高校数学II 二項定理の係数—二つの指数の増減から定数項の有無を判断する｜武蔵野個別指導塾

逆数を含む展開で整数条件と符号を調べ、定数項の有無を見極める二項定理の係数です。

よくあるのは、高2の高校生が逆数を含む式を展開し、x の指数を零にする計算を途中まで進めたものの、出てきた選択回数が整数か確かめずに係数を求めようとする場面です。例えば「3/2回選ぶ」となったところで計算を続けても、実際の積の中にその選び方はありません。指数の式を解いた後に、回数として実現するかどうかを調べる一手が必要です。

逆数を含む二項式でも、各因子からの選び方を数える考え方が係数の計算につながります。ここでは x とその逆数を含む積の特定の項に焦点を当て、係数の和や一般の分数式の計算には広げません。逆数を含むので、以下では x ≠ 0 とします。

指数の問いを3つに分ける

第1の型は定数項を求める問いです。x の指数が 0 となる選び方を探します。係数を計算する前に、回数が整数で、積の因子の個数を超えないか確かめます。条件を満たす回数がなければ、定数項は存在せず、その係数は 0 です。

第2の型は x² や x⁻¹ など、指定された指数の項の係数を求める問いです。定数項と同じ方法で、指数を 0 ではなく指定値に等しくします。負の指数もあり得るため、展開式を整式と決めつけずに扱います。

第3の型は複数の積を加えた式で係数を求める問いです。それぞれの積で目標の指数に達する回数を調べ、存在する項の係数を符号を含めて足します。片方に項がない場合や、両方にあって互いに打ち消す場合も区別します。

選択回数が指数を動かす

非負整数 n に対し、(A + B)ⁿ は n 個の同じ因子の積です。各因子から A または B を1つ選びます。B を k 個の因子から選ぶと、残りの n − k 個からは A を選ぶので、その積は A の n − k 乗と B の k 乗の積です。選ぶ位置の数を組合せ nCk と書くと、同じ積が nCk 個あります。

ここで k は 0 以上 n 以下の整数です。nCk はその条件で定義される選び方の数で、たとえば 5C2 = 5・4/(2・1) = 10 です。回数を表す k が分数になった場合、組合せにその値を入れるのではなく、その指数の項がないと判断します。

A = axᵖ、B = bx⁻ᑫ とします。a、b は零でない数、p、q は正の整数です。B を k 回選んだ項は次の形になります。

nCk・(axᵖ) の n - k 乗・(bx⁻ᑫ) の k 乗
= nCk・a の n - k 乗・b の k 乗・x の {p(n - k) - qk} 乗

指数は p(n − k) − qk = pn − (p + q)k です。k を1増やすと、正の指数側から1個減り、負の指数側から1個増えるため、指数全体は p + q ずつ減ります。図1のように、目的の指数に達する回数を求めてから、その回数が選択可能か調べます。

図1は、回数を1増やすたびに指数が p + q 減る対応を表します。目的が定数項なら pn − (p + q)k = 0 を解きます。係数を求める前に 0 ≤ k ≤ n と整数の2条件を照合し、満たす場合だけ組合せと数の累乗を計算します。

また p + q は正なので、異なる k から同じ指数は生じません。この形の1つの積の中では、目的の指数に対応する項は高々1つです。一方、複数の積を足すと同じ指数の項が別々の積から現れることがあり、それらの係数は合算します。

基本例題：負の数を含む定数項

問題：x ≠ 0 とします。(2x² − 1/x)⁶ の展開における定数項とその係数を求めてください。

-1/x を k 回選ぶと、2x² を 6 − k 回選びます。選び方は 0 ≤ k ≤ 6 の整数です。指数を先に整理すると、図2のように k が1増えるごとに3ずつ減ります。

図2の指数の並びでは、k = 4 のときに 0 になります。式でも同じ回数を確かめます。

x の指数 = 2(6 - k) - k
= 12 - 3k
12 - 3k = 0
k = 4

4 は整数で、0 以上 6 以下です。したがって実際にこの選び方があり、その項は次のように求まります。

6C4・(2x²)²・(-1/x)⁴
= 15・4x⁴・1/x⁴
= 60

答えは定数項 60、係数も 60 です。元の6個の因子に戻すと、2x² を2回、-1/x を4回選んでいます。指数は 2・2 − 4 = 0、数の部分は 2²・(-1)⁴ = 4、選び方は 6C4 = 15 なので、60 と照合できます。

この問題では負の項を4回選ぶので符号は正です。仮に3回選ぶ場面なら数の部分の符号は負になります。組合せは選び方の個数であり、負の符号を引き受けません。符号は選んだ項そのものの累乗から決めます。

標準例題：指定した負の指数

問題：x ≠ 0 とします。(3x − 2/x²)⁷ の展開における x⁻² の項の係数を求めてください。

-2/x² を k 回選ぶと、3x は 7 − k 回選びます。0 ≤ k ≤ 7 の整数という条件を置き、指数を指定値 -2 に合わせます。

x の指数 = (7 - k) - 2k
= 7 - 3k
7 - 3k = -2
3k = 9
k = 3

3 は選択可能です。数の部分と選び方を合わせると、次のとおりです。

7C3・(3x)⁴・(-2/x²)³
= 35・81x⁴・(-8/x⁶)
= -22680x⁻²

求める係数は -22680 です。元の積で3回逆数の項を選ぶと、残り4回は 3x です。指数は 4 − 6 = -2、符号は負、選び方は 7・6・5/(3・2・1) = 35 と戻して確かめられます。

同じ式で定数項を調べるなら 7 − 3k = 0 なので k = 7/3 です。これは整数ではありません。よって定数項はありません。指数の値は 7, 4, 1, -2 と3ずつ減り、0 を飛び越えることからも判断できます。指定した負の指数の項があることと、定数項があることは別の問いです。

発展例題：2つの積から同じ指数を集める

問題：x ≠ 0 とします。(x² + 2/x)⁶ − (2x + 1/x²)⁶ の展開における定数項の係数を求めてください。

まず前の積で 2/x を k 回選びます。選択回数は 0 以上 6 以下の整数です。

x の指数 = 2(6 - k) - k
= 12 - 3k
12 - 3k = 0
k = 4

4 は条件に合うので、前の積の定数項は次のとおりです。

6C4・(x²)²・(2/x)⁴
= 15・x⁴・16/x⁴
= 240

次に後ろの積で 1/x² を j 回選びます。j は 0 以上 6 以下の整数です。

x の指数 = (6 - j) - 2j
= 6 - 3j
6 - 3j = 0
j = 2

2 も条件に合います。後ろの積の定数項を求めてから、積全体の前にある引き算を反映します。

6C2・(2x)⁴・(1/x²)²
= 15・16x⁴・1/x⁴
= 240
240 - 240 = 0

答えは 0 です。前の積では正の指数の項を2回、逆数の項を4回選び、指数は 4 − 4 = 0 です。後ろの積では正の指数の項を4回、逆数の項を2回選び、指数は 4 − 4 = 0 です。どちらも実際に定数項を作りますが、係数が引き算で打ち消し合います。

この結果と、選択回数が整数にならず初めから定数項が現れない場合は、過程が違います。係数が 0 であるという結論は同じでも、複数の積では各部分を調べて合算する必要があります。指数の式を1本にまとめようとせず、積ごとに別の回数を置くと引き算の位置も見失いにくくなります。

係数と項を言い分ける

指定された項を答えるときは、係数に x の指定された累乗まで付けます。係数だけを聞かれたときは、その数の部分を答えます。たとえば標準例題では項が -22680x⁻²、係数が -22680 です。定数項は x の 0 乗が 1 なので、項と係数が同じ数になります。問いの言葉を見落とすと、計算が合っていても答えの形が変わってしまいます。

指数の並びを使う方法は、方程式の答えを検査する道具にもなります。最初の指数 pn と最後の指数 -qn を書き、隣同士の差が -(p + q) であることを確かめます。目的の指数が両端の外にあれば範囲外、両端の間でも列に載らなければ整数の選択回数がありません。列を全部書くのが長い場合は方程式を解き、その解を整数と範囲の条件に戻す方法が便利です。

数の因子が負の場合、指数の条件と符号の判定は別々です。まず文字の指数だけで選択回数を決め、次に負の数の累乗を計算します。負の項を奇数回選べば負、偶数回選べば正です。複数の積を引く場合はさらに、各積の係数に外側の符号を反映してから足し合わせます。

誤答を指数の列に戻す

誤答の例として、(x² + 1/x²)³ に定数項があると決め、選択回数を 3/2 としたまま組合せを計算しようとする方法を考えます。1/x² を k 回選んだときの指数は 6 − 4k です。確かに指数を 0 と置くと k = 3/2 ですが、3個の因子から1個半を選ぶことはできません。

図3のように、可能な k は 0, 1, 2, 3 です。それぞれの指数は 6, 2, -2, -6 となり、0 は現れません。

図3では 2 から -2 へ移る間に 0 を通りますが、途中の指数の項が存在することを意味しません。修正した答えは、定数項なし、その係数は 0 です。分数の回数を無理に四捨五入しても指数は 0 に戻らないため、整数の範囲を最初に書いてから方程式の解を照合します。

別の誤りは、回数が整数なら範囲を調べなくてよいとすることです。たとえば3個の因子から4回選ぶこともできません。目標指数が離れていると、方程式の解が負や因子の個数より大きい整数になることもあります。整数性と範囲は別々に確認します。

自分で試す5問

いずれも x ≠ 0 とします。係数は整数で答え、定数項が存在しない場合はその旨と係数を記してください。

1. (x + 3/x)⁴ の定数項とその係数を求めてください。
2. (2x² − 1/x)⁵ の x³ の項の係数を求めてください。
3. (x³ + 2/x)⁶ の定数項の有無と係数を求めてください。
4. (x − 2/x²)⁵ の x⁻⁴ の項の係数を求めてください。
5. (x + 1/x)⁴ + (x² − 1/x)³ の定数項の係数を求めてください。

5問の答えと考え方

1. 3/x を k 回選ぶと、指数は (4 − k) − k = 4 − 2k です。4 − 2k = 0 より k = 2 で、整数の範囲に入ります。

4C2・x²・(3/x)²
= 6・9
= 54

定数項と係数はともに 54 です。x を2回、3/x を2回選ぶと指数は 2 − 2 = 0、数の部分は9、選び方は6通りと元の積に戻せます。

2. -1/x を k 回選ぶと指数は 2(5 − k) − k = 10 − 3k です。10 − 3k = 3 より k = 7/3 で、整数ではありません。したがって x³ の項はなく、係数は 0 です。可能な指数は 10, 7, 4, 1, -2, -5 であり、3 が含まれないことでも照合できます。

3. 2/x を k 回選ぶと指数は 3(6 − k) − k = 18 − 4k です。18 − 4k = 0 より k = 9/2 です。整数でないため定数項はなく、係数は 0 です。隣り合う k = 4 と 5 の指数はそれぞれ 2 と -2 で、どの選択回数でも 0 に達しません。

4. -2/x² を k 回選ぶと指数は (5 − k) − 2k = 5 − 3k です。5 − 3k = -4 より k = 3 で、範囲内の整数です。

5C3・x²・(-2/x²)³
= 10・(-8)x⁻⁴
= -80x⁻⁴

係数は -80 です。元の5個の因子のうち2個から x、3個から -2/x² を選ぶので、指数は 2 − 6 = -4、符号は負と確かめられます。

5. 前の積で 1/x を k 回選ぶと指数は 4 − 2k です。0 と置けば k = 2 なので、定数項は 4C2 = 6 です。後ろの積で -1/x を j 回選ぶと指数は 6 − 3j です。0 と置けば j = 2 です。

3C2・x²・(-1/x)²
= 3
6 + 3 = 9

係数は 9 です。前の積では x と 1/x を2回ずつ、後ろの積では x² を1回、-1/x を2回選びます。各指数はともに 0 で、後ろの負号は2乗で正です。2つの定数項を加える元の式へ戻すと 6 + 3 です。

手元に残す要点

• 逆数を含む式では x ≠ 0 を置き、選択回数の整数範囲を書く。
• 指数を選択回数の式にし、目的の指数に等しいと置く。
• 解が範囲内の整数でなければ、その積に目的の項はない。
• 項があれば組合せ、数の累乗、符号を掛け、複数の積なら係数を合算する。

つまずきの場所を見分ける

指数の式が立たないときは、1個の因子で何を選ぶかを口に出してみてください。「逆数を k 回選んだら、もう一方は何回か」と尋ねられて n − k と答えられるかが最初の目印です。続けて、各側が指数に与える量を別々に書くと、負の指数の符号を点検できます。

指数の方程式は解けるのに答えが合わないときは、解が整数か、0 以上 n 以下か、その後に数の部分を何乗したかを順に見ます。個別指導で途中式を確かめるなら、「この回数は実際に選べるか」「負の項を何回掛けるか」と説明してもらうと、回数と符号のどちらで止まっているかを区別できます。選択できる回数の列に目的の指数を戻せば、係数の有無まで判断できます。