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高校数学C 行列の相等—型と成分の位置をそろえて未知数の条件を立てる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学C 数学的な表現の工夫

同じ数字の並べ替えや未知数を含む行列を比べ、型と対応成分から相等の成立と条件の矛盾を判定します。

よくあるのは、理系の高3が2つの行列を見て、同じ数字が並んでいれば等しいと考える場面です。数字の種類と個数が同じでも、置かれた位置が違えば別の行列です。まず行と列の数を調べ、次に同じ位置を一組ずつ比べます。文字が入っている場合も、相等を位置ごとの等式に直してから、その条件が同時に成り立つかを判定します。

等しいかを問う3つの形

1つ目は、数だけで書かれた2つの行列が等しいかという問いです。行数と列数がそれぞれ一致するかを見てから、左上、右上というように位置を固定して照合します。1か所でも異なれば等しくありません。型が違うときは、成分を並べ替えて比較しても相等にはなりません。

2つ目は、等しいという条件から未知数を求める問いです。文字を含む位置を等式に直しますが、文字のない位置も確認します。そこで数が違っていれば、文字にどの値を入れても条件は成立しません。答えは数を出して終わりではなく、元の各位置へ戻して確かめます。

3つ目は、複数の位置に同じ文字がある場合です。それぞれの位置が要求する値が一致するとは限りません。1か所から出した値を他の位置に代入し、矛盾がないことまで調べます。ここでは行列の相等と簡単な文字の条件を扱い、逆行列は使いません。

型と対応する位置

横に並ぶ成分を行、縦に並ぶ成分を列と呼びます。上から2行、左から3列の行列は2行3列の型です。位置を表すときは行を先、列を後にして「2行3列の成分」と読みます。行と列を逆にすると、異なる場所を比べることになります。

2つの行列が等しいとは、行数と列数がそれぞれ等しく、対応する位置の成分がすべて等しいことです。逆に、この2つの条件が満たされれば、2つの行列は等しくなります。型が合うことは必要ですが、それだけでは十分ではありません。型の確認は入口であり、その後に各位置を照合する必要があります。

図1のように、2行3列の左側の表で色を付けた場所は、右側でも2行3列の場所です。ここで比べるのは6と6です。別の位置にある6を探すのではありません。表に意味がある場合は、行と列の項目と順番も確認します。同じ位置の数が等しいという数学上の判定と、その位置が同じ数量を表すという解釈は区別します。

例えば行を棚A、棚B、列を赤、青、緑の箱と決めた個数表なら、2行3列は棚Bの緑の箱の個数です。もう一方の表の列を緑、青、赤の順に作ったまま同じ位置を比較すると、別の品目を比べてしまいます。数量表として比較するには、先に見出しの順序をそろえる必要があります。単位も両方とも個であることを確かめます。

表を数字だけで見ることと、表が表す場面を読むことは別の作業です。例えば2つの記録の右下がともに6でも、一方が箱の個数、他方が箱に入る冊数なら、数値の一致から数量の一致は言えません。何を数え、どの単位で表したかをそろえて初めて、同じ場所の成分を同じ量として比べられます。記号としての行列の相等そのものは、型と成分の一致で決まります。

また、型と各成分は異なる役割を持ちます。型が違う場合、どの文字の値も行数や列数を変えません。型が同じ場合には、文字の値が各位置の等式を同時に満たすかを調べます。これらを順に確認すると、成り立たない理由を「型の違い」と「成分の不一致」のどちらかに分けて説明できます。

基本例題：位置から文字を決める

次の2つの行列が等しいとき、実数 x、y の値を求めてください。答えは整数で示します。

A = [ 2  x  5 ]       B = [ 2  7  5 ]
    [ y  4  1 ]           [ 3  4  1 ]

どちらも2行3列です。図2のように、x は1行2列、y は2行1列にあります。対応する位置を比べると、順に次の条件が得られます。

2 = 2
x = 7
5 = 5
y = 3
4 = 4
1 = 1

したがって x = 7、y = 3 です。文字のない4か所も一致しています。求めた値を A に戻すと、上の行は2、7、5、下の行は3、4、1となり、B の各位置と一致します。

図2では同じ色の枠が比較する位置を示します。例えば x と3はともに文字の近くにありますが、行と列が異なるので対応しません。対応先を選ぶときに数の大小や左右の行列の近さは使わず、各行列の左上を起点に数えます。

この例を棚の個数表と読むなら、行を棚A、棚B、列を品目P、Q、Rの順に固定します。x = 7 は棚Aの品目Qが7個、y = 3 は棚Bの品目Pが3個という意味です。6か所の個数を同じ見出しのもとで比べているため、表としても一致します。行列の記号だけでは見出しや単位までは伝わらない点に注意します。

標準例題：同じ文字が2か所にあるとき

次の2つの行列が等しくなる実数 t を求めてください。存在しない場合は、その理由を示します。

C = [ t + 1  8 ]       D = [ 6  8 ]
    [ 2t     3 ]           [ 10 3 ]

両方とも2行2列なので、型の条件は満たします。1行1列と2行1列を比べると、次の2つの条件が必要です。

t + 1 = 6
t = 5
2t = 10
t = 5

どちらも t = 5 を要求します。残る位置は8と8、3と3なので、t = 5 はすべての条件を満たします。実際に C の文字を置き換えると、左列は上から6、10で、D の左列に戻ります。答えは t = 5 です。

ここで D の2行1列が12だったら、同じ手順は t = 6 も要求します。1行1列の t = 5 と両立しないため、その変更後の問題には解がありません。どちらか一方を選ぶのではなく、同じ t が両方の位置の条件を満たす必要があります。計算自体が正しくても、条件を1つ落とすと存在しない解を出してしまいます。

発展例題：型と文字の条件を分ける

次の行列 E、F、G について、E = F となる実数 a、b を求め、E = G となる実数 a、b が存在するか判定してください。存在する場合は整数で示し、存在しない場合は理由を示します。

E = [ a + 2  b - 1  4 ]
    [ 2a     b + 1  6 ]

F = [ 5  4  4 ]       G = [ 5  4 ]
    [ 6  6  6 ]           [ 4  6 ]
                           [ 6  6 ]

E と F は2行3列です。対応する文字の位置から、次の条件を得ます。

a + 2 = 5
a = 3
b - 1 = 4
b = 5
2a = 6
a = 3
b + 1 = 6
b = 5

1行3列は4、2行3列は6で、それぞれ一致します。a = 3、b = 5 を E に戻すと、上の行は5、4、4、下の行は6、6、6です。F と位置ごとに一致するので、この組が答えです。各文字を別々の位置で2回点検していることが、条件の両立を確認する理由です。

一方、G は3行2列です。E と G はどちらも成分が6個あり、a = 3、b = 5 のとき同じ数が同じ個数だけ現れます。それでも行数と列数がそれぞれ違います。文字をどの実数にしても型は変わらないため、E = G とする組は存在しません。成分を別の行に移す操作は、元の行列を変更することになります。

この違いは表の意味にも表れます。E と F を2つの場所について3種類の備品数を示す表とすると、G はそのままでは3行2列です。行を場所、列を品目とする約束のもとでは、同じ分類の表として位置を照合できません。型の不一致を文字の計算で補うことはできません。

誤答を位置に戻して直す

次の2つは等しいでしょうか。

H = [ 1  4 ]       J = [ 4  1 ]
    [ 2  7 ]           [ 2  7 ]

「1、2、4、7が両方にあるから等しい」という答えは誤りです。両方とも2行2列ですが、1行1列を比べると H は1、J は4です。この1か所の不一致で相等は成立しません。1行2列も4と1で異なります。

図3のように、左上どうしを枠で結んでから数を読みます。数の集合に注目したことが誤りの原因です。直すときは型を記し、対応位置ごとに比較します。不一致を1つ見つければ「等しくない」という結論の根拠になりますが、等しいと主張するには残りの位置も確認します。

文字の問題でも同様です。1つの位置から文字の値が決まった後、別の位置で不一致が残れば解はありません。また、型が違う行列に対して、成分の個数が同じだからと文字の方程式を作り始めるのも誤りです。型が合わない時点で相等は成立しないと判断します。

条件を読み落とさないためには、比較した位置に印を付ける方法も有効です。左上から右へ進み、次の行へ移る順番を決めれば、文字のない成分を飛ばしにくくなります。文字から求めた値が複数あるときは、各値を個別に吟味するだけでなく、同じ組として全位置に代入します。求めた組が元の相等を満たすことまで示せば、必要な条件と十分な確認がつながります。

練習問題

各問の文字は実数とします。数を求める場合は整数で答え、存在しないときは理由も示してください。

次の行列が等しいか判定し、理由を示してください。

[ 9  3 ]     [ 9  3 ]
[ 5  8 ]     [ 8  5 ]

次の相等を満たす p、q を求めてください。

[ p  11  2 ] = [ 6  11  2 ]
[ 0  q   9 ]   [ 0   4  9 ]

次の相等を満たす r を求めてください。

[ r + 3  1 ] = [ 10  1 ]
[ 3r     2 ]   [ 21  2 ]

次の相等を満たす s が存在するか判定してください。

[ s - 2  6 ] = [ 2  6 ]
[ 2s     1 ]   [ 10 1 ]

行を机A、机B、列を鉛筆、消しゴムの順とする個数表が、同じ順序の記録と一致します。次の相等を満たす u、v を求め、机Bの鉛筆と消しゴムの個数を答えてください。

[ u + 1  3 ] = [ 8  3 ]
[ v - 2  5 ]   [ 4  5 ]

練習問題の解答と解き方

等しくありません。どちらも2行2列ですが、2行1列は左が5、右が8です。2行2列も8と5で異なります。同じ数を使っていても位置が違います。
型はともに2行3列です。1行1列と2行2列から、次のように求めます。

p = 6
q = 4

残りの位置は11、2、0、9がそれぞれ一致します。左の行列に戻すと右の行列の各位置と一致するため、p = 6、q = 4 です。

型はともに2行2列です。文字を含む位置を比べます。

r + 3 = 10
r = 7
3r = 21
r = 7

他の位置も1と1、2と2で一致します。r = 7 を戻すと左列は10、21となり、右列に一致します。したがって r = 7 です。

型はともに2行2列ですが、文字を含む位置から次の条件が出ます。

s - 2 = 2
s = 4
2s = 10
s = 5

同じ s が4と5の両方になることはないので、解は存在しません。s = 4 では左下が8となり10に戻らず、s = 5 では左上が3となり2に戻りません。文字のない位置が一致していても、矛盾は解消しません。

どちらも2行2列で、行と列の順序も同じです。対応する位置から次を得ます。

u + 1 = 8
u = 7
v - 2 = 4
v = 6

代入後の左の表は上の行が8、3、下の行が4、5です。右の記録の各位置に戻ります。よって u = 7、v = 6 で、机Bには鉛筆4個、消しゴム5個があります。v 自体は鉛筆の個数ではなく、v − 2 がその個数です。

覚えておくこと

行列の相等には、行数と列数がそれぞれ一致することが必要です。同じ型なら、同じ行・同じ列の成分を照合します。文字の条件は同時に満たし、文字のない位置も点検します。求めた値は元の行列と、表なら見出しと単位へ戻して確かめます。

記録からつまずきを見分ける

型の判定で止まる人には、行の数と列の数を別々に書いた記録を確かめます。成分数だけを数えていたら、2行3列と3行2列を実際に描き、左上から行と列を数え直します。対応位置で迷う人には、式を書く前に両方の行列の同じ位置に印を付けてもらいます。印が別の位置に付くのか、印は正しいのに数の読み取りを誤るのかで、次の確認箇所が変わります。

個別指導では、文字の値を求めた式だけでなく、代入後の行列と照合の記録も見ます。ある位置から値を出せても、別の位置に矛盾が残る例を自分で説明できるかを確かめます。数量表では見出しと単位を声に出して読み、同じ位置が同じ数量を表すかも調べます。行列の相等は、数と位置の両方をそろえて初めて判定できます。