高校数学C 極方程式の交点—角の周期と原点を分けて同じ点の条件を調べる｜武蔵野個別指導塾

円や曲線を例に、原点と角の範囲を別に調べます。焦点は極方程式の交点です。

理系の高校3年生が、2つの極方程式の右辺を等しくして角を求め、その解だけで交点を確定する場面を考えます。計算は合っていても、原点を通る角が曲線ごとに違えば、その原点を見落とすことがあります。また、同じ向きの角でも、問題で許された範囲に代表があるか調べなければなりません。式の解と平面上の点を往復して、何を数えているのか確かめましょう。

交点を探す3つの場面

まず、2曲線が同じ角の区間で表され、原点以外の共有点を求める場面です。原点以外では同じ点の向きが周期 2π を除いて決まるので、角をそろえて半径を比べられます。ただし、得られた半径が非負であることも必要です。

次に、両方が原点を通る場面です。原点では向きが決まらないので、片方が角 α、もう片方が角 β で原点に達しても共有点です。α と β が一致する必要はありません。右辺を等しくする計算からは、この点が抜けることがあります。

最後に、2曲線の角の範囲が異なる場面です。角を同じ文字にして等式を解く前に、片方の角に 2π の整数倍を加えてもう片方の範囲に入るかを考えます。同じ幾何学的な曲線の一部でも、範囲の指定で端点が含まれないことがあります。

点を表す組と、点そのもの

極 O からの距離を r、始線からの角を θ とし、r ≥ 0、角は弧度法で扱います。直交座標との関係は x = r cosθ、y = r sinθ です。原点以外の共有点では r > 0 となり、2つの曲線で用いる角の差を 2π の整数倍として対応させられます。一方、r = 0 ならどの角も原点を表します。図1のように、原点での角と原点以外の角は扱いが違います。

図1では点 P の向きを θ と θ + 2π のどちらでも表せます。原点 O は向きを決められません。負の半径を使う約束を混ぜず、指定された半径が負になる角は採用しないでおきます。

2つの式が r = f(θ)、r = g(θ) で、両方の角が 0 ≤ θ < 2π のとき、原点以外の交点は f(θ) = g(θ) > 0 を解けば探せます。なぜ十分なのでしょうか。同じ θ と同じ正の r が得られれば、直交座標も一致します。逆に原点以外の共有点なら、その点の角は区間内にただ1つあるので、同じ θ を両式に入れられます。原点については、それぞれの式が許された角で r = 0 となるかを別々に調べます。

角の範囲が違う場合には、この理由をそのまま使えません。例えば一方が 0 ≤ θ < π、他方が 2π ≤ φ < 3π なら、同じ向きは φ = θ + 2π で対応します。θ = φ と置くと範囲が重ならず、存在する共有点まで失います。区間端の等号も確認し、同じ点を2回数えないようにします。

直交座標に直せる場合は、独立した照合に使えます。ただし、変換後の式が元の曲線の一部分より広い点集合を表すことがあります。候補ごとに元の半径と角の範囲へ戻す作業が必要です。特に r で割ると原点を失うため、割る前に原点を調べます。

連立の前に整理すること

答案の余白に、各曲線の角の範囲と半径が0以上となる範囲を書きます。角の範囲に入っていても、式の右辺が負なら、その角は r ≥ 0 の曲線上の点を与えません。例えば r = 2 cosθ では、cosθ < 0 の角は使えません。cosθ = 0 の角では原点になり、正の半径の計算とは分けて扱います。

原点以外で角を対応させるときは、角の差が 2π の整数倍であることを使います。区間が一周より長ければ、同じ点に複数の角が対応する場合があります。そのとき方程式の解をそのまま数えず、座標または周期によって重複をまとめます。区間の両端がともに含まれ、差が 2π である場合も、端の2つは同じ向きです。

一方、角の区間が一周未満なら、直交座標の式に直して得た曲線の一部しか描いていないことがあります。候補の座標から半径を非負に求め、その点の象限に合う角を選びます。さらに角の代表を 2π ずつ動かし、各曲線の範囲に入るものがあるか調べます。原点以外ではこの逆向きの確認によって、変換で広がった余分な候補を除けます。

答えを極座標で指定された場合も、同じ点を表す角を指定の区間内で選ぶ必要があります。原点は指定範囲に含まれる、それぞれの式を満たす角が存在すれば共有点ですが、両方に共通する角を無理に探す必要はありません。座標としては原点を1回数えます。半径が正か0かを先に仕分けると、どの条件を使う場面かが明確になります。

基本例題：2つの円の共有点

2曲線 r = 4 cosθ、r = 4 sinθ を、いずれも 0 ≤ θ < 2π、r ≥ 0 で考えます。交点を直交座標で求めてください。

まず原点を調べます。前者は θ = π/2、後者は θ = 0 で r = 0 です。角は違いますが、どちらも原点を含みます。

次に r > 0 とします。共通の角の範囲が一周なので、同じ θ で半径を等しくできます。

4 cosθ = 4 sinθ
cosθ = sinθ
θ = π/4 または 5π/4

θ = 5π/4 では両方の半径が負なので除きます。θ = π/4 では r = 2√2 です。したがって座標は次の通りです。

x = 2√2 cos(π/4) = 2
y = 2√2 sin(π/4) = 2

交点は (0, 0)、(2, 2) です。図2のように、原点と第1象限の点を分けて見ます。

図2の円について、元の式に r を掛けると、それぞれ x² + y² = 4x、x² + y² = 4y です。2式の差から x = y、代入して 2x² = 4x となり、x = 0 または 2 です。逆向きも確認します。(2, 2) は r = 2√2、θ = π/4 で両式を満たし、原点も先に示した角で各式を満たします。よって余分な点はありません。

標準例題：角の区間がずれるとき

曲線 A を r = 3、0 ≤ θ < π、曲線 B を r = 6 cosφ、2π ≤ φ < 3π とします。r ≥ 0 とし、交点を直交座標で求めてください。

A の半径は常に 3 なので原点は含みません。原点を除く共有点について、同じ向きの角を対応させます。指定された区間から φ = θ + 2π です。これを B に代入すると cosφ = cosθ ですから、

3 = 6 cosθ
cosθ = 1/2
θ = π/3

0 ≤ θ < π の範囲ではこの1つです。対応する φ = 7π/3 は B の範囲に入り、半径は正です。座標は次のように求めます。

半径3に対し、横の成分は cos(π/3) = 1/2 を使って x = 3 × (1/2) = 3/2 と求めます。縦の成分には sin(π/3) = √3/2 を用いるので、y = 3 × (√3/2) = 3√3/2 となります。

B に戻すと 6 cos(7π/3) = 3 となり、同じ座標に着きます。直交座標でも A は x² + y² = 9、B は x² + y² = 6x の一部です。差から x = 3/2、さらに y = ±3√3/2 ですが、A の角の範囲は上半分と正の x 軸を表すので、負の y は採れません。直交式だけで2点と答える失敗は、元の角の制限へ戻して防げます。

発展例題：原点と正の半径を分ける

2曲線 r = 2(1 + cosθ)、r = 2(1 − cosθ) を、ともに 0 ≤ θ < 2π で表します。r ≥ 0 とし、交点を直交座標で求めてください。

どちらの右辺も 0 以上です。前者は θ = π、後者は θ = 0 で原点を通るため、原点は共有点です。次に原点以外では同じ角を使えます。

2(1 + cosθ) = 2(1 - cosθ)
2 cosθ = 0
cosθ = 0
θ = π/2 または 3π/2

両方とも r = 2 なので、座標は (0, 2)、(0, -2) です。答えは (0, 0)、(0, 2)、(0, -2) です。各点を元へ戻すと、2つの軸上の点はそれぞれ上記の角で両方の半径が 2 です。原点は異なる角で得られます。

この例で右辺を等しくする式だけを見ると、cosθ = 0 から2点しか得られません。計算の途中に誤りはありませんが、同じ点が同じ角で表されるという前提が原点では成り立たないのです。原点の確認を式変形の後に思い出すより、最初に別枠で記録すると漏れを点検しやすくなります。

誤答を直す：同じ角が必要なのはどこか

発展例題で「cosθ = 0 だから交点は (0, 2)、(0, -2) の2点」とする解答を考えます。原因は、原点でも2つの角が一致しなければならないと考えたことです。図3のように、原点に達する2つの角は異なります。

図3では前者が π、後者が 0 で r = 0 です。どちらも位置は O なので交点です。修正するときは、各式について「指定範囲内に半径0の角があるか」を調べ、両方にあれば原点を1点加えます。その後で正の半径の解を探します。

別の失敗は、等式から出た角の半径が負なのに点として数えることです。基本例題の 5π/4 がその例です。正の半径だけを考える前提へ戻し、各候補を元の式に代入します。また、分母を含む極方程式では、分母が0になる角は元の式の定義域に入るか先に調べます。交差して見える図だけで、式が定義されない角を採用してはいけません。

練習：候補を元の範囲へ戻す

次の各問で r ≥ 0 とします。答えは指定された形で表してください。角の区間は各式に明記したものを使います。

1. r = 6 cosθ と r = 6 sinθ を、ともに 0 ≤ θ < 2π で考えます。交点を直交座標で求めてください。
2. r = 5 と r = 10 cosθ を、ともに 0 ≤ θ < 2π で考えます。交点を直交座標で求めてください。
3. r = 4、π ≤ θ < 2π と、r = 8 cosφ、3π ≤ φ < 4π の交点を直交座標で求めてください。
4. r = 3(1 + sinθ) と r = 3(1 − sinθ) を、ともに 0 ≤ θ < 2π で考えます。交点を直交座標で求めてください。
5. r = 2、0 ≤ θ < π/2 と、r = 4 sinφ、0 ≤ φ ≤ π/2 の交点を直交座標で求めてください。

解答と確認

1. 原点は前者では θ = π/2、後者では θ = 0 で得られます。正の半径については

6 cosθ = 6 sinθ
θ = π/4 または 5π/4

5π/4 は半径が負なので除きます。π/4 では r = 3√2 となり、交点は (0, 0)、(3, 3) です。(3, 3) の半径は 3√2、角は π/4 で、両式へ戻ります。

2. 半径 5 の曲線は原点を含みません。正の半径の条件で

5 = 10 cosθ
cosθ = 1/2
θ = π/3 または 5π/3

両角で半径は 5 です。交点は (5/2, 5√3/2)、(5/2, -5√3/2) です。どちらも x² + y² = 25、10 cosθ = 5 を満たし、元の2曲線に戻ります。

3. 最初の曲線は原点を含みません。同じ向きでは φ = θ + 2π と対応します。

4 = 8 cos(θ + 2π)
cosθ = 1/2
θ = 5π/3

指定範囲に入るのはこの角です。φ = 11π/3 も指定範囲に入り、両方の半径は 4 です。交点は (2, -2√3) です。上側の点は最初の角の範囲に入らないため除きます。

4. 最初の曲線は θ = 3π/2、次の曲線は θ = π/2 で原点を通ります。正の半径では

3(1 + sinθ) = 3(1 - sinθ)
sinθ = 0
θ = 0 または π

それぞれ r = 3 です。交点は (0, 0)、(3, 0)、(-3, 0) です。軸上の2点は対応する角で両式へ戻り、原点もそれぞれの角で得られます。

5. 最初の曲線は原点を含みません。角の共通部分で正の半径を比べると、

2 = 4 sinθ
sinθ = 1/2
θ = π/6

この角は両方の範囲に入り、半径は 2 です。交点は (√3, 1) です。もう一方の正弦の解 5π/6 は指定範囲外です。端の π/2 は後者に含まれますが、前者には含まれません。候補を両方の区間で照合します。

要点を手元に残す

原点を各曲線で別々に調べます。
正の半径では角を 2π の周期で対応させます。
候補の半径と角の範囲を元の式へ戻します。
直交座標の候補にも範囲の確認が必要です。

解答のどこで止まったかを見分ける

等式を解けても原点の欄が空いていれば、両曲線がそれぞれどの角で r = 0 になるかを先に書き出します。両方に角がある場合、その角が違っても同じ原点です。反対に、片方だけが原点を通るなら共有点には入りません。

個別指導で確認するときは、答案の各候補について「この点を表す角が各区間にあるか」「その角で半径は非負か」を本人に元の式で示してもらいます。直交座標へ移した後に範囲を忘れた場合は、図の半平面と端点を式の不等号に対応させます。交点の個数は、角の解の個数ではなく、条件を満たす点の個数です。