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高校数学C 式と曲線の解法選択—距離と接線と表示の条件から解く順を決める｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学C 式と曲線を掘り下げる

距離の和と差から曲線を決定した後、枝の指定、媒介変数の範囲、接点の条件を順に照合して解答を仕上げます。

よくあるのは、理系の高校3年生が曲線の式を変形し始めてから、必要なのは双曲線の片方の枝だったと気づく場面です。得られた式が正しくても、点の動く範囲や接点の条件を落とせば答えは変わります。先に距離の意味を読み、曲線を決め、その後で表示や接線を選ぶ順番を作りましょう。

問いの順番を見つける

複数の条件が並んだ問題では、すぐに接線や媒介変数の公式へ進むとは限りません。まず焦点と距離の条件が何を決めるかを調べ、決まった曲線の上で後半の問いを処理します。次の3つの型を見分けると、使う文字と必要な確認が整理できます。

2点からの距離の和が一定なら、焦点間距離と和を比べ、楕円が存在するか調べます。曲線が決まってから、指定された弧を媒介変数の範囲に対応させます。
距離の差の絶対値が一定なら、双曲線の2つの枝を候補にします。差の順序や座標の条件があれば、それを戻して必要な枝を選びます。
焦点と準線への等距離なら、放物線を求めます。点が指定された接線では、その点が曲線上にあることを確認してから連立し、共有点の重なりを見ます。

同じ「求める」という指示でも、曲線全体を答えるのか、部分を答えるのか、直線を答えるのかで最後の確認が異なります。条件を短く書き出し、「曲線の決定」「部分の選択」「後半の計算」の3段階に分けると、式を出した時点で満足する誤りを防げます。

距離から曲線を決め、必要な部分を残す

2焦点を F、G、動点を P とします。PF + PG = 2a で焦点間距離が 2c のとき、a > c > 0 なら楕円です。焦点が (±c, 0) にある場合、b² = a² − c² とおくと、式は x²/a² + y²/b² = 1 です。和が焦点間距離と等しければ線分になり、それより小さければ点はありません。どちらも通常の楕円として扱えません。

一方、|PF − PG| = 2a で 0 < a < c なら双曲線です。焦点が同じ横軸上にあるとき、b² = c² − a² として x²/a² − y²/b² = 1 となります。差の絶対値には左右の枝が含まれます。PF − PG と順序まで決めた条件なら、絶対値の式だけで終えずに符号を確認します。差が焦点間距離以上の場合は、通常の双曲線を作れません。

焦点からの距離と準線までの距離が等しい条件は放物線です。焦点 (p, 0)、準線 x = -p、p ≠ 0 のとき、距離はどちらも非負なので、等式を二乗して y² = 4px を得られます。逆にこの式上の点でも、非負の距離の二乗が等しいため、元の等距離条件に戻れます。

図1のように、距離の和・差・等距離を入り口として選び、その後の条件を別の段階で扱います。楕円では x = a cos t、y = b sin t が使えますが、範囲指定のある問題では t の端点を含むかどうかまで調べます。双曲線の標準形からは2枝が出るため、片方の枝を選ぶ条件も添えます。

図1では、距離の条件と表示・接線の問いを矢印でつないでいます。式が1本出ても、曲線の種類、存在、必要な点の範囲が確定したかを順番に点検してください。例えば楕円の媒介変数では、消去して曲線の式を得る向きに加え、指定された曲線上の各点に範囲内の t が存在する逆向きも必要です。

基本例題：焦点から楕円を決めて弧を表す

2点 F(-3, 0)、G(3, 0) からの距離の和が 10 である点 P の軌跡を求めます。さらに、そのうち x ≥ 0、y ≥ 0 の部分を、三角関数の媒介変数 t とその範囲で表してください。係数は整数で答えます。

まず焦点間距離は 6 で、指定された和 10 より小さいため、通常の楕円が存在します。長半径を a、焦点までの距離を c とすると、次の通りです。

2a = 10
2c = 6
a = 5
c = 3
b² = a² - c²
   = 25 - 9
   = 16

したがって軌跡は x²/25 + y²/16 = 1 です。図2のように、頂点は (±5, 0)、(0, ±4) で、焦点は横軸上にあります。和が長軸の長さを決め、焦点までの距離が残りの半軸を決めることを図と式で対応させます。

図2の赤い弧に当たる第1象限とその軸上の端点を含む部分は、次のように表せます。

x = 5 cos t
y = 4 sin t
0 ≤ t ≤ π/2

この範囲の t では cos t と sin t がともに非負なので、表示された点は指定部分にあります。逆に、指定部分の任意の点について x/5 と y/4 は非負で、二乗の和は 1 です。したがって 0 ≤ t ≤ π/2 に cos t = x/5、sin t = y/4 を満たす t があり、欠ける点はありません。t = 0 は (5, 0)、t = π/2 は (0, 4) なので、両端も含まれます。

元の距離条件にも戻します。楕円上では |x| ≤ 5 なので、5 ± 3x/5 は正です。例えば F からの距離の二乗は、式 y² = 16(1 − x²/25) を代入すると次の通りです。

(x + 3)² + y²
= x² + 6x + 9 + 16 - 16x²/25
= (5 + 3x/5)²

同様に G からの距離は 5 − 3x/5 です。両方の距離の和は 10 に戻ります。二乗した式の一致だけでなく、平方根を取る前に両方が正である点も使っています。

端点を含めない 0 < t < π/2 を答えると、元の不等号に含まれていた2点が欠けます。また、0 ≤ t ≤ 2π とすれば楕円全体を表してしまいます。式と範囲を一組で書くことが、この問いの仕上げです。

標準例題：差の順序で双曲線の枝を選ぶ

焦点 F(-5, 0)、G(5, 0) に対し、PF − PG = 6 を満たす点 P の軌跡を求めます。その軌跡上の点 A(5, 16/3) における接線を求めてください。軌跡と接線は分数を用いた式で答えます。

まず焦点間距離は 10、距離差は 6 です。0 < 6 < 10 なので、絶対値条件 |PF − PG| = 6 から双曲線を得られます。長さを決めて式を作ります。

2a = 6
2c = 10
a = 3
c = 5
b² = c² - a²
   = 25 - 9
   = 16
x²/9 - y²/16 = 1

この式には2枝があります。PF − PG = 6 は PF > PG を要求します。2距離の二乗の差は (x + 5)² + y² − {(x − 5)² + y²} = 20x なので、この条件から x > 0 です。双曲線上で x > 0 なら x ≥ 3 となります。

逆に右枝の点について、x ≥ 3 と y² = 16(x²/9 − 1) を使うと、距離はそれぞれ 5x/3 + 3、5x/3 − 3 です。どちらも正なので、差は確かに 6 です。求める軌跡は x²/9 − y²/16 = 1 かつ x ≥ 3 です。左枝では距離の差の符号が逆になるため、元の条件には入りません。

接線を求める前に、点 A が右枝上にあるか調べます。

5²/9 - (16/3)²/16
= 25/9 - 16/9
= 1
5 ≥ 3

A を通る傾き m の直線を y = m(x − 5) + 16/3 とします。x = 5 + u とおいて代入し、u の式に整理します。

16(5 + u)² - 9(16/3 + mu)² = 144
(16 - 9m²)u² + (160 - 96m)u = 0

u = 0 が接点 A に対応します。そこで2つの共有点が A に重なるには、一次の係数が 0 です。

160 - 96m = 0
m = 5/3
16 - 9m² = -9 ≠ 0

最後の非零確認により、確かに二次式の重解です。よって接線は y − 16/3 = (5/3)(x − 5)、整理すると 5x/9 − y/3 = 1 です。垂直線 x = 5 は y = ±16/3 の2点で交わるため接線ではありません。A の距離も PF = 34/3、PG = 16/3 となり、差が 6 に戻ります。

この例で二次係数が 0 の場合を見ずに重解の条件だけを書くと、一次式へ変わる直線を誤って接線と扱うおそれがあります。接点での重なりを調べる際は、代入後の次数を最後まで確認します。

発展例題：等距離から上側の表示と接線へ

焦点 F(2, 0) と準線 x = -2 から等距離にある点 P の軌跡を求めます。さらに y ≥ 0 の部分を実数 t で表し、その範囲を示してください。点 A(2, 4) での接線も求めます。式の係数は整数で答えます。

焦点までの距離と準線までの距離はいずれも非負です。その等式を二乗して整理します。

点 P(x, y) について、PF = √((x − 2)² + y²)、準線への距離は |x + 2| と表せます。PF = |x + 2| の両辺を二乗し、左右の差を取ると、次の計算になります。

PF² - |x + 2|² = 0
x² - 4x + 4 + y² - (x² + 4x + 4) = 0
y² - 8x = 0

したがって、求める方程式は y² = 8x です。

逆に y² = 8x を満たす点では x ≥ 0 です。上の二乗した等式が成立し、両距離は非負なので、元の等距離条件も成立します。よって軌跡は放物線 y² = 8x です。

上側を表すには y = 4t とおくとよいでしょう。y ≥ 0 は t ≥ 0 に対応し、式への代入から x = 2t² です。

x = 2t²
y = 4t
t ≥ 0

この表示から得られる点は放物線上で y ≥ 0 です。逆に任意の上側の点には t = y/4 ≥ 0 が対応し、元の座標を再現します。t = 0 で頂点 (0, 0) も含みます。t に全実数を許すと下側まで含むので、範囲が不可欠です。

A は 4² = 8・2 を満たし、上側にもあります。A を通る非垂直な直線を y = m(x − 2) + 4 とし、u = x − 2 として連立します。

(mu + 4)² = 8(u + 2)
m²u² + (8m - 8)u = 0

接点で重解となるには 8m − 8 = 0、すなわち m = 1 です。このとき二次係数 m² = 1 も非零です。接線は y = x + 2 で、元の放物線に戻すと次のように重なりを確認できます。

(x + 2)² = 8x
(x - 2)² = 0

垂直線 x = 2 は y = 4 と y = -4 の2点を通るため、A における接線ではありません。焦点から A までの距離は 4、準線までの距離も 4 です。接点への所属、元の距離、共有点の重なりがそろって初めて、求めた直線を採用できます。

誤答から条件を拾い直す

標準例題で「x²/9 − y²/16 = 1 が答え」とする誤答を考えます。距離差の絶対値から得た式自体は正しいのですが、元の PF − PG = 6 には距離の順序があります。式のままでは、図3の左枝まで含めてしまいます。

図3のように、右の頂点 (3, 0) は PF = 8、PG = 2 なので差が 6 です。左の頂点 (-3, 0) は PF = 2、PG = 8 なので差は -6 です。原因は絶対値を付けた段階で失った符号を、式から戻す段階で確認しなかったことです。x ≥ 3 を加えると、正しい右枝になります。

別の誤りは、放物線上にない点を接点として扱うことです。例えば上の放物線について (2, 3) は 3² ≠ 8・2 なので、そこを接点とする直線はありません。この点を通る接線を探す別の問いなら、接点を未知数にする必要があります。点を通ることと点で接することは条件が違います。

楕円の表示でも、式を消去して楕円になっただけでは範囲の証明が終わりません。t の範囲を満たす点が指定部分に入る向きと、指定部分の点を t で表せる向きの両方を調べます。計算の途中で失われた符号、端点、存在条件を元の問いへ戻すのが修正の手順です。

練習問題

問題を先にまとめて解いてから、後の解答で距離や範囲まで照合してください。方程式は整数または分数を使い、角は弧度法で表します。

焦点 (-4, 0)、(4, 0) からの距離の和が 10 の点の軌跡を求め、x ≤ 0、y ≥ 0 の部分を三角関数の媒介変数とその範囲で表してください。
F(-√13, 0)、G(√13, 0) に対し |PF − PG| = 4 の軌跡を求め、さらに PF − PG = -4 の部分を不等号で指定してください。
焦点 (3, 0)、準線 x = -3 の等距離条件から軌跡を求め、点 (3, 6) における接線を求めてください。
焦点 (-2, 0)、(2, 0) からの距離の和が 4 である点の集合を、不等号を用いて表してください。通常の楕円であるかも答えてください。
焦点 (1, 0)、準線 x = -1 の等距離条件で定まる曲線のうち、-2 ≤ y ≤ 0 の部分を t = y/2 として表示し、t の範囲を求めてください。

練習問題の答えと道筋

1. 左上の弧

焦点間距離は 8 で和 10 より小さいため、楕円が存在します。a = 5、c = 4 から b² = 25 − 16 = 9 です。

x²/25 + y²/9 = 1
x = 5 cos t
y = 3 sin t
π/2 ≤ t ≤ π

この範囲では x ≤ 0、y ≥ 0 です。逆に左上の任意の点は、cos t = x/5、sin t = y/3 を満たす範囲内の角で表せます。両端は (0, 3)、(-5, 0) です。軌跡全体では各焦点からの距離が 5 ± 4x/5 となり、|x| ≤ 5 で非負、和は 10 です。

2. 絶対値と符号を分ける

2a = 4、2c = 2√13 で、0 < 2 < √13 です。よって通常の双曲線があり、a² = 4、b² = 13 − 4 = 9 から軌跡は次です。

x²/4 - y²/9 = 1

PF − PG = -4 なら PF < PG です。2距離の二乗の差は 4√13 x なので x < 0、式と合わせて x ≤ -2 です。逆に左枝上では PF = -√13 x/2 − 2、PG = -√13 x/2 + 2 で、両距離は非負かつ差は -4 です。右枝も絶対値の条件には入りますが、符号を指定した部分には入りません。

3. 接点の所属と重解

両距離を二乗し、非負性で逆も確かめると、軌跡は y² = 12x です。(3, 6) は 6² = 12・3 を満たします。点を通る直線を y = m(x − 3) + 6、u = x − 3 とおきます。

(mu + 6)² = 12(u + 3)
m²u² + (12m - 12)u = 0
12m - 12 = 0
m = 1

このとき二次係数は 1 ですから重解になります。接線は y = x + 3 です。代入すると (x − 3)² = 0 となります。垂直線 x = 3 は (3, 6) と (3, -6) を通り接線ではありません。接点から焦点までの距離と準線までの距離はいずれも 6 です。

4. 和が焦点間距離に等しい場合

三角不等式により、2点からの距離の和は焦点間距離 4 以上です。等号は2焦点を結ぶ線分上で成り立つため、点の集合は y = 0、-2 ≤ x ≤ 2 です。各点で |x + 2| + |x − 2| = 4 に戻ります。a = c = 2 とすると b² = 0 なので、正の短半径を持つ通常の楕円ではありません。