の帯の内部という情報から 1/4 < 1/c < 1 を導けば十分です。修正答案は次の通りです。

log t は [1, 4] で連続、(1, 4) で微分可能。
ある c が存在して 1 < c < 4。
(log 4 - log 1)/3 = 1/c。
1/4 < 1/c < 1。
3/4 < log 4 - log 1 < 3。

逆に、c が存在することだけを書いて 1 < c < 4 を省く答案も、評価の根拠が不足します。関数の定義域が正であること、c が開区間にあること、3が正であることを順に使えば、厳密な不等号まで説明できます。

練習問題

次の5問では、log は自然対数です。評価は指定された式を用い、極限は正確な値で答えてください。

1. 0 < p < q のとき、(log q − log p)/(q − p) を 1/p と 1/q で厳密に挟んでください。
2. 2 < u < v のとき、eᵛ − eᵘ を v − u、eᵘ、eᵛ で厳密に挟んでください。
3. -1 < h < 0 のとき、log(1 + h)/h を 1 と 1/(1 + h) で厳密に挟んでください。
4. lim[h→0] (e³⁺ʰ − e³)/h を e を用いて求めてください。
5. 0 < r < s のとき、log s − log r < (s − r)/r を証明し、r = s でも同じ厳密な不等号が成り立つか答えてください。

練習問題の解答

1の解答

log t は [p, q] で連続、(p, q) で微分可能です。平均値の定理により、ある c が p < c < q を満たし、

(log q - log p)/(q - p) = 1/c

となります。p, c, q は正なので逆数の順序を反転させて、

1/q < (log q - log p)/(q - p) < 1/p

です。差商は正で、増加する log の2点の値の差が正であることとも一致します。p = q では差商が定義されず、この問題の条件から除かれています。

2の解答

eᵗ は [u, v] で連続、(u, v) で微分可能です。u < c < v を満たすある c について、

(eᵛ - eᵘ)/(v - u) = eᶜ
eᵘ < eᶜ < eᵛ

です。v − u > 0 を掛けると、

(v - u)eᵘ < eᵛ - eᵘ < (v - u)eᵛ

となります。左辺も右辺も正で、元の指数関数の差が正であることに整合します。u > 2 は区間を限定しますが、この評価自体には u < v があれば足ります。

3の解答

-1 < h < 0 より 0 < 1 + h < 1 です。[1 + h, 1] で対数は連続、内部で微分可能なので、ある c が存在して、

1 + h < c < 1
(log 1 - log(1 + h))/(1 - (1 + h)) = 1/c
log(1 + h)/h = 1/c

となります。正の数の逆数を比較して、答えは

1 < log(1 + h)/h < 1/(1 + h)

です。log(1 + h) と h はともに負なので、差商が正であることも元の条件に合います。h = -1 では対数が定義されず、h = 0 では差商が定義されません。

4の解答

h > 0 なら eᵗ に平均値の定理を [3, 3 + h] で適用し、ある c について、

3 < c < 3 + h
(e³⁺ʰ - e³)/h = eᶜ
e³ < eᶜ < e³⁺ʰ

を得ます。h < 0 なら [3 + h, 3] に適用でき、

3 + h < c < 3
e³⁺ʰ < eᶜ < e³

です。指数関数は連続なので、h → 0 の両側で両端は e³ に近づきます。はさみうちにより答えは e³ です。左右の差商はともに正であり、増加する関数の変化と一致します。

5の解答

log t は [r, s] で連続、内部で微分可能です。平均値の定理より、ある c について、

r < c < s
(log s - log r)/(s - r) = 1/c
1/c < 1/r

です。s − r > 0 を掛けて、

log s - log r < (s - r)/r

を得ます。r = s なら左右はともに0で、厳密な不等号は成立しません。このとき元の差を直接調べる必要があり、長さ0の区間で差商を作ることはできません。

答案を点検する順序

要点は次の4行です。

区間の両端を大小順に置き、連続性と微分可能性を確認します。
定理が与える c は開区間の内部にあると書きます。
導関数の大小を c の範囲から求めます。
差に戻すときの符号と、端点での等号を調べます。

つまずきを見分けるには、定理の式の直後に「c はどこか」と尋ねます。区間が答えられなければ、まず2点を数直線に置き直します。個別指導では、負の増分を掛けた行を本人に指してもらい、不等号の反転を説明できるか確認します。区間と符号を答案に残せば、2つの値を比べる根拠が見える形になります。