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高校数学C 単位行列と零行列—積を変えない表と全成分が零の表を区別する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学C 数学的な表現の工夫

対角成分と積和を手がかりに、零でない二つの行列の積が零になる理由へ迫る単位行列と零行列です。

よくあるのは、理系の高3が行列の積を計算し、その結果が零行列だからといって、一方の因子も零行列だと決めてしまう場面です。実数なら積が 0 のとき少なくとも一方は 0 ですが、行列の積の成分は複数の積の和です。途中の寄与が消えたり、異なる成分が対応したりするため、同じ推論をそのまま使えません。まず表の行と列を固定し、どの成分が何を表すかに戻って考えます。

どの問いで区別が必要か

出方の一つは、単位行列を左右から掛けた結果を求める問題です。単位行列の対角線にある 1 は、掛けられる行列の成分を対応する位置に残します。左右のどちらから掛けるかによって、残す行と残す列の見方が変わるので、積の順序を明記します。

もう一つは、零行列を含む式や、積が零行列になる条件を調べる問題です。零行列を掛ければ積は零行列ですが、積が零行列なら因子の一方が零行列だという逆向きの主張は一般には成り立ちません。零でない成分が一つでもあれば、その行列は零行列ではありません。

さらに、未知数を含む小さな行列で積が単位行列または零行列になる条件を求めることもあります。積の各成分を計算し、対応する成分を等しいと置きます。各式が同時に成り立つかまで調べ、求めた値を元の積に戻します。ここでは 2 行 2 列を中心に扱い、行列式や逆行列の一般論には進みません。

対角線が残すもの、零が消すもの

2 行 2 列の単位行列 I と零行列 O を次のように置きます。左上から右下への対角成分は、I では 1、O では 0 です。それ以外の成分はどちらも 0 ですが、対角成分の違いが積の結果を分けます。

I = [ 1  0 ]     O = [ 0  0 ]
    [ 0  1 ]         [ 0  0 ]

図1のように、単位行列は同じ番号の分類をつなぎ、零行列はどの組にも寄与を置かない表として読めます。行と列の分類の順をそろえたとき、I の 1 は対応する分類をそのまま受け渡します。O は全成分が 0 なので、その表を通した寄与はありません。

図1の単位行列は、1 が対角線上にあるという配置まで含めて定義されます。単に 1 が二つある表では足りません。零行列も、合計が 0 という意味ではなく、各成分がそれぞれ 0 という意味です。

一般の 2 行 2 列の行列 A に対して、積の定義を一成分ずつ用いると次のようになります。各積は内側の数が 2 で一致し、結果も 2 行 2 列です。

A  = [ a  b ]     I = [ 1  0 ]
     [ c  d ]         [ 0  1 ]

AI = [ a・1 + b・0  a・0 + b・1 ]
     [ c・1 + d・0  c・0 + d・1 ]
   = [ a  b ]
     [ c  d ]
   = A

IA = [ 1・a + 0・c  1・b + 0・d ]
     [ 0・a + 1・c  0・b + 1・d ]
   = [ a  b ]
     [ c  d ]
   = A

左から掛けると I の行が A の行を選び、右から掛けると I の列が A の列を選びます。両方とも A に戻るのはこの I が単位行列だからです。一般の行列同士について、順序を自由に入れ替えてよいという意味ではありません。

同じ型の零行列なら A + O = A です。積では AO = O、OA = O となり、和と積での働きは異なります。単位行列は積で元を保ち、零行列は和で元を保ちます。大きさが違えば使う単位行列や零行列の型にも注意が必要です。

基本例題：分類をそのまま渡す表

架空の展示で、場所 P、Q に置くカードの数を、種類 X、Y の順に表した行列 A を考えます。行は P、Q、列は X、Y で、各成分の単位は枚です。分類を同じ順に受け渡す表を I とし、AI と IA を求め、各値を元の枚数に戻して確かめてください。

A = [ 3  5 ]     I = [ 1  0 ]
    [ 2  4 ]         [ 0  1 ]

I の行と列はいずれも X、Y の順として右から掛けます。内側の分類が X、Y でそろうため、AI は場所ごとの種類別枚数です。左から掛ける場合は I の行と列を P、Q の順と読み替え、場所の分類を受け渡します。数の並びが同じでも、左右で表の分類は異なります。

図2のように、右からの積の左上は P の X と Y から、新しい X への寄与を足したものです。X はそのまま通り、Y から X への寄与はありません。

AI = [ 3・1 + 5・0  3・0 + 5・1 ]
     [ 2・1 + 4・0  2・0 + 4・1 ]
   = [ 3 + 0  0 + 5 ]
     [ 2 + 0  0 + 4 ]
   = [ 3  5 ]
     [ 2  4 ]
   = A

IA = [ 1・3 + 0・2  1・5 + 0・4 ]
     [ 0・3 + 1・2  0・5 + 1・4 ]
   = [ 3 + 0  5 + 0 ]
     [ 0 + 2  0 + 4 ]
   = [ 3  5 ]
     [ 2  4 ]
   = A

図2の左上の 3 枚は、P の X が 3 枚、Y から新しい X に移る分が 0 枚という内訳です。残る 3 成分も、P の Y が 5 枚、Q の X が 2 枚、Q の Y が 4 枚と元の表に一致します。単位行列の成分は対応の倍率なので、結果の単位は枚のままです。

もし分類の順を片側で入れ替えたら、同じ数字の I を書いても、同じ種類をそのまま渡す表にはなりません。積の形が合うことと、対応の意味が合うことは別に確認します。図の 1 と 0 は数量そのものではなく、数量を受け渡す倍率です。

標準例題：零になる寄与を調べる

二つの成分を持つ数量を、最初の分類から中間分類を経て最後の分類に渡します。次の 2 行 2 列の行列 A、B について AB を求め、どちらかが零行列か判定してください。成分は架空の寄与の倍率で、負の値は増加と減少を区別する符号付きの値とします。

A = [ 2  2 ]     B = [ 3  -1 ]
    [ 1  1 ]         [ -3  1 ]

両方の内側の分類は上から同じ順です。行列積の 1 成分は、二つの中間分類を経由する寄与の和になります。

AB = [ 2・3 + 2・(-3)  2・(-1) + 2・1 ]
     [ 1・3 + 1・(-3)  1・(-1) + 1・1 ]
   = [ 6 - 6  -2 + 2 ]
     [ 3 - 3  -1 + 1 ]
   = [ 0  0 ]
     [ 0  0 ]
   = O

左上は中間分類を経由する 6 と -6 の和です。右上は -2 と 2、左下は 3 と -3、右下は -1 と 1 が打ち消し合います。各内訳に戻すと 4 成分とも 0 ですが、A の左上は 2、B の左上は 3 です。したがって、どちらも零行列ではありません。

この例から、零でない行列を掛けた結果も必ず零ではない、とは言えません。実際に零になる組があることが示されたからです。一方、たった一組を調べても、零になる組の全体を分類したことにはなりません。反例は、例外のない主張を否定するには十分です。

発展例題：積の条件から未知数を決める

次の行列 C、D について、CD が零行列となる実数 x、y の組を求めてください。答えは組 (x, y) で示し、積を再計算して条件に戻します。

C = [ 1  2 ]     D = [ x   4 ]
    [ 2  4 ]         [ y  -2 ]

積の型は 2 行 2 列です。各成分を計算し、零行列の対応する成分と等しく置きます。

CD = [ x + 2y    4 + 2・(-2) ]
     [ 2x + 4y   2・4 + 4・(-2) ]
   = [ x + 2y   0 ]
     [ 2x + 4y  0 ]

したがって必要な条件は x + 2y = 0 と 2x + 4y = 0 です。後者は前者を 2 倍した式なので、独立した条件は一つです。y を任意の実数 t と置けば、答えは次のようになります。

y = t
x = -2t
(x, y) = (-2t, t)  （t は実数）

この組を戻すと左上は -2t + 2t = 0、左下は -4t + 4t = 0 です。右列もそれぞれ 4 − 4 = 0、8 − 8 = 0 なので、確かに CD = O です。例えば t = 1 のときも C と D は零行列ではなく、積は零行列になります。

条件の数を行列の成分数だけ数えて終わらず、同じ条件を重ねていないかを見ると、解を一組に限定する誤りを避けられます。ここで得たのは指定された C と D に対する条件であり、任意の行列に同じ形の答えを適用するものではありません。

誤答から積和に戻る

次の主張を考えます。「EF = O だから E = O または F = O である」。図3のように、どちらにも零でない成分がある例を代入すると、この主張は崩れます。

E = [ 1  0 ]     F = [ 0  0 ]
    [ 0  0 ]         [ 0  2 ]

図3の E は第1成分を残し、F は第2成分に対応する値を残します。つながる位置が一致しないので、積の各項は 0 です。実際に各成分を計算します。

EF = [ 1・0 + 0・0  1・0 + 0・2 ]
     [ 0・0 + 0・0  0・0 + 0・2 ]
   = [ 0  0 ]
     [ 0  0 ]
   = O

誤りの原因は、実数の積についての性質を、複数の積を足す行列積にそのまま移したことです。修正するときは、まず各因子に零でない成分があるか確認し、次に積の全成分を積和で計算します。この例には負の数による打ち消しさえ必要ありません。

逆に E = O または F = O なら EF = O です。零行列の各成分が 0 なので、積和の各項が 0 になります。正しい向きと逆向きは別の命題として扱います。積の一部の成分が 0 になっただけでは、積全体が零行列だと結論できないことにも注意します。

練習問題

いずれも 2 行 2 列です。各行列の行と列の順は、問題中に示した順で固定します。積を求める問題では各成分を示してください。

行が棚 R、S、列が箱 U、V の個数表 G を次のように置きます。U、V の順を保つ単位行列 I を右から掛けた GI を求め、棚 R の箱 V の個数を答えてください。

G = [ 7  2 ]
    [ 6  3 ]

次の H について H + O と OH を求めてください。O は 2 行 2 列の零行列です。

H = [ -2  5 ]
    [  4  1 ]

次の J、K の積 JK を求め、J と K が零行列かどうかをそれぞれ答えてください。

J = [ 1  1 ]     K = [  5  2 ]
    [ 3  3 ]         [ -5 -2 ]

次の L、M について LM = O となる実数 p を求めてください。

L = [ 1  1 ]     M = [ p  6 ]
    [ 2  2 ]         [ 3 -6 ]

次の N に対し、NX = I を満たす 2 行 2 列の行列 X を求めてください。X の成分をそれぞれ文字で置き、答えを元の積に戻してください。

N = [ 1  2 ]
    [ 0  1 ]

練習問題の解答・解き方

行列の内側は箱 U、V の順で一致します。積の成分を求めると次の通りです。

GI = [ 7・1 + 2・0  7・0 + 2・1 ]
     [ 6・1 + 3・0  6・0 + 3・1 ]
   = [ 7  2 ]
     [ 6  3 ]

棚 R の箱 V は 2 個です。棚 R の U は 7 個、S の U は 6 個、S の V は 3 個と、元の個数にも戻ります。

同じ位置の成分を足し、積は行と列の積和で求めます。

H + O = [ -2 + 0  5 + 0 ]
        [  4 + 0  1 + 0 ]
      = [ -2  5 ]
        [  4  1 ]

OH = [ 0・(-2) + 0・4  0・5 + 0・1 ]
     [ 0・(-2) + 0・4  0・5 + 0・1 ]
   = [ 0  0 ]
     [ 0  0 ]

和は H の各成分を保ち、積では各内訳が 0 です。零行列の役割が演算によって異なることを確認できます。

積和を計算し、因子の成分も別に見ます。

JK = [ 1・5 + 1・(-5)  1・2 + 1・(-2) ]
     [ 3・5 + 3・(-5)  3・2 + 3・(-2) ]
   = [ 5 - 5    2 - 2 ]
     [ 15 - 15  6 - 6 ]
   = [ 0  0 ]
     [ 0  0 ]

各位置で寄与が相殺されます。J の左上は 1、K の左上は 5 なので、いずれも零行列ではありません。

まず積の各位置を表します。

LM = [ p + 3   6 - 6 ]
     [ 2p + 6  12 - 12 ]
   = [ p + 3   0 ]
     [ 2p + 6  0 ]

左上が 0 である条件から p = -3 です。戻すと左上は -3 + 3 = 0、左下は -6 + 6 = 0 で、右列も 0 なので LM = O となります。

X の上段を a、b、下段を c、d と置きます。

X  = [ a  b ]
     [ c  d ]
NX = [ a + 2c  b + 2d ]
     [ c       d ]

単位行列と対応成分を比べると c = 0、d = 1、a + 2c = 1、b + 2d = 0 です。よって a = 1、b = -2 となります。

X  = [ 1  -2 ]
     [ 0   1 ]
NX = [ 1・1 + 2・0  1・(-2) + 2・1 ]
     [ 0・1 + 1・0  0・(-2) + 1・1 ]
   = [ 1  0 ]
     [ 0  1 ]
   = I

元の条件に戻して、左上と右下が 1、他の成分が 0 と確かめました。この問題は指定された行列に対する成分比較で解いています。

覚えておくこと

単位行列は対角成分が 1、それ以外が 0 です。零行列は全成分が 0 です。対応する型の単位行列は積を保ち、零行列は積を零にします。積が零行列でも、因子のどちらかが零行列とは限りません。

つまずきを見分けるには

計算の記録に、各行列の行と列の分類、積の内側で対応する分類、各成分の積和が残っているかを見ます。答えの数だけ合っていても、同位置同士を掛ける方法では別の表で誤るからです。個別指導では、単位行列を左右に掛けるときに何が選ばれるか、零積の反例でどの項が 0 または相殺されるかを、本人の式と元の数量の両方で確かめます。

一つの零成分と零行列を区別し、逆向きの主張には反例を探します。表の配置と積和を見れば、零という結果に至る道筋が見えてきます。