高校数学II 3次式の展開—括弧のまとまりと符号から三乗の項をそろえる｜武蔵野個別指導塾

三乗の中間項が生まれる理由を選び方から確かめ、(x + y − 2)³ の展開では置換した括弧を戻す手順を追います。

よくあるのは、高2の高校生が括弧の中の各項をそれぞれ三乗し、間に生じる項を書かずに計算を終える場面です。例えば和の三乗は、同じ和を3回掛けた積です。どの括弧からどの項を選ぶかを追うと、両方の項が混ざった積も現れます。符号のついた項や複数の項をひとまとまりにする場合も、この見方から整理できます。

数学IIの三次式の計算のうち、ここでは和と差の三乗と置換による展開を扱います。一般の二項定理には進まず、3個の因子を直接掛ける理由を確かめます。

どこで判断が分かれるか

出方の1つは、2項の和や差をそのまま三乗する問題です。最初の項を A、次の項を B と見れば、A を3回選ぶ項から B を3回選ぶ項まで並べられます。係数が文字についている場合は、係数も一緒に三乗することが必要です。

もう1つは、括弧の中に3項以上ある問題です。2項の和を A と置き、残りを B と見てから公式を使えます。置き換えた A を戻した後にも展開が残るため、そこまで計算して同類項をまとめます。最初に何をひとまとまりにするかで途中式の長さが変わります。

さらに、三乗の式どうしを足したり引いたりする問題では、個々の展開に加えて、括弧の前の負号を配る操作が必要です。差の三乗の中の負号と、式全体を引く負号を別々に扱うと混乱を防げます。

三乗で選ぶ組合せ

A、B を整式とすると、分配法則によって次の等式が成り立ちます。文字の代わりに整式を入れても、積と和の規則は同じです。

(A + B)³ = (A + B)(A + B)(A + B)
= (A² + 2AB + B²)(A + B)
= A³ + A²B + 2A²B + 2AB² + AB² + B³
= A³ + 3A²B + 3AB² + B³

真ん中の2項が生じる理由を、図1のように各因子からの選択で見ます。B を1回選ぶ位置は3通りあり、どれも A²B です。B を2回選ぶときも、A を選ぶ位置が3通りあるので 3AB² になります。両端だけを書いた式では、異なる項を選んだ積が抜けます。

図1の係数 1、3、3、1 は、同じ積が何回現れるかを表します。指数の合計は各項で3です。これは3個の因子から各1項を選んで掛けるためで、確認には役立ちますが、それだけで係数や符号の正しさまでは保証しません。

差の場合は B の代わりに -B を入れます。負の数を奇数回掛けた項は負、偶数回掛けた項は正です。

(A - B)³ = A³ + 3A²(-B) + 3A(-B)² + (-B)³
= A³ - 3A²B + 3AB² - B³

差の三乗は、2番目と4番目が負です。例えば B 自体に係数や括弧があるときは、B 全体を二乗、三乗してから符号を整理します。括弧を消す前に、どこまでを A、B とみなすかを明記してください。

項を並べる順番の工夫

公式を暗記するとき、A の指数を 3、2、1、0 と1つずつ減らし、B の指数を 0、1、2、3 と増やすと項の並びを保てます。指数が0の因子は積に書きません。これは文字が消えたことを意味しますが、係数まで消してよいという意味ではありません。両端の係数は1で、中間の係数はどちらも3です。

例えば A = 2u、B = v と置いたとき、2番目は 3(2u)²v = 12u²v です。3番目は 3(2u)v² = 6uv² です。2つの項では2uを選ぶ回数が異なるので、係数も同じにはなりません。順番と係数を別々に確認すると、指数の合計が3であるだけの誤った式を避けられます。

負の項を B として扱う方法もあります。A + B の公式に B = -v を入れるなら、公式自体は和の形のままです。差の公式を使うなら B = v と置き、公式にある負号を使います。両方で負号を重ねてしまうと符号が反転するので、どちらの約束で進むかを最初の行に残します。

基本例題：係数を含む差

問題　(2x − 3)³ を展開し、x の次数が高い順の整式で答えてください。

2x を A、3 を B とみなします。図2のように公式の各位置へ代入し、係数にも指数を適用します。

(2x - 3)³ = (2x)³ - 3(2x)²・3 + 3(2x)・3² - 3³
= 8x³ - 3・4x²・3 + 3・2x・9 - 27
= 8x³ - 36x² + 54x - 27

図2で、2番目の項は (2x)² を使うので 4x² です。3番目は 3² を使うので正の 9 が現れます。最後の -27 も差の公式に含まれる符号です。2x³ のように係数の2を三乗し忘れないようにします。

元の式に x = 1 を入れると (-1)³ = -1 です。答えにも入れると 8 − 36 + 54 − 27 = -1 となり一致します。この代入は計算の点検に役立ちますが、1つの値で一致しただけでは展開が恒等的に正しい証明にはなりません。上の分配法則による変形が根拠です。

標準例題：まとまりを戻す

問題　(x + y − 2)³ を展開し、同類項をまとめた整式で答えてください。

x + y を A と見ると、全体は (A − 2)³ です。先に A の形で4項を書き、戻した後の二乗と三乗をそれぞれ展開します。置換は文字を減らすための一時的な整理で、最後に元の文字へ戻す必要があります。

(x + y - 2)³ = (x + y)³ - 6(x + y)² + 12(x + y) - 8
= x³ + 3x²y + 3xy² + y³ - 6(x² + 2xy + y²) + 12(x + y) - 8
= x³ + 3x²y + 3xy² + y³ - 6x² - 12xy - 6y² + 12x + 12y - 8

-6 を二乗の括弧の各項に掛けることが分かれ目です。たとえば中間の 2xy は -12xy となります。x と y を入れ替えても元の式は変わらないため、答えも入れ替えに対して対称です。これも見落としを探す手がかりです。

別の置き方として x を A、y − 2 を B としても解けます。ただし B の二乗と三乗を繰り返し展開する必要があるため、この問題では x + y をまとめると見通しがよくなります。x = 1、y = 2 なら元の値は 1、答えも 1 です。さらに x = 0、y = 0 では両方とも -8 です。

発展例題：三乗どうしの差

問題　(2x + y)³ − (2x − y)³ を展開し、同類項をまとめた整式で答えてください。

それぞれの括弧を展開した後、2つ目の式全体を引きます。和と差で対応する項を縦に比べると、残る項を予想できますが、符号をつけてから確かめます。

(2x + y)³ = 8x³ + 12x²y + 6xy² + y³
(2x - y)³ = 8x³ - 12x²y + 6xy² - y³
(2x + y)³ - (2x - y)³
= 8x³ + 12x²y + 6xy² + y³ - (8x³ - 12x²y + 6xy² - y³)
= 8x³ + 12x²y + 6xy² + y³ - 8x³ + 12x²y - 6xy² + y³
= 24x²y + 2y³

2つ目の三乗の負の項は、式全体を引くことで正になります。逆に正の項は負になり、対応する項と消えます。y を0にすると元の2つの三乗は等しく、答えも0です。x = 1、y = 1 なら元の式は 27 − 1 = 26、答えは 24 + 2 = 26 です。

別の見方では、A = 2x、B = y と置いて和の三乗から差の三乗を引きます。A³ と 3AB² が消え、6A²B + 2B³ が残ります。最後に A と B を戻すと同じ結果です。どちらの方法でも、外側の引き算を各項に反映することが欠かせません。

抜けた項と符号を直す

誤答として (x − 2)³ = x³ − 8 と書いた場合を考えます。端の項は合っていますが、図3のように異なる項を選んだ積が抜けています。3つの因子をそれぞれ見れば、x を2回、-2 を1回選ぶ積と、x を1回、-2 を2回選ぶ積があります。

図3の抜けた項を含め、正しくは次のようにします。

(x - 2)³ = x³ + 3x²(-2) + 3x(-2)² + (-2)³
= x³ - 6x² + 12x - 8

x = 1 では元の式は -1 ですが、誤答は -7 です。この値を戻せば失敗を発見できます。一方、x = 0 では両方が -8 となり、誤答でも一致します。点検する値によっては誤りが隠れるため、代入と項の由来の確認を組み合わせます。

もう1つの失敗は、負号をすべての項につけて x³ − 6x² − 12x − 8 とすることです。2つの負の因子の積は正なので、3番目の項は正です。各項に含まれる負の因子の個数を数え直し、外側の引き算があればその操作は最後に別に行います。

計算が途中で合わなくなったら

展開後の項数が予想と合わないときは、すぐに同類項をまとめ直す前に、公式の4つの項を別々に書きます。それぞれの項が何を何回選んだものかを確かめれば、抜けた項と計算違いを区別できます。複数の式を加減する場合は、各式の展開を一度括弧に残しておくと、外側の符号を追えます。

代入による確認では、0は定数項の確認に便利です。ただし文字を含む項は消えてしまいます。1や負の値も選び、元の括弧の値を先に計算してから展開後の値と比べると、違いを発見しやすくなります。どの値を使っても、代入は分配法則に基づく変形の代わりではありません。

練習問題

次の各式を展開し、同類項をまとめた整式で答えてください。まず5問を通して、自分でまとまりと符号を書き込んでみます。

1. (x + 4)³
2. (3x − 1)³
3. (a − 2b)³
4. (p + q + 1)³
5. (x + 2y)³ + (x − 2y)³

練習の答えと解き方

1. x を A、4 を B とします。中間の係数3を忘れずに掛けます。

(x + 4)³ = x³ + 3x²・4 + 3x・4² + 4³
= x³ + 12x² + 48x + 64

x = 1 を戻すと、元の式も答えも 125 です。4² と 4³ を別に計算すると定数の取り違えを防げます。

2. 3x を全体として扱い、差の三乗に代入します。

(3x - 1)³ = (3x)³ - 3(3x)² + 3(3x) - 1
= 27x³ - 27x² + 9x - 1

x = 1 で元の式は 8、答えも 8 です。2番目の項では 3x の二乗が 9x² になります。

3. 2b 全体を B とします。B² は 4b²、B³ は 8b³ です。

(a - 2b)³ = a³ - 3a²・2b + 3a・(2b)² - (2b)³
= a³ - 6a²b + 12ab² - 8b³

a = 3、b = 1 のとき元の式と答えはともに 1 です。b の指数も係数と一緒に上げています。

4. p + q をひとまとまりにしてから戻します。

(p + q + 1)³ = (p + q)³ + 3(p + q)² + 3(p + q) + 1
= p³ + 3p²q + 3pq² + q³ + 3(p² + 2pq + q²) + 3p + 3q + 1
= p³ + 3p²q + 3pq² + q³ + 3p² + 6pq + 3q² + 3p + 3q + 1

p = 1、q = 1 を戻すと、元の式も答えも 27 です。3(p + q)² の中の 2pq にも3が掛かります。

5. 和と差を別々に展開してから加えます。

(x + 2y)³ = x³ + 6x²y + 12xy² + 8y³
(x - 2y)³ = x³ - 6x²y + 12xy² - 8y³
(x + 2y)³ + (x - 2y)³ = 2x³ + 24xy²

x = 1、y = 1 では元の式は 27 + (-1) = 26、答えも 26 です。今度は差でなく和なので、符号の異なる項が消え、同じ符号の項が残ります。

練習後は、間違えた項を正解と見比べて終わらず、元の3つの因子に戻って選び方を書き直します。どの符号を何回掛けたかを説明できれば、別の係数でも同じ手順を使えます。

手元に残す要点

• 三乗は3個の因子から1項ずつ選んだ積の和です。
• 和の三乗の係数は 1、3、3、1 です。
• 差の三乗では後ろの項の負号の個数を数えます。
• 置換したまとまりは戻し、残る括弧も展開します。
• 代入点検と、分配法則による各項の確認を併用します。

つまずきを見分けるには

途中式に両端の2項しかなければ、「3つの括弧から x と定数を混ぜて選ぶと何が出ますか」と自分に問いかけます。交差項が書けても符号が違う場合は、負の因子を丸で囲み、その個数を数えます。係数を三乗し損ねた場合は、文字だけでなく係数を含む項全体を括弧で囲みます。

個別指導で確かめるなら、答えの数字を先に直すより、どの括弧から何を選んだかを言葉と積で示してもらうと、抜けた操作を特定できます。置換を使った場合は、元の文字に戻す行まで見届けます。三乗の展開は、選んだ3つの因子を最後まで追うことで整います。