高校数学II 二項定理の一般項—選ぶ回数と指数を対応させ指定した項を探す｜武蔵野個別指導塾

第3項で後ろを選ぶ回数が2回になる理由を押さえ、指定された指数に対応する一般項と、係数を決める整数条件を整理します。

よくあるのは、高2の高校生が二項式の展開で第何項かを読み、その番号をそのまま後ろの項を選ぶ回数にしてしまう場面です。最初の項でも、後ろの項を選ぶ回数は0回です。このずれを残したまま係数を計算すると、計算自体が正しくても隣の項を答えてしまいます。括弧を何個並べ、どちらを何回選んだのかに戻ると、番号と指数を結び直せます。

二項定理は数学IIの式の計算で扱う用語です。ここでは非負整数乗の展開について、一般項と指定した項の対応を扱います。逆数を含む式の定数項や、二項係数の和の詳しい処理には立ち入りません。

問いの形を見分ける

第4項のように順番が与えられたら、まず後ろの項を選ぶ回数を3回にします。次に前の項を選ぶ回数を、全体の括弧の個数から引いて求めます。順番の指定と選択回数を分けて書けば、公式に入れる数が明確です。

一方、x の何乗を含む項かが指定される場合は、一般項の x の指数を選択回数で表し、指定された指数と等しく置きます。得られた回数が整数で、0以上かつ括弧の個数以下であることも必要です。例えば式の上では回数が分数になる場合、その項はありません。無理に近い整数へ丸めてはいけません。

さらに、項の係数に文字があり、その値を決める問いもあります。符号を含めて一般項を作り、条件に合う項の係数を取り出します。文字について得た候補は元の項に戻して調べます。選ぶ回数の条件を満たさない段階では、係数の計算に進めないことにも注意します。

何を何回選ぶか

n を0以上の整数とします。(a + b)ⁿ は、n が正のとき、a + b を n 個掛けた積です。各括弧から a か b を1つ選んで掛けたものを、選び方ごとに足すと展開が得られます。b を r 回選ぶなら a は n − r 回です。r は0以上 n 以下の整数であり、その選び方は n 個の場所から r 個を選ぶ組合せの数 nCr 通りです。

したがって、b を r 回選んでできる項は次の形です。nCr は組合せを表し、nC0 = 1、nCn = 1 です。

nCr・aⁿ⁻ʳ・bʳ

この式は r = 0, 1, 2, …, n の順に並べたときの第 r + 1 項です。r = 0 の項が第1項なので、選択回数と項番号は一致しません。n = 0 のときも (a + b)⁰ = 1 とし、r = 0 の1項として扱います。a や b が式なら、べき乗はその式全体にかかります。

図1のように、選ぶ回数が1増えるごとに前の項の指数は1減り、後ろの項の指数は1増えます。項番号は選ぶ回数に1を足した数です。

図1の対応は、前の項から順に並べたときのものです。a と b がどちらも x を含む場合、選び方の異なる項が同じ x の次数になることもあります。その場合は同類項をまとめて係数を考えます。一般項の並びの第何項かと、整理後の多項式の項数は区別します。

負の数を含むときは符号も選んだ式の一部です。例えば後ろが -2y なら、r 回選ぶ部分は (-2y) の r 乗です。r が奇数なら負、偶数なら正になります。係数の数字だけを先に掛け、最後に符号を勘でつける方法では誤りを見落としやすくなります。

端の項と零を含む場合

一般項を使う前に、求める順番が存在するかも確認します。n が正のとき、選択回数は0から n までなので、並びの番号は第1項から第 n + 1 項までです。例えば4乗の並びで第6項を指定されたら、後ろを5回選ぶ必要があります。しかし括弧は4個しかないので、その選択は実行できません。組合せの計算を始める前に、番号が範囲内か判断できます。

第1項と最後の項は点検の手がかりです。第1項では後ろを選ばず、前を n 回選びます。最後の第 n + 1 項では後ろを n 回選び、前を選びません。どちらも場所の選び方は1通りです。途中の項で前後の回数の合計が n にならないときは、指数か番号の転記を見直します。

ただし、文字を含む式に特定の値を代入すると、一般項の値が0になることがあります。0になった項は整理した結果に現れませんが、もとの選択の順番が変わるわけではありません。また、同じ文字の同じ次数が複数の選び方から生じるときは、それらを足した結果が0になる場合もあります。選択の一覧を調べることと、整理後の係数を求めることは別々に行います。

基本例題：順番から選択回数へ

(2x − 3)⁵ を、2x の指数が高い順に展開するとき、第3項を求めなさい。答えは整数係数の単項式で表します。

後ろの項は -3 です。第1項は後ろを0回、第2項は1回選ぶので、第3項では2回選びます。前の 2x は残りの3回です。5個の括弧から -3 を選ぶ2か所は 5C2 通りあり、5C2 = 5・4/(2・1) = 10 です。

第3項 = 5C2・(2x)³・(-3)²
       = 10・8x³・9
       = 720x³

図2のように、選ぶ回数を決めてから、それぞれの累乗と組合せを掛けます。(-3)² は正の9なので、この項は正です。5回の選択のうち2回が後ろ、3回が前で、合計が5回に戻ることも確かめられます。

別の確かめ方として、5個の括弧で -3 を選ぶ2か所を指定すると、1通りの積は 8x³・9 = 72x³ です。場所の組は10通りなので、合計は 720x³ です。第3項だから3回選ぶとすると x² の項に移ってしまい、指定された順番と一致しません。

標準例題：指数から回数を逆算する

(x² + 2x)⁶ の展開で、x⁹ を含む項を求めなさい。答えは整数係数の単項式で表します。

後ろの 2x を r 回選びます。r は0以上6以下の整数で、前の x² は 6 − r 回選びます。一般項と x の指数は次のように整理できます。

第 r + 1 項 = 6Cr・(x²)⁶⁻ʳ・(2x)ʳ
             = 6Cr・2ʳ・x¹²⁻²ʳ⁺ʳ
             = 6Cr・2ʳ・x¹²⁻ʳ

指数が9なので、12 − r = 9 を解くと r = 3 です。3は0以上6以下の整数ですから、選択回数として実現します。6C3 = 6・5・4/(3・2・1) = 20 を用います。

求める項 = 6C3・(x²)³・(2x)³
         = 20・x⁶・8x³
         = 160x⁹

元の選択に戻すと、x² を3回、2x を3回選び、指数の合計は 2・3 + 3 = 9 です。1通りの数の部分は8で、20通りを足すと160になります。r と指数の関係が 12 − r なので、異なる回数が同じ指数9を生むことはありません。

たとえば同じ展開で x¹³ を探すと、12 − r = 13 から r = -1 です。負の回数は選べないため、その項はありません。式を解いて数が出ることと、実際に選べることは別の条件です。端では r = 0 が x¹²、r = 6 が x⁶ に対応します。

発展例題：係数の条件まで戻す

整数 a について、(x + a)⁷ を x の指数が高い順に展開したとき、第3項の係数が63となるような a をすべて求めなさい。該当する整数がなければ、そのことを答えなさい。

第3項なので、後ろの a を選ぶ回数は2です。残る5個の括弧から x を選びます。係数の条件を作る前に、項そのものを示します。

第3項 = 7C2・x⁵・a²
       = 21a²x⁵

この項の係数は 21a² です。条件を使うと次のようになります。

21a² = 63
a² = 3
a = √3 または -√3

この問題の条件に合う整数 a はありません。実数の候補は √3 と -√3 ですが、どちらも整数ではないからです。係数が正だから a も正とは限りません。2回選ぶため、負の a でもその積は正になります。

候補を元の展開の第3項へ戻すと、どちらも a² = 3 なので 21・3x⁵ = 63x⁵ です。よって係数条件は満たしますが、整数という条件は満たしません。問題の条件に整数であることを加えた問いなら、答えは「該当する整数はない」です。実数 a の値を問う場合は、根号を含む2つを答えます。

このように、文字を含む項の係数を求めた後は、文字の範囲と答えの形式を照合します。式の候補を途中で捨てず、何の条件に合わないのかを言葉で区別すると、解の存在と表記の制限を混同しません。

ずれた答えを直す

基本例題の第3項について、誤って後ろの -3 を3回選ぶと、次の式になります。

5C3・(2x)²・(-3)³ = -1080x²

計算の積自体は正しいものの、これは第4項です。図3のように、0回から第1項が始まることを数え直せば、3回は第4項に対応すると気づけます。誤りの原因は符号ではなく、項番号を選択回数に直接入れたことです。

修正するときは、第3項の「3」から1を引いて r = 2 と書きます。前の項は5 − 2 = 3回、後ろは2回で、正しい項は 720x³ です。図3の順に番号と回数を対応させ、次に指数の合計と符号を確認すると、途中でどこが食い違ったかを特定できます。

別の失敗は、指数の方程式に整数でない解が出たとき、その数をそのまま組合せに入れることです。選択は括弧の個数を数える操作なので、半回はありません。また、整数でも負や n を超える値は使えません。存在しない項の係数を求める場合は、展開した多項式でその次数の係数が0だと答えられますが、存在する一般項の番号を作ることはできません。

練習：先に5問を解く

1. (x + 4)⁴ を x の指数が高い順に並べたとき、第2項を整数係数の単項式で求めなさい。
2. (3x − 1)⁶ を x の指数が高い順に並べたとき、第4項を整数係数の単項式で求めなさい。
3. (x³ + x)⁵ の展開で x⁹ を含む項を整数係数の単項式で求めなさい。
4. (x³ + x)⁴ の展開で x⁷ を含む項があるか判定し、その理由を示しなさい。
5. 整数 b について、(x + b)⁶ の第3項の係数が60となる b をすべて整数で求めなさい。

解答と考え方

1. 第2項では後ろの4を1回選びます。前の x は3回です。

第2項 = 4C1・x³・4
       = 4・x³・4
       = 16x³

4個の括弧のうち1か所で4、残り3か所で x を選ぶ積は 4x³ です。その場所は4通りなので、答えを元の選択に戻しても 16x³ になります。

2. 第4項は後ろを3回、前を3回選びます。負の1を奇数回掛けるため、項の符号は負です。

第4項 = 6C3・(3x)³・(-1)³
       = 20・27x³・(-1)
       = -540x³

3個ずつ選ぶので選択は合計6回です。1通りの積 -27x³ を20通り足すことでも答えに戻ります。

3. 後ろの x を r 回選ぶと、一般項は 5Cr・(x³)⁵⁻ʳ・xʳ です。x の指数を指定値に合わせます。

3(5 - r) + r = 9
15 - 2r = 9
r = 3

3は0以上5以下の整数です。前を2回、後ろを3回選ぶと指数は 3・2 + 3 = 9 になります。

求める項 = 5C3・(x³)²・x³
         = 10x⁹

4. 後ろの x を r 回選ぶと指数は 3(4 − r) + r = 12 − 2r です。指定の7と等しく置くと r = 5/2 となり、整数回の選択ではありません。したがって x⁷ を含む項はありません。実際、r = 0, 1, 2, 3, 4 に対応する指数は12, 10, 8, 6, 4です。

5. 第3項は後ろの b を2回選びます。前の x は4回です。

第3項 = 6C2・x⁴・b²
       = 15b²x⁴
15b² = 60
b² = 4
b = 2 または -2

どちらも整数です。元の係数に戻すと 15・2² = 60、15・(-2)² = 60 で、指定を満たします。二乗が4となる実数はこの2つなので、整数の候補もこれで尽くせます。

手元に残す要点

• 後ろの項を r 回選ぶと、前の項は n − r 回です。
• 一般項は nCr・aⁿ⁻ʳ・bʳ、順番は第 r + 1 項です。
• r は0以上 n 以下の整数で、指数から求めた後にも点検します。
• 負の項は符号を含めて累乗し、係数条件の候補は元の項に戻します。

つまずきを見分ける一言

個別指導で式を確認するなら、まず「第1項では後ろを何回選ぶか」と尋ねます。1回と答えた場合は、最初の項を実際に前の項ばかりの積として書き、0回から始める理由を確かめます。第何項かを先に固定し、次に選択回数を書く順序にすると、ずれを紙の上で追えます。

指数から回数を求められたのに答えが合わない場合は、「その回数だけ括弧から選べるか」と問い直します。分数や範囲外の値なら項がない理由を説明し、整数なら前後の選択回数と符号を元の積へ戻します。選択の記録が残れば、一般項の番号と係数の両方を確かめられます。