高校数学II 二直線の平行と垂直—一般形の係数を使い傾きがない場合も判定する｜武蔵野個別指導塾

傾きのない縦の直線にも使える係数条件を導き、未知係数を求めた後に一致や直線の消失を除く手順を確かめます。

よくあるのは、高2が傾きの積だけで軸に平行な直線を判定しようとする場面です。横の直線の傾きは0ですが、縦の直線には傾きがありません。それでも2本は直角に交わります。式を変形する前に直線として成り立つ条件を確かめ、係数の関係を使えば、この場合も同じ手順で扱えます。

どの条件を式にするか

二直線の問題には、式が与えられて位置関係を判定する型があります。係数から向きが同じか、直角かを調べ、向きが同じなら定数項も見て一致と平行を分けます。ここでは共有点を持たない別々の直線を平行と呼び、一致とは区別します。

次に、文字を含む係数を決める型があります。平行や垂直の条件を方程式にして文字を求めますが、得られた値で式が直線でなくなる場合や、平行ではなく一致する場合を除く必要があります。条件式を解いた直後に結論にせず、元の2本へ戻ることが要点です。

さらに、ある点を通り、与えられた直線に平行または垂直な直線を求める型もあります。向きに係わる係数を先に決め、点の座標を代入して定数項を決めます。以下では角度の公式を使わず、直線の方向と係数を結び付けます。

係数で向きを比べる

直線を ax + by + c = 0 と表します。a、b が同時に0なら、式は0 = 0または矛盾となり、1本の直線を表しません。したがって、各直線について a、b の少なくとも一方が0でないことが前提です。

図1のように、直線上の点から横に b、縦に -a だけ移ると、式の左辺の変化は ab + b(-a) = 0 です。この移動は元の直線の向きを表します。b = 0でも移動量は (0, -a) であり、縦の直線を含められます。

図1では 2x + y − 4 = 0 に沿って (1, -2) だけ移っています。一般に2本を ax + by + c = 0、dx + ey + f = 0 とすると、向きが同じ条件は ae − bd = 0 です。実際、最初の係数で a が0でなければ、ae = bd から e = bd/a となり、(d, e) は (a, b) の実数倍です。a = 0なら b は0でなく、条件から d = 0 なので、やはり係数の組は実数倍です。逆に係数の組が実数倍なら ae − bd = 0 です。

係数の組が (d, e) = k(a, b) のとき、どちらも直線なので k は0ではありません。さらに f = kc なら式全体が同じ倍率で、一致します。f が kc と異なれば、同じ点で両式が成り立つことはなく、別々の平行な直線です。係数の比を書く際は、0で割らないように注意します。

垂直の条件は ad + be = 0 です。理由は、1本目に沿う移動 (b, -a) を直角に回した移動が (a, b) だからです。2本目の方向 (e, -d) がこれと平行である条件は、2組の成分の交差の差が -ad − be = 0 となることです。移動量はどちらも零ではないため、逆も成り立ちます。

特に x = p と y = q は、それぞれ係数が (1, 0)、(0, 1) です。積の和は0なので垂直です。傾きが両方とも定義されるときは、傾きをそれぞれ -a/b、-d/e として積が -1 となることも同じ条件から導けます。ただし、この傾きの計算は b、e がともに0でない場合に限ります。

基本例題：向きと重なりを分ける

直線 l: 2x + y − 4 = 0 と、次の直線の位置関係を、それぞれ平行・一致・垂直のいずれかで答えてください。

1. m: 4x + 2y + 2 = 0
2. n: x − 2y + 3 = 0

各式の x、y の係数は同時に0ではありません。まず l と m の向きについて計算します。

2・2 - 1・4 = 0

係数の組は2倍ですが、l の式全体を2倍すると 4x + 2y − 8 = 0 です。m の定数項は2で、-8とは異なります。したがって l と m は一致せず、平行です。

次に l と n の垂直条件を調べます。

2・1 + 1・(-2) = 0

よって l と n は垂直です。図2のように、l 上の (1, 2) と (2, 0) を結ぶ方向は (1, -2)、n 上の (-3, 0) と (-1, 1) を結ぶ方向は (2, 1) です。直角に回した方向が対応しています。

答えを元の式にも戻します。l と m を同時に満たすなら、l の2倍を m から引いて 10 = 0 となり不可能です。また l と n を連立すると交点は (1, 2) で、2・1 + 2 − 4 = 0、1 − 2・2 + 3 = 0 です。図2の交点もこの座標です。方向の条件と実際の式の両方で確認できました。

基本例題の2本の平行線について、傾きを使う方法も確かめます。l は y = -2x + 4、m は y = -2x − 1 です。傾きは同じで切片が異なるので、同じ x に対する y の値は常に5異なります。この方法は見通しがよい一方、y の係数で割れない縦の直線には使えません。一般形の係数による方法なら、式の形を変えずに両方を判定できます。

垂直の判定でも、係数の順序を揃える必要があります。x の係数どうし、y の係数どうしを掛けて足します。平行を調べる交差の差とは計算の並びが違うため、どちらの関係を問われたのかを式の前に書くと、符号の取り違えを見直せます。

標準例題：文字を求めて一致を除く

実数 t に対し、直線 l: x + 2y − 3 = 0 と m: tx + 4y − 6 = 0 を考えます。m が l と平行になる t と、垂直になる t をそれぞれ求め、実数で答えてください。平行は一致を含まないものとします。

m の y の係数は4なので、どの t でも直線です。向きが同じ条件から始めます。

1・4 - 2t = 0
4 - 2t = 0
t = 2

ところが t = 2 のとき m は 2x + 4y − 6 = 0 であり、l の式を2倍したものです。2本は一致します。したがって、平行になる t は存在しません。向きが同じという条件を満たした後、定数項を比較することで初めてこの例外を除けます。

垂直の条件は次のとおりです。

1・t + 2・4 = 0
t + 8 = 0
t = -8

答えは、平行となる t はなし、垂直となる t は -8 です。t = -8 を元に戻すと m は -8x + 4y − 6 = 0 で、係数の積の和は -8 + 8 = 0 です。方向が直角になることを確認できます。両直線の係数が零でないので、この条件は十分でもあります。

発展例題：直線でなくなる値にも注意する

実数 s に対し、l: 3x − y + 5 = 0 と m: (s − 1)x + (2s + 1)y − 4 = 0 を考えます。m が l に垂直になる s と、平行になる s を求め、分数または整数で答えてください。平行は一致を含みません。

まず m の2係数が同時に0になるかを調べます。s − 1 = 0 なら s = 1 ですが、このとき 2s + 1 = 3 です。したがって m はどの実数 s でも直線です。

垂直の条件を立てます。

3(s - 1) - (2s + 1) = 0
3s - 3 - 2s - 1 = 0
s - 4 = 0
s = 4

s = 4 の m は 3x + 9y − 4 = 0 です。元の l の係数との積の和は 3・3 + (-1)・9 = 0 となります。

向きが同じ条件は次のようになります。

3(2s + 1) - (-1)(s - 1) = 0
6s + 3 + s - 1 = 0
7s + 2 = 0
s = -2/7

この値を戻すと、m の係数は (-9/7, 3/7) で、l の係数 (3, -1) の -3/7 倍です。一致するなら定数項も 5・(-3/7) = -15/7 であるはずですが、実際は -4 です。よって別々の平行な直線です。答えは垂直が s = 4、平行が s = -2/7 です。

文字を含む式では、係数条件を作る前に直線の存在を確認します。たとえば両方の係数が同時に消える別の問題では、その値を係数条件の解に含めてはいけません。計算が成立することと、問題の対象が存在することは別の確認です。

傾きがない直線での誤りを直す

「x = 2 と y = -1 は、傾きの積が -1 と計算できないから垂直ではない」という答えを考えます。図3のように、前者は縦、後者は横の直線で、交点 (2, -1) で直角に交わります。傾きの積を使えないことは、垂直でないことを意味しません。

図3の2本を x − 2 = 0、y + 1 = 0 と直すと、係数はそれぞれ (1, 0)、(0, 1) です。積の和は 1・0 + 0・1 = 0 なので垂直です。交点の座標も両方の式を満たします。傾きの公式に入らない場合は、式が間違っているのではなく、公式の適用条件を外れていると判断します。

もう一つの誤りは、向きが同じという計算だけで平行と断定することです。式全体が同じ倍率なら2本は重なります。定数項まで比べ、共有点がない場合に平行と結論します。どちらも、計算結果が使える条件を先に点検すれば修正できます。

練習：条件を判定し、式を作る

次の5問では、平行は一致を含まないものとします。方程式は一般形で、文字の値は整数または分数で答えてください。

1. 直線 5x − 3y + 1 = 0 と 10x − 6y − 7 = 0 の位置関係を答えてください。
2. 直線 4x + 3y − 2 = 0 と 6x + ky + 5 = 0 が垂直となる実数 k を求めてください。
3. 点 (2, -3) を通り、直線 2x − 5y + 8 = 0 に平行な直線の方程式を求めてください。
4. 点 (-1, 4) を通り、直線 x = 3 に垂直な直線の方程式を求めてください。
5. 実数 u に対し、直線 (u − 2)x + (2u − 4)y + 1 = 0 と x + 2y − 3 = 0 が平行となる u の範囲を求めてください。

練習の解答と確認

1

両式は直線であり、向きの条件は次のとおりです。

5・(-6) - (-3)・10 = 0

係数は2倍ですが、1つ目の式全体を2倍したときの定数項2は、2つ目の定数項 -7 と異なります。したがって平行です。実際に2つ目から1つ目の2倍を引くと -9 = 0 となり、共有点がないことも確認できます。

2

両式はそれぞれ x の係数が0でないので直線です。垂直条件を解きます。

4・6 + 3k = 0
24 + 3k = 0
k = -8

k = -8 を戻すと、係数の積の和は 4・6 + 3・(-8) = 0 です。よって答えは k = -8 です。

3

求める直線は向きが同じなので 2x − 5y + c = 0 と置けます。指定点を代入します。

2・2 - 5・(-3) + c = 0
19 + c = 0
c = -19

答えは 2x − 5y − 19 = 0 です。点 (2, -3) を代入すると 4 + 15 − 19 = 0 です。与えられた直線と定数項が異なるため、一致せず平行です。

4

x = 3 は縦の直線です。これに垂直な直線は横で、点 (-1, 4) を通るので y − 4 = 0 です。係数の積の和は 1・0 + 0・1 = 0 で、指定点を代入しても 4 − 4 = 0 です。傾きのない直線を係数で扱えました。

5

u = 2 では左辺が1となり、1 = 0 は直線ではありません。u ≠ 2 では係数の組が (u − 2)(1, 2) なので、向きは同じです。一致するには定数項についても次が必要です。

1 = -3(u - 2)
1 = -3u + 6
3u = 5
u = 5/3

u = 5/3 では式全体が x + 2y − 3 = 0 の -1/3 倍となり、一致します。それ以外で u ≠ 2 なら直線が存在し、定数項が対応しないため平行です。答えは u ≠ 2 かつ u ≠ 5/3 です。この2値はそれぞれ直線でない場合と一致する場合として除かれます。

練習5では、向きの条件が成り立つ値を調べるだけでは不足します。直線が消える値と重なる値を別々に戻して調べると、除く理由が混ざりません。残る値では係数が零でなく、定数項も一致条件を満たさないことまで確認します。

要点を短く

直線の係数が同時に0でないことを先に確かめます。 向きが同じ条件は ae − bd = 0、垂直条件は ad + be = 0 です。 向きが同じときは定数項まで比較して一致と平行を分けます。 傾きがない縦の直線にも係数の条件を使えます。

どこで止まったかを確かめる

「縦の直線には傾きがない」と言えた後で判定が止まるなら、x = p を x − p = 0 と書き、係数を読み取れるかを確かめます。式の形を変えても同じ点の集合を表していることを、点の代入で確かめると次の計算につながります。

文字の問題で条件式は解けても答えが合わない場合は、得た値を元の2式に戻し、係数が同時に消えないか、式全体が同じ倍率にならないかを順に尋ねます。個別指導では、その値を除く理由を式で説明できるかを見ます。二直線の関係は、向きと一致の両方を確かめて決まります。