高校数学II 恒等式への数値代入—消える因子を選び係数比較と組み合わせる｜武蔵野個別指導塾

消える因子から係数を求め、条件不足と代入後の検証まで考える鍵は数値代入です。

よくあるのは、高2の高校生が代入で係数を求め、元の恒等式に戻さずに答案を終える場面です。選んだ値では左右が一致しても、別の値で一致するとは限りません。代入は候補を絞る道具であり、候補がどの値でも通用するかは別に確かめます。消える項を利用して計算を短くし、最後の確認までつなげましょう。

数学IIの式と証明では、整式を使う等式の論証を扱います。ここでは1文字の整式の恒等式を対象にし、数値代入と係数比較を使います。

どの値を入れると手がかりになるか

出方の1つは、右辺がいくつかの因子の積で書かれ、未知数を含む項を消せる型です。例えば (x − 2) を含む項は x = 2 で消えます。残った項が1つなら、その項の係数を直接求められます。符号に注意し、消えなかった因子にも同じ値を代入します。

もう1つは、都合のよい値を入れても未知数が残る型です。異なる値を追加して連立する方法と、最高次や定数項の係数を比較する方法があります。どちらが短いかは式の形次第です。未知数の個数だけ式を書いても、それらが互いに同じ内容なら決まりません。独立した条件が足りているかを確かめます。

さらに、与えられた形そのものが恒等式にならない型もあります。いくつかの値から候補が出ても、残った係数が一致しなければ答えはありません。候補を得る段階と、候補が条件を満たす段階を分けると、この失敗を見落としにくくなります。

恒等式から得られる条件と逆向きの確認

文字 x の許されるすべての値について成り立つ等式を、x についての恒等式といいます。整式では実数 x のどの値でも代入できます。一方、特定の x でのみ成り立つ等式は、その値を探す方程式です。恒等式の未知係数は、x を変えても一定の数として扱います。

図1のように、まず因子が零になる値を探します。恒等式ならその値でも必ず等しいため、代入して得た式は係数が満たす必要条件です。ただし、有限個の値で等しいことだけから恒等式とは断定できません。例えば x(x − 1) は x = 0 と x = 1 で零ですが、x = 2 では零でないからです。

図1の矢印の先で得た候補は、元の両辺を展開して同じ次数の係数を比べるなどして確認します。整式の恒等式では、左右の対応する係数がすべて等しいことが必要十分です。片方に欠けた次数は係数を 0 として扱います。代入で連立方程式を作るときも、最後は元の式で確かめれば、計算違いや条件不足が見つかります。

たとえば2つの未知数について A + B = 3 と 2A + 2B = 6 を得ても、後者は前者の2倍です。A と B は1組に決まりません。未知数が2個だから式を2行書けばよい、と行数だけで判断しないでください。片方から他方を導けない条件が必要です。

基本例題：2つの因子を順に消す

すべての実数 x について次の等式が成り立つ整数の組 (A, B) があるか調べてください。ある場合はその組を求め、ない場合は理由を示してください。

3x + 1 = A(x - 1) + B(x + 2)

まず x = 1 とすると A を含む項が消えます。残る x + 2 にも 1 を入れます。

3・1 + 1 = A・0 + B・3
4 = 3B
B = 4/3

ここで整数を求める指定に反して分数が出ました。これは問題の条件と解の形が両立しないことを示します。整数の組は存在しません。分数を途中で整数に丸めると恒等式を壊します。実数まで範囲を広げた候補も調べると、x = -2 から次を得ます。

3・(-2) + 1 = A・(-3) + B・0
-5 = -3A
A = 5/3

図2のように、各代入で消える項と残る項を分けます。元の右辺に戻せば、候補が実数としては成立することも確認できます。

(5/3)(x - 1) + (4/3)(x + 2)
= (5/3)x - 5/3 + (4/3)x + 8/3
= 3x + 1

図2の2回の代入はそれぞれ異なる係数を決めます。実数解は A = 5/3、B = 4/3 ですが、求められた整数の組はありません。答えの形式を問題に合わせる確認は、計算の正しさと同じくらい必要です。

標準例題：2回の代入と残る1条件

すべての実数 x について次が成り立つように、実数 A、B、C を分数または整数で求めてください。

2x² + 5x + 4 = A(x - 1)(x + 2) + B(x - 1) + C(x + 2)

x = 1 は A と B の項を消し、x = -2 は A と C の項を消します。それぞれ代入します。

2 + 5 + 4 = 0 + 0 + 3C
11 = 3C
C = 11/3

8 - 10 + 4 = 0 - 3B + 0
2 = -3B
B = -2/3

この2条件からは A が決まりません。両辺の x² の係数を見ると、右辺で二次の項を生むのは A の項です。そこで係数比較を1つ使います。

2 = A

候補を元の右辺に入れて展開します。

2(x - 1)(x + 2) - (2/3)(x - 1) + (11/3)(x + 2)
= 2x² + 2x - 4 - (2/3)x + 2/3 + (11/3)x + 22/3
= 2x² + 5x + 4

左右が一致するので、A = 2、B = -2/3、C = 11/3 です。2つの代入だけで終えると A が残るため、条件が不足したままです。逆に最初から全項を展開して3本の係数の式を作る方法もありますが、この形なら因子を零にする2つの値が計算を短くします。

別の方法として x = 0 を追加しても A が決まります。その場合は 4 = -2A − B + 2C に先の B、C を入れます。追加の代入は未知数を消せなくても、新しい条件を与えれば役立ちます。ただし、代入した3点での一致だけを根拠にせず、最後の展開まで書きます。

発展例題：候補が存在しても成立するとは限らない

実数定数 A、B、C について、次がすべての実数 x で成り立つか調べてください。成り立つ組があれば整数で示し、なければその理由を述べます。

x³ + 2x² + 4x + 5 = A(x - 1)(x + 1) + B(x - 1) + C(x + 1)

右辺の最高次数は2以下です。この時点で左辺の x³ の係数 1 と右辺の 0 が一致しないので、成り立つ組はありません。それでも代入だけを続けると何が起きるか見てみます。

x = 1 のとき
1 + 2 + 4 + 5 = 2C
12 = 2C
C = 6

x = -1 のとき
-1 + 2 - 4 + 5 = -2B
2 = -2B
B = -1

さらに x = 0 を使うと、次の候補が出ます。

5 = -A - B + C
5 = -A + 1 + 6
A = 2

3つの値から A = 2、B = -1、C = 6 という候補を得ました。しかし右辺へ戻すと、左辺との違いが残ります。

2(x - 1)(x + 1) - (x - 1) + 6(x + 1)
= 2x² - 2 - x + 1 + 6x + 6
= 2x² + 5x + 5

左辺との差は x³ − x です。これは x = 0、1、-1 では零ですが、例えば x = 2 では 6 です。実際、左辺は 29、右辺は 23 で一致しません。3点で作った条件を満たしても、元の恒等式は成立しないという反例です。次数を先に見れば、この例では代入する前に不可能と判断できます。

誤答を直す：代入で消えた項を忘れたままにしない

発展例題で「3回代入して A = 2、B = -1、C = 6 だから答え」とするのが誤答です。原因は、代入で得た必要条件を、元の式がすべての値で成り立つための十分な確認と取り違えたことにあります。選んだ値で零になる差が隠れていることがあります。

図3のように、候補を元の両辺へ戻し、係数が一致するか調べます。この例では x³ の係数が左辺では 1、右辺では 0 です。したがって候補は不適で、条件を満たす組はありません。候補を出した後に不一致が見つかった場合は、無理に係数を修正するのではなく、必要条件から他の組があり得るかも確認します。ここでは次数の違いにより、どの組でも不可能です。

反対に、計算途中で矛盾が出た場合も、すぐ元の等式が不可能だと決める前に符号を点検します。特に x = -1 の代入では、x − 1 は -2 です。図3の確認は、候補を採用する場合にも捨てる場合にも使えます。

練習：代入値と確認の仕方を選ぶ

問題を先に5問解き、答えは整数または分数で示してください。各問の文字は実数定数とし、等式はすべての実数 x について成り立つものとします。成り立つ組がなければ、その理由を示してください。

1. 4x − 3 = A(x − 2) + B(x + 1) の A、B を求めます。
2. x² + 3x + 3 = A(x − 2)(x + 1) + B(x − 2) + C(x + 1) の A、B、C を求めます。
3. 2x² − x + 4 = A(x − 3) + B(x + 2) が成り立つ A、B を調べます。
4. x² + 2x + 5 = A(x − 1)² + B(x − 1) + C の A、B、C を求めます。
5. 3x² − 2x + 1 = A(x + 2)² + B(x + 2) + C の A、B、C を求めます。

解答と解き方

1. x = 2、x = -1 を順に代入します。

5 = 3B
B = 5/3
-7 = -3A
A = 7/3

右辺に戻すと (7/3)(x − 2) + (5/3)(x + 1) = 4x − 3 です。よって A = 7/3、B = 5/3 です。各値を元の等式へ戻すと、x = 2 では両辺 5、x = -1 では両辺 -7 です。

2. x = 2 と x = -1 を代入し、二次の係数を比べます。

13 = 3C
C = 13/3
1 = -3B
B = -1/3
A = 1

元の右辺は (x − 2)(x + 1) − (1/3)(x − 2) + (13/3)(x + 1) = x² + 3x + 3 です。したがって A = 1、B = -1/3、C = 13/3 です。代入した2点でも左辺と右辺はそれぞれ 13、1 に戻ります。

3. 右辺は高々一次式なので、x² の係数は 0 です。左辺の係数 2 とは一致しません。よって求める組はありません。例えば x = 3 と x = -2 からはそれぞれ B = 19/5、A = -14/5 を得ますが、これらを元の式に入れて x = 0 を試すと右辺は 16、左辺は 4 で一致しません。2点を通す候補があっても恒等式にはなりません。

4. x = 1 で C が決まり、二次の係数から A が決まります。

1 + 2 + 5 = C
C = 8
A = 1

x = 0 を代入して B を求めます。

5 = A - B + C
5 = 1 - B + 8
B = 4

右辺は (x − 1)² + 4(x − 1) + 8 = x² + 2x + 5 です。したがって A = 1、B = 4、C = 8 です。重なった因子では零になる値が1つなので、別の条件を補います。

5. x = -2 と二次の係数を使い、さらに x = 0 を代入します。

12 + 4 + 1 = C
C = 17
A = 3
1 = 4A + 2B + C
1 = 12 + 2B + 17
B = -14

元の右辺は 3(x + 2)² − 14(x + 2) + 17 = 3x² − 2x + 1 です。よって A = 3、B = -14、C = 17 です。x = -2 では両辺 17、x = 0 では両辺 1 に戻ります。

代入値を選ぶ前の点検

式の形を見てから代入値を選ぶと、計算量を減らせます。複数の項に同じ因子があれば、その因子を零にする値で同時に消せます。一方、すべての項が消えて 0 = 0 となる値は、矛盾を示さないものの係数を決める新しい情報を与えません。未知数を含む式が残る値を選び直します。

分数が出たときは分母を払って連立してもかまいませんが、途中で丸めずに最後まで正確に扱います。候補を代入した後の展開で係数がずれたら、まず代入時の負号と、括弧の外の係数を各項に掛けたかを点検します。条件が足りない場合と、計算が間違った場合では修正の仕方が異なります。

手元に残す要点

• 因子を零にする値を選び、残る項にも代入します。
• 得た条件が未知数を決めるのに足りるか調べます。
• 係数比較や別の値で不足分を補います。
• 候補を元の等式に戻し、全次数の係数を照合します。
• 次数や係数が一致しなければ、成立する組はありません。

つまずきを見分ける問い

答案に代入結果だけが並ぶときは、「その値以外でも等しい理由は何ですか」と尋ねると、候補と確認を区別できているか見えます。元の右辺を展開し、欠けた次数を 0 として左辺と並べられれば、確認の道筋が立っています。

個別指導では、因子を指しながら「この値でどの項が残りますか」と言葉にしてもらい、残った項の符号まで式に書いて確かめます。条件が不足するときは、未知数と独立な条件の数を照らし、もう1つの代入か係数比較を選びます。候補を元の式に戻す一手が、恒等式への数値代入を最後まで成立させます。