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高校数学II 二つの円の位置関係—中心間距離と半径の和や差から共有点数を分ける｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学II 図形と方程式を掘り下げる

半径の差に絶対値を付け、外接・内接の境界と同心円を分けて考える手順で、二円の位置関係を見通します。

よくあるのは、高2が二つの半径の差の絶対値を忘れ、円の並べ方を逆にすると判定が変わってしまう場面です。中心間の距離は負になりませんから、比較する差も順序に左右されない長さでなければなりません。半径の和と差を境に何が起きるかを図と式で追い、接する場合や中心が重なる場合まで整理します。

どの量を求める問題か

一つ目は、二つの円の方程式から中心と半径を読み、共有点の個数を判定する型です。交点の座標を計算しなくても、中心間距離と二つの半径があれば個数を判断できます。一般形で与えられたときは平方完成して、半径が正であることも確認します。

二つ目は、中心の位置や半径に文字が含まれ、外接や二点で交わるための範囲を求める型です。境界の等号が外接と内接に対応するので、途中で等号を落とさず、最後に指定された関係に合わせて選びます。文字の値によって円自体が存在しない場合も、位置関係を調べる前に除きます。

三つ目は、共有点が一つという条件から、外接と内接の両方を探す型です。同心で半径が等しければ円は一致し、共有点は無数です。同心という例外を先に分けると、接する場合と混同せずに済みます。

半径の和と差が示す境界

中心をそれぞれ A、B、正の半径を r、s、中心間距離を d とします。d は距離なので d ≧ 0 です。まず A と B が異なる、つまり d > 0 とします。二つの円に共通する点 P があるなら、三角形 ABP の辺の長さは d、r、s です。三角形の成立条件から、|r − s| ≦ d ≦ r + s が必要です。

等号のとき A、B、P は一直線上に並びます。d = r + s なら P は二つの中心の間にあり、外接します。d = |r − s| なら一方の円が他方の内側から接する内接です。d > 0 なので、この等号の場合の半径は異なります。厳しい不等号 |r − s| < d < r + s のときは、中心を結ぶ直線の両側に対称な2点で交わります。

逆に d > r + s なら円は離れ、d < |r − s| なら小さい円が大きい円の内側に入り、円周どうしは交わりません。包含とはここでは円周が共有点を持たず、一方が他方の内側にある状態を指します。どちらも共有点は0個ですが、位置は異なります。

図1のように、二点で交わるためには距離が差より大きく、和より小さいことが必要です。この条件が十分でもあることは、A を原点、B を (d, 0) に置くと確かめられます。共通点 (x, y) は次を満たします。

x² + y² = r²
(x - d)² + y² = s²
2dx = d² + r² - s²
x = (d² + r² - s²)/(2d)

ここで d > 0 なので割れます。最初の式へ戻すと、y² = r² − x² です。これを整理すると、次の式になります。

4d²y² = ((r + s)² - d²)(d² - (r - s)²)

差と和の間では右辺が正となり、y は正負の2通りです。境界では y = 0 の1通り、範囲の外では右辺が負で実数の y はありません。差の絶対値を使うのは、r と s のどちらを先に呼んでも同じ長さにするためです。

一方、d = 0 なら上の式で d を分母にできません。中心が同じで r ≠ s なら共有点は0個、r = s なら二つの円は一致し、共有点は無数です。半径が0以下の式は、ここでいう半径が正の円として扱いません。

判定の順序を固定する

方程式の右辺が文字を含むときは、中心間距離を比べる前に半径が正になる条件を置きます。例えば (x − 1)² + y² = k は k > 0 のとき半径 √k の円です。k = 0 では左辺が0となる点は (1, 0) だけで、正の半径を持つ円ではありません。k < 0 では左辺が負にならないので実数の点がありません。この2つを円どうしの外接や内接に混ぜると、共有点の個数の意味が変わります。

判定の順番は、円が成立すること、中心が一致するか、異なる場合に差と和を比べることです。共有点の個数だけなら包含と離れる場合は同じ0個ですが、位置関係を答える問題では区別します。等号のある箇所は境界なので、不等号を一つずつ読み、図で接点がどこにあるか確かめると、端点の採否も整理できます。

基本例題：方程式から二交点を判定する

円 C: x² + y² = 25 と円 D: (x − 6)² + y² = 9 の位置関係と共有点の個数を求め、共有点の座標は、分数と根号を用いて正確に示してください。

C の中心は A(0, 0)、半径は5、D の中心は B(6, 0)、半径は3です。両方の半径は正で、中心間距離は6です。図2のように、半径の差と和の間に中心間距離があります。

|5 - 3| = 2
5 + 3 = 8
2 < 6 < 8

したがって二つの円は2点で交わります。座標も求めるため、二式の差を取ります。共有点は両方の式を満たすので、差の式を満たします。

(x - 6)² + y² = 9
x² - 12x + 36 + y² = 9
x² + y² = 25
25 - 12x + 36 = 9
12x = 52
x = 13/3

これを C の式へ戻します。

y² = 25 - (13/3)²
y² = 225/9 - 169/9
y² = 56/9
y = ±(2√14)/3

よって共有点は (13/3, (2√14)/3)、(13/3, -(2√14)/3) です。x − 6 = -5/3 なので、D に代入すると 25/9 + 56/9 = 9 となります。C にも戻るため、差の式が示す直線上の点をそのまま共有点と誤認していません。2点という判定とも一致します。

標準例題：文字が動くときの境界

円 x² + y² = 16 と円 (x − t)² + y² = 1 について、実数 t の範囲を求めてください。条件は二つの円が異なる2点で交わることです。

半径は4と1で、いずれも正です。中心は (0, 0) と (t, 0) なので、中心間距離は |t| です。異なる2点で交わる条件をそのまま書きます。

|4 - 1| < |t| < 4 + 1
3 < |t| < 5

絶対値を外すとき、正と負の両側を調べます。

-5 < t < -3 または 3 < t < 5

これが求める範囲です。例えば t = 4 と t = -4 は中心間距離がともに4で、どちらも 3 < 4 < 5 を満たします。端の |t| = 3 では内接、|t| = 5 では外接なので、2点という条件に含みません。t = 0 は同心ですが、この範囲の外です。文字を外す段階で負の側を落とすと、中心が原点の左にある図形を見逃します。

発展例題：共有点が1個となる半径

円 x² + y² = 36 と円 (x − 4)² + y² = u² について、u > 0 とします。共有点がちょうど1個となる u をすべて求め、接点の座標も示してください。

中心は A(0, 0)、B(4, 0)、半径は6と u です。中心間距離は4で正なので一致はありません。共有点が1個となるのは外接または内接です。まず外接を調べます。

4 = 6 + u
u = -2

これは u > 0 に反するため不適です。次に内接を調べます。

4 = |6 - u|
6 - u = 4 または 6 - u = -4
u = 2 または u = 10

u = 2 では小さい円が A を中心とする円の内側にあり、右端の接点は (6, 0) です。A からの距離は6、B からの距離は2です。u = 10 では A を中心とする円がもう一方の内部にあり、接点は (-6, 0) です。A からの距離は6、B からの距離は10です。両方とも元の円周に属し、内接の条件も満たします。

絶対値の式には2つの向きがあります。u = 2 だけを答えると、どちらの円が外側になるかが入れ替わる場合を失います。また、方程式に u² があるからといって u = -2 を半径として採用することもできません。問題の u > 0 が許す値に戻して判定します。

誤答を図に戻す

半径2の円と半径5の円の中心間距離が1のとき、「2 − 5 = -3 であり、-3 < 1 < 7 だから2点で交わる」と答える誤りを考えます。半径の差を負のまま比較したことが原因です。図3のように、小さい円は大きい円の中に収まり、円周は交わりません。

正しくは |2 − 5| = 3、2 + 5 = 7 です。中心間距離1は3より小さいので、共有点は0個です。大きい円の中心から小さい円上の点までの距離は最大でも 1 + 2 = 3 で、半径5に届きません。式の不等号だけでなく、この距離に戻しても結論を確認できます。

もう一つの誤りは、二つの円の式を引いて得た一次式があるから共有点がある、と判断することです。差の式は共有点があれば満たす条件ですが、差の式上のすべての点が両円上にあるわけではありません。元の円へ代入し、実数解があるかを確かめます。同心では二次項と一次項がともに消えることもあるので、先に中心を調べると整理しやすくなります。

練習問題

次の5問はそれぞれ独立です。位置関係は離れる、外接、2点で交わる、内接、包含、同心で異なる、一致のいずれかで答えてください。座標や文字の値は厳密な形で表します。

半径2と半径4の円の中心間距離が6のとき、位置関係と共有点の個数を求めてください。
円 (x − 1)² + (y + 2)² = 49 と円 (x − 1)² + (y + 2)² = 4 の位置関係と共有点の個数を求めてください。
円 x² + y² = 9 と円 (x − a)² + y² = 25 が内接するような実数 a をすべて求めてください。
円 x² + y² = 4 と円 (x − 3)² + y² = 16 の共有点の座標を根号を用いて求めてください。
円 x² + y² = 9 と円 (x − 2)² + y² = v² について v > 0 とします。共有点が0個となる v の範囲を求め、同心かどうかも答えてください。

練習の解答と確かめ

半径の和と中心間距離を比べます。

2 + 4 = 6

和に等しいので外接し、共有点は1個です。中心を結ぶ線分を2と4に分ける点は両中心からそれぞれの半径だけ離れ、確かに両円上にあります。

二つの中心はともに (1, -2) です。半径は7と2で異なり、同心で異なる円です。共有点は0個です。同じ点が同一の中心から7と2の両方の距離にあることはできません。
中心間距離は |a|、半径の差の絶対値は |3 − 5| = 2 です。内接の条件は次のとおりです。

|a| = 2
a = -2 または a = 2

両方で中心間距離は2、半径の差も2です。中心は異なり、半径も正なので、どちらも内接します。

中心間距離は3、半径は2と4です。2 < 3 < 6 なので共有点は2個です。式の差を取ってから元の式に戻します。

(x - 3)² + y² = 16
x² - 6x + 9 + y² = 16
4 - 6x + 9 = 16
-6x = 3
x = -1/2
y² = 4 - 1/4
y² = 15/4
y = ±√15/2

答えは (-1/2, √15/2)、(-1/2, -√15/2) です。各点で最初の円の左辺は 1/4 + 15/4 = 4、もう一方は 49/4 + 15/4 = 16 です。2点とも元の条件を満たします。

中心間距離は2なので同心ではありません。共有点がないのは離れるか、一方が他方の内部に入る場合です。

2 > 3 + v または 2 < |3 - v|

v > 0 では前者は成立しません。後者を分けます。

3 - v > 2 または 3 - v < -2
v < 1 または v > 5

したがって 0 < v < 1 または v > 5 です。例えば v = 1/2 では差が 5/2、v = 6 では差が3で、いずれも中心間距離2より大きく共有点がありません。v = 1 と v = 5 はともに内接する境界なので含めません。v = 3 では差が0、和が6で 0 < 2 < 6 となり、共有点は2個です。