高校数学II 3次式の組合せ—共通のまとまりを探し因数分解の順序を決める｜武蔵野個別指導塾

三文字の三次式を因数分解するとき、2組から同じ括弧を取り出す方法や、逆向きの差の符号をそろえる過程を確かめます。

よくあるのは、高2の高校生が三文字の式を前にして、左から順に項をまとめ続け、共通因数を見失う場面です。最初の2項から何かをくくれても、残りの項に同じ括弧が現れなければ、そこで手が止まります。項の並び順は足し算の順序であって、組分けの指示ではありません。どの組から同じ括弧が出るかを先に見て、必要なら項を並べ替えます。

ここで扱うのは三文字を含む三次式の因数分解です。学習指導要領の数学IIには三次式の計算が含まれます。方程式の解を探す方法には進まず、式を積に直して展開で戻すところまで考えます。

項の並びより先に見るもの

問いの出方は大きく3つあります。1つ目は4項からなる式で、2項ずつ分けると同じ括弧が現れる型です。例えば ax + ay + bx + by なら、前半と後半をそれぞれ a、b でくくると、両方に x + y が残ります。文字が3つある三次式でも、括弧を1つの因数として見る点は同じです。

2つ目は、ある文字について整理してから組を作る型です。x² を含む項、x を含む項、x を含まない項に分けると、同じ二文字式が見えることがあります。ただし、同じ次数に分けるだけで積になるとは限りません。各組から取り出した後の括弧まで見比べます。

3つ目は、繰り返し現れる和や差を別の文字に置く型です。例えば x + y を A と置けば、A² や A に関する二次式として見通せることがあります。置換は新しい条件を付ける操作ではなく、元のまとまりの名前を短くする操作です。最後には A を元に戻し、さらに因数分解できるか調べます。

どの型でも、途中で同じ括弧が出なければその組分けはいったん保留します。無理に括弧を同じ形とみなすのではなく、項を別の相手と組ませるか、マイナスを含めてくくれるかを調べます。

括弧を因数として扱う

因数分解とは、和や差で表された式を、整式の積に直すことです。分配法則 A B + A C = A(B + C) を逆向きに使います。A が1文字である必要はなく、x + y のような整式でも同じです。図1のように、2組から同じ括弧が現れたら、その括弧をひとまとまりとして外に出します。

図1の A、B、C はそれぞれ整式を表します。A を割っているわけではないため、A が零になる場合も含めて等式は成り立ちます。例えば A = x + y で x = -y の場合にも、両辺は零です。零でないという条件を付け足す必要はありません。

差の向きには注意します。y − x は x − y と等しくありませんが、y − x = -(x − y) です。後者の形に直して符号を調整すれば、共通因数が現れることがあります。一方、括弧の中の一部だけを取り出すことはできません。x + y と x + z に共通して文字 x が見えても、それぞれを x でくくるには y や z も x を因数に持つ必要があります。

式全体の共通因数があれば、組分けの前に取り出すと計算が短くなります。次に、項の文字と次数を見て候補を作り、各組を括弧付きで書きます。括弧の一致を確認して初めて分配法則を逆に使います。最後は積を展開し、元の各項と符号に戻るかを点検します。これは数値を1つ代入する確認より強く、文字の値に関係なく等式が成り立つ根拠になります。

基本例題：2組に同じ和を作る

次の式を、整数係数の整式の積に因数分解してください。

x²y + xy² + 2xz + 2yz

4項に共通する文字はありません。左から2項ずつを組にすると、前半は xy、後半は 2z でくくれます。図2のように、どちらにも x + y が残ることを確かめて進みます。

x²y + xy² + 2xz + 2yz
= xy(x + y) + 2z(x + y)
= (x + y)(xy + 2z)

図2の中段の2式に共通する x + y を、下段では因数として外に出しています。最初の組から xy を取り出すと、x²y ÷ xy は x、xy² ÷ xy は y です。後の組も 2z を掛け戻して、2xz と 2yz の両方に戻ることを見ます。

答えを元に戻すと次のとおりです。

(x + y)(xy + 2z)
= x²y + 2xz + xy² + 2yz
= x²y + xy² + 2xz + 2yz

積の順序や和の項の順序が違っても、同じ式です。なお、ここでは三次の項と二次の項が混在しています。式の次数は、零でない項の次数のうち最大の3です。各項が必ず三次である必要はありません。

別の組を試しても構いません。x²y と 2xz を組にすると x(xy + 2z)、残りは y(xy + 2z) となり、同じ答えに届きます。組分けが複数あるときは、括弧を簡単に書けて符号を間違えにくい方を選べます。

標準例題：差の向きをそろえる

次の式を、整数係数の整式の積に因数分解してください。

x²y − x²z − 3yz + 3z²

前半は x²、後半は -3z でくくれます。後半を 3z でくくると -y + z となるため、前半の y − z と向きが逆です。負の因数を選ぶことで括弧の中をそろえます。

x²y - x²z - 3yz + 3z²
= x²(y - z) - 3z(y - z)
= (y - z)(x² - 3z)

掛け戻すと次のように元の4項に戻ります。

(y - z)(x² - 3z)
= x²y - 3yz - x²z + 3z²
= x²y - x²z - 3yz + 3z²

例えば後半を 3z(-y + z) と書いた場合も、-y + z = -(y − z) と直せば同じです。括弧の前の符号と中の符号を一緒に変えます。中身の符号だけを変えると式全体の値が変わります。

この例では x について整理する見方も有効です。x² の係数が y − z で、x を含まない部分も -3z(y − z) です。x の一次の項がないことは問題ではありません。欠けた項を無理に作らず、係数と定数部分の共通因数を探します。

発展例題：置換してから戻す

次の式を、整数係数の整式の積に因数分解してください。

x³ + 2x²y + xy² − 4xz² − 4yz²

最初の3項は x(x + y)² です。一方、後ろの2項は -4z²(x + y) とまとめられます。そこで和 x + y を先に作ります。

x³ + 2x²y + xy² - 4xz² - 4yz²
= x(x² + 2xy + y²) - 4z²(x + y)
= x(x + y)² - 4z²(x + y)

A = x + y と置くと、ここからの形は次のようになります。

xA² - 4z²A
= A(xA - 4z²)

A を戻して答えを得ます。

(x + y){x(x + y) - 4z²}
= (x + y)(x² + xy - 4z²)

置換したまま終了すると、元の文字での答えになりません。また、xA − 4z² を平方の差と見ることはできません。xA が整式の平方とは限らないためです。括弧の形が似ていても、公式を使う条件を先に確かめます。

展開して元の式へ戻します。

(x + y)(x² + xy - 4z²)
= x³ + x²y - 4xz² + x²y + xy² - 4yz²
= x³ + 2x²y + xy² - 4xz² - 4yz²

置換を使わず、x + y をそのままひとまとまりとしてくくっても同じです。長い式で見落としやすいときに名前を付け、戻す段階を明記すると計算の意味が追いやすくなります。組分けの前に全体を展開し直す方法もありますが、すでに見える平方と共通の和を利用すれば項を増やさずに済みます。

符号が合わないときの直し方

次の変形は誤りです。

x(a - b) + y(b - a)
= (a - b)(x + y)

原因は、b − a を a − b と同じものとして扱ったことです。図3のように順序を逆にするとマイナスが付くため、y の項の符号を変えてからくくります。

x(a - b) + y(b - a)
= x(a - b) - y(a - b)
= (a - b)(x - y)

図3の上段のように、差の順序を逆にすると括弧の前に負号が付きます。正しい積を展開すると xa − xb − ya + yb で、元の式に戻ります。誤った積は最後の2項が ya − yb となるので一致しません。具体的に a = 2、b = 1、x = 3、y = 4 とすると元の値は -1、誤った式は 7 です。1組の数値で誤りは発見できますが、正しさの証明には展開を使います。

別の失敗は、共通する括弧がまだないのにくくり始めることです。例えば p(q + r) + s(q − r) は、括弧の第2項の符号が異なります。p + s を外に出すことはできません。展開すれば pq + pr + sq − sr であり、(p + s)(q + r) では最後が +sr になるためです。式の一部が似ているだけなのか、括弧全体が一致しているのかを分けて見ます。

練習：組を自分で選ぶ

次の5問は、いずれも整数係数の整式の積に因数分解してください。途中の組分けか置換も書いてみましょう。

1. a²b + ab² + 5ac + 5bc
2. u²v − u²w + 4vw − 4w²
3. 2m²n + 2mn² − 6mp − 6np
4. r³ + 2r²s + rs² + 9rt + 9st
5. h³ − h²k − hj² + kj²

答えと道筋

1. 前の2項から ab、後ろから 5c を取り出します。

a²b + ab² + 5ac + 5bc
= ab(a + b) + 5c(a + b)
= (a + b)(ab + 5c)

この積を展開すると a²b + 5ac + ab² + 5bc で、与えられた4項へ戻ります。共通しているのは a + b 全体です。

2. 最初と後ろで v − w をそろえます。

u²v - u²w + 4vw - 4w²
= u²(v - w) + 4w(v - w)
= (v - w)(u² + 4w)

展開すると u²v − u²w + 4vw − 4w² です。最後の項が負になる点で符号を点検できます。

3. 最初に全項の共通因数 2 を取り出し、その後で組に分けます。

2m²n + 2mn² - 6mp - 6np
= 2(m²n + mn² - 3mp - 3np)
= 2{mn(m + n) - 3p(m + n)}
= 2(m + n)(mn - 3p)

右辺を展開すると 2m²n + 2mn² − 6mp − 6np です。2 を取り出さずに組分けしてもよいですが、最後に共通因数が残っていないか確認します。

4. 最初の3項を平方にまとめ、A = r + s と置きます。

r³ + 2r²s + rs² + 9rt + 9st
= r(r + s)² + 9t(r + s)
= rA² + 9tA
= A(rA + 9t)
= (r + s)(r² + rs + 9t)

元に戻して展開すると r³ + 2r²s + rs² + 9rt + 9st です。置換した A を答えに残さないようにします。

5. 前半と後半から h − k を作り、さらに平方の差を使います。

h³ - h²k - hj² + kj²
= h²(h - k) - j²(h - k)
= (h - k)(h² - j²)
= (h - k)(h - j)(h + j)

最後の2因子を掛けると h² − j² です。それに h − k を掛ければ h³ − h²k − hj² + kj² に戻ります。途中の積で止まると、整数係数の範囲でさらに分けられる因子が残ります。

組分けを選び直す目安

最初の組分けで括弧がそろわないことは、式に因数がない証拠ではありません。例えば x²a + x²b + ya + yb を x²a + ya と x²b + yb に分ければ、a(x² + y) + b(x² + y) です。元の順序どおりに前後を組にしても x²(a + b) + y(a + b) となり、いずれも (a + b)(x² + y) に至ります。各項を1回ずつ使っているかも確認すると、並べ替えの際の落とし忘れを防げます。

一方、組の一方から出る括弧が a + b、もう一方が a − b のとき、そのまま共通因数としては扱えません。符号を反転しても -a + b になり、a + b とは一致しないためです。組を入れ替えるか、別の共通因数があるか調べます。それでも見つからなければ、無理に公式を当てはめず、それまでの変形を展開して点検します。

置換では、同じまとまりを式の一部で異なる名前にしないことも重要です。例えば A = x + y と置いたとき、(x + y)² は A² ですが、x² + y² は A² ではありません。A² には 2xy が含まれるからです。置換後に元の式へ戻して一致するか確認すれば、この取り違えを発見できます。

手元に残す要点

• 共通の括弧が出るように項を組み替えます。
• 差の向きが逆なら負号を添えてそろえます。
• 置いた文字を元に戻し、残る因数も調べます。
• 最後に展開して元の項と符号を照合します。

手が止まった箇所を見つける

組を作れないときは、各項に含まれる文字に印を付け、2項からくくった後に何が残るか声に出してみます。「同じ文字がある」と言えても、残る括弧が違えば次には進めません。逆に括弧はそろっているのに答えが合わない場合は、くくった因数を各項に掛け戻して負号を調べます。

個別指導で確かめるなら、途中の式を隠さずに「この2組の括弧はどちらも何か」「置いた文字を戻すとどこが変わるか」と説明してみましょう。講師と元の式への展開を1項ずつ照合すれば、組の選択と符号のどちらでずれたかを特定できます。共通のまとまりを見つける目は、積から元の式へ戻す往復で育ちます。