高校数学C ヒストグラムの表現—階級の幅と面積を対応させて分布を比較する｜武蔵野個別指導塾

幅の異なる階級の度数を高さと面積から読み直し、合計人数の復元にも役立つのが度数密度です。

よくあるのは、理系の高3が幅の違う柱を見て、高い柱の階級の方が人数も多いと判断する場面です。横幅が2倍なら、同じ高さでも柱の面積は2倍です。ヒストグラムでは横の長さと縦の長さの両方に意味があります。人数を比べるときは、まず階級の境界と幅を読み、それから面積を見ましょう。

どの量を求める問題か

出方の1つは、度数表から柱の高さを求める問題です。階級幅が同じなら度数を高さとして描けますが、幅が違うなら度数を幅で割った値を高さにします。何を縦軸に取ったかを最初に確認します。

2つ目は、グラフから度数や合計人数を復元する問題です。縦軸が度数密度なら、柱の横幅と高さの積がその階級の人数です。縦軸の数値を足しても人数にはなりません。階級ごとの人数を出してから合計します。

3つ目は、異なる区切りでまとめた分布を比較する問題です。共通の区間にそろえて比べられるかを考えます。ただし、柱の内部で個々の値がどのように分布するかは度数表からは決まりません。棒を途中で切って面積を配分する計算には、追加の仮定が必要です。

階級の幅と度数密度

ある量の範囲を区切った各区間を階級、その階級に入るデータの個数を度数といいます。たとえば「0以上2未満」と「2以上6未満」なら、境界の2は後者に入ります。両端をともに含めたり、どちらにも含めなかったりすると、境界上の値を重複して数えるか数え落とします。

図1のように、幅が2と4の階級で度数密度がともに3なら、面積はそれぞれ6と12です。横軸は測定値、縦軸は測定値の1単位当たりの人数です。長方形の面積の数値が人数を表すように高さを定めています。

図1の2本は高さが同じでも面積が異なります。階級の幅が正で、度数が負でないとき、次の関係が成り立ちます。

度数密度 = 度数 / 階級の幅
度数 = 階級の幅・度数密度

測定値が分、度数が人なら、密度の単位は人/分です。幅の単位を分から秒に変えると、同じ階級の幅の数値は60倍になり、密度の数値は1/60倍になります。積は同じ人数です。単位を見ずに高さの数値だけを比べると、この換算に気づけません。

等幅の階級では、共通の幅で割るので密度の大小と度数の大小は一致します。度数を高さにした図も使えますが、その場合の柱の面積の数値は「共通の幅・度数」です。幅が1でない限り面積の数値自体が人数とは限りません。異幅の図と混ぜて読むときは、縦軸の定義を確認します。

比較の前に確かめる条件

2つの図を並べるときは、まず同じ量を同じ単位で測っているかを見ます。片方が分、もう片方が秒なら境界を換算してから比較します。さらに、柱の幅が同じ尺度で描かれているか、縦軸が度数なのか度数密度なのかを読みます。目盛りの間隔が違う図では、見た目の高さの差から数値の差を判断できません。

対象人数が違う集団の人数をそのまま比べれば、集団の大きい方の柱が大きくなりやすいです。構成の違いを比べるなら、各階級の度数をそれぞれの対象人数で割った割合を用います。異幅の階級なら、さらにその割合を幅で割った値を高さにすれば、柱の面積が割合を表します。人数を知りたいときは、割合だけでは足りず対象人数も必要です。

たとえば割合の面積が1/4で対象が40人なら、該当する階級は40・1/4 = 10人です。同じ割合で対象が28人なら7人です。割合が一致しても人数が一致するとは限りません。対象外の値や欠測がある場合も、割合の分母に何を含めたかを明示します。

階級の区切りを変えると柱の形は変わります。隣り合う階級をまとめるときは度数を足せますが、まとめた後の密度は、元の密度を単純に足した値ではありません。合計した度数を合計した幅で割ります。この操作は元の人数を保つ一方、境界の内側の細かな違いを見えにくくします。図から読めることと、集計によって失われたことを区別しましょう。

基本例題：作業時間を柱にする

自作の作業記録として、時間を分単位で測った20人を次のように分類します。0以上2未満が6人、2以上6未満が8人、6以上8未満が6人です。各階級の度数密度を人/分で求め、柱の面積から合計人数を確かめてください。

各階級の幅と密度を順に計算します。

第1階級の幅 = 2 - 0 = 2 分
第1階級の密度 = 6 / 2 = 3 人/分
第2階級の幅 = 6 - 2 = 4 分
第2階級の密度 = 8 / 4 = 2 人/分
第3階級の幅 = 8 - 6 = 2 分
第3階級の密度 = 6 / 2 = 3 人/分

図2のように横軸の境界を0、2、6、8と実際の幅に合わせて置き、高さを3、2、3にします。第2階級は低い柱ですが幅が広いため、最も多い8人を表します。

図2の面積をそれぞれ人数に戻して合計します。

第1階級 = 2・3 = 6 人
第2階級 = 4・2 = 8 人
第3階級 = 2・3 = 6 人
合計 = 6 + 8 + 6 = 20 人

元の記録の度数6人、8人、6人に戻り、合計も20人です。2分ちょうどの記録は第2階級に入り、6分ちょうどは第3階級に入ります。8分ちょうどはこの3階級の外なので、問題の20人に含まれていない条件です。境界と対象範囲を先に固定すると、集計の漏れを点検できます。

標準例題：密度から欠けた人数を戻す

自作の読書時間の記録では、0以上5未満、5以上15未満、15以上20未満の3階級を使います。密度は順に2人/分、1.2人/分、0.8人/分です。各階級の人数と全体の人数を整数で求め、5分以上の割合を分数で答えてください。

第1階級の幅 = 5 - 0 = 5 分
第1階級の人数 = 5・2 = 10 人
第2階級の幅 = 15 - 5 = 10 分
第2階級の人数 = 10・1.2 = 12 人
第3階級の幅 = 20 - 15 = 5 分
第3階級の人数 = 5・0.8 = 4 人
全体 = 10 + 12 + 4 = 26 人
5分以上 = 12 + 4 = 16 人
割合 = 16 / 26 = 8/13

密度に小数があっても人数は整数になります。戻して確かめると、10 / 5 = 2、12 / 10 = 1.2、4 / 5 = 0.8で、与えられた高さに一致します。割合の分母は3階級の合計26人で、5分以上の16人ではありません。

もし幅と密度の積が3.5人になった場合、整数の人数を集計した正確な密度という条件とは両立しません。密度が丸められた値なら、元の人数が別に存在する可能性があります。図の数値が正確な値か概数かを確認し、勝手に四捨五入して人数を確定させないことが必要です。

発展例題：区間をそろえた比較と限界

自作の2組の移動時間を調べます。A組は0以上4未満が8人、4以上10未満が12人の計20人です。B組は0以上2未満が3人、2以上4未満が5人、4以上10未満が8人の計16人です。両組の0以上4未満の割合と4以上10未満の割合を分数で求めて比較してください。また、A組の2以上4未満の人数が一意に決まるかを答えてください。

まず、B組の最初の2階級を合わせます。境界の2は後者に含まれ、重複も空白もないので、両者の和が0以上4未満の度数です。

A組の0以上4未満 = 8 / 20 = 2/5
A組の4以上10未満 = 12 / 20 = 3/5
B組の0以上4未満 = (3 + 5) / 16 = 1/2
B組の4以上10未満 = 8 / 16 = 1/2
2/5 = 4/10
1/2 = 5/10

したがって0以上4未満の割合はB組の方が大きく、4以上10未満の割合はA組の方が大きいです。人数ではなく割合を使うのは、対象人数が20人と16人で違うからです。元の区間に戻すと、A組は8 + 12 = 20人、B組は3 + 5 + 8 = 16人で、分母と一致します。

A組の2以上4未満の人数は一意に決まりません。0以上4未満の8人が全員1分でも、全員3分でも、与えられた度数は同じです。前者なら求める人数は0人、後者なら8人です。柱を2等分して4人とするには、階級内に一様に分布するなどの別条件が要ります。柱の長方形は階級全体の度数を表し、その内部の個々の値の配置までは記録しません。

高さだけを比べた誤答を直す

基本例題で「高さ3の第1階級が、高さ2の第2階級より人数が多い」と答えるのは誤りです。図3のように第1階級は幅2、第2階級は幅4です。高さはそれぞれ1分当たりの人数で、階級全体の人数ではありません。

図3では面積を計算すると第1階級が6人、第2階級が8人です。原因は縦軸の単位を読まず、度数密度を度数と同一視したことにあります。修正するときは、柱の下に幅、横に密度を記入し、幅・密度を計算します。高さの大小と人数の大小が逆になる例として確認できます。

別の間違いは、密度3、2、3を足して8人とすることです。足した値の単位は人/分のままで、人数を表しません。また、境界を図上で等間隔に置いて0、2、6、8と書けば、第2階級の幅が実際より狭くなり、面積で表す図として不正確です。目盛りの数字だけでなく距離も比例させましょう。

練習問題

次の記録はそれぞれ自作の条件です。階級は左端を含み右端を含まないものとし、密度は正確な値とします。人数は整数、割合は既約分数で答えてください。

1. 植物の高さを測り、0以上3未満が9本、3以上7未満が8本でした。それぞれの度数密度を本/cmで求めてください。高さの単位はcmです。
2. 練習の所要時間について、0以上4未満の密度が1.5人/分、4以上10未満の密度が2人/分です。各階級と合計の人数を求めてください。
3. 移動距離の記録は、0以上2未満が4人、2以上5未満が9人、5以上9未満が7人です。5以上9未満の割合と、2以上5未満の密度を求めてください。距離の単位はkmです。
4. ある長さの0以上5未満に10個、5以上10未満に15個あります。長さの単位はcmです。度数を高さにした等幅の図と、密度を高さにした図の第2階級の高さをそれぞれ求めてください。
5. 容器の容量について、0以上8未満に12個あることだけがわかっています。4以上8未満の個数は確定しますか。異なる2通りの配置を挙げて説明してください。容量の単位はLです。

練習の答えと解き方

1. 幅は3cmと4cmなので、9 / 3 = 3本/cm、8 / 4 = 2本/cmです。3・3 = 9本、4・2 = 8本と元の個数に戻ります。

2. 4・1.5 = 6人、6・2 = 12人で、合計は6 + 12 = 18人です。6 / 4 = 1.5、12 / 6 = 2とすると、問題の密度に戻ります。高さを足した3.5は人数ではありません。

3. 合計は4 + 9 + 7 = 20人です。割合は7 / 20、密度は9 / (5 − 2) = 3人/kmです。20・7/20 = 7人、3・3 = 9人となり、指定した階級の人数に戻ります。

4. 度数を高さにすると15個、密度を高さにすると15 / 5 = 3個/cmです。後者は幅5cmを掛けて5・3 = 15個に戻ります。前者の面積の数値75を15個と読み替えることはできません。

5. 確定しません。12個の容量がすべて2Lなら該当数は0個、すべて6Lなら12個です。どちらも0以上8未満の合計は12個という条件を満たします。途中の境界での内訳は与えられていません。

覚えておくこと

• 階級の境界を決め、重複と数え落としを防ぎます。
• 度数密度は度数を階級幅で割った値です。
• 密度を高さにした柱は、幅と高さの積で度数を表します。
• 比較には単位、階級、対象人数をそろえます。
• 階級の内部の分布は、階級全体の度数からは決まりません。

つまずきを見分ける記録

解答の柱に高さしか書かれていなければ、幅を読み取ったかを確かめます。高さの計算が合っていても、境界の位置を等間隔に描いていれば面積は正しく表せません。縦軸の単位、横軸の境界、柱ごとの積の3点を答案に残すと、どこで意味がずれたか見分けやすくなります。

個別指導で確認する際は、度数表から図へ移す途中の幅のメモと、図から人数を戻した式を見比べます。割合の問題では分母にどの対象を使ったかも言葉で尋ねます。階級内の人数を推測した場合は、同じ表を満たす別の配置を作れるかを確かめます。柱の面積は、区間全体の人数を伝えます。