高校数学C 楕円の媒介変数—三角関数の角と偏角を区別して点の動きを追う｜武蔵野個別指導塾

三角関数で表す楕円上の点を追い、媒介変数の角と偏角を区別して、端点の包含や通過回数を判断します。

よくあるのは、楕円上の点と原点を結んだ線がx軸となす角を、そのまま媒介変数の t と書いてしまう場面です。円では同じ角に見えるため、横長の楕円でも同じ図を描きたくなります。しかし縦と横の伸び方が違えば、原点から見た方向も変わります。式が示す点と角を別々に追い、指定された範囲でどの弧が何回現れるかまで確かめましょう。

点の位置と動きは別の問い

出方の1つは、x = a cos t、y = b sin t から曲線の方程式と動く範囲を求めるものです。平方して足せば楕円の式が出ますが、それは各点が楕円上にあるという必要条件です。指定区間に適切な t があるかを逆向きに調べなければ、弧全体を答えたことにはなりません。

もう1つは、始点と終点、動く向き、同じ点を通る回数を問うものです。端点の包含と周期が重要です。例えば長さが2πの閉区間では、始点と終点に同じ位置が現れます。点の集合を答えるのか、訪れる回数を答えるのかで、この重複の扱いが変わります。

3つ目は、媒介変数の角と原点からの方向を比較する問題です。方向の角をここでは偏角と呼び、正のx軸から反時計回りに測ります。角は弧度法で表します。楕円上の点は原点ではないので方向が定まりますが、tan の値だけでは象限が決まりません。

円の点を縦に縮めると何が変わるか

a > b > 0 とし、原点中心の円 x² + y² = a² 上の点を Q = (a cos t, a sin t) とします。Qのy座標を b/a 倍し、x座標をそのままにした点を P とすると、

x = a cos t
y = b sin t

です。図1のように、t は円の半径 OQ が正のx軸となす角です。PとQの横座標は等しく、sin t > 0ならPはQより下、sin t < 0ならPはQより上に来ます。sin t = 0では両点が重なります。縦座標だけを縮めるため、OPとOQの方向は一般には異なります。図では a = 4、b = 2、t = π/3 なので、Q = (2, 2√3)、P = (2, √3) です。

図1では円の角 t と OP の方向が異なります。Pの偏角を θ とし、cos t が0でない場合に限って傾きを比べると、

tan θ = y/x
      = (b/a) tan t

となります。この式は方向の傾きを表しますが、tan が等しい角は π だけ異なることもあります。xとyの符号で象限を確認してください。cos t = 0 では割れないので、Pが正または負のy軸上にあることを座標から直接読みます。軸上を含め、a = b の円では方向は t と一致しますが、a ≠ b の楕円では一般に一致しません。

表示から曲線を求めるには、aとbが正なのでそれぞれで割れます。

x/a = cos t
y/b = sin t
x²/a² + y²/b² = cos² t + sin² t
                    = 1

逆も必要です。楕円上の任意の点について u = x/a、v = y/b とおくと u² + v² = 1 です。単位円上の点 (u,v) に対応する角 t が存在し、そのとき元の2式へ戻ります。ただし、その角が問題の指定区間に入るとは限りません。区間を一周分に限らない場合も、角の周期と端点を別に確認します。

動く向きは、t を増やしたときの円上の点を追えば判断できます。縦の倍率 b/a は正ですから象限や上下の順序を保ちます。t = 0 で右端、π/2 で上端、πで左端、3π/2 で下端、2πで右端に戻り、反時計回りに1周します。例えば t を逆向きに動かす指定なら、点の向きも逆になります。楕円上の距離を等間隔に進むという意味ではありません。

媒介変数の区間が短いときは、端点の座標に加えて途中の点も調べます。端点だけでは、楕円上でそれらを結ぶ2つの弧のどちらかが決まらないからです。また、角を1周以上動かすと、同じ座標に戻る時刻が複数生じます。式を満たす点の種類と、点を訪れる時刻の個数は別々に記録すると混同を防げます。

基本例題：区間から弧を決める

点 P は x = 4 cos t、y = 2 sin t、0 ≤ t ≤ 2π/3 で動きます。軌跡を方程式と座標の範囲で表し、両端を根号を用いて示してください。また動く向きを答えてください。

まず4と2は正なので、両式を割って平方和を作れます。

x/4 = cos t
y/2 = sin t
x²/16 + y²/4 = 1

0 ≤ t ≤ 2π/3 では、cos t は 1 から -1/2 まで減り、sin t は0以上です。したがって各点は楕円の上半分で x ≥ -2 を満たします。端点はそれぞれ

t = 0: P = (4, 0)
t = 2π/3: P = (-2, √3)

です。図2の赤い部分が求める弧で、両端を含みます。

逆に、楕円上で y ≥ 0、x ≥ -2 の点を任意に取ります。u = x/4、v = y/2 は単位円上にあり、v ≥ 0、u ≥ -1/2 です。単位円の上半分でこの条件を満たす角は 0 ≤ t ≤ 2π/3 に取れます。その角を元の表示に戻すと選んだ点が得られます。よって軌跡は

x²/16 + y²/4 = 1、y ≥ 0、x ≥ -2

です。右端から上端 (0,2) を通り、(-2,√3) まで反時計回りに動きます。終点を代入すると 4/16 + 3/4 = 1 で、指定の t も実際に存在します。楕円の方程式だけを書くと下半分や左端付近まで加わり、元の条件に戻れません。

標準例題：同じ点を訪れる回数

点 P は x = 3 cos t、y = sin t、-π/2 ≤ t ≤ 7π/2 で動きます。点 (0,1) を通る t を π を用いてすべて求め、点の集合と巡回の様子を答えてください。

まず (0,1) に戻すには、3が0でないので

cos t = 0
sin t = 1

が同時に必要です。両方を満たすのは t = π/2 + 2nπ、nは整数です。指定区間に入るものを調べると、

-π/2 ≤ π/2 + 2nπ ≤ 7π/2
-1/2 ≤ n ≤ 3/2
n = 0、1
t = π/2、5π/2

です。どちらも cos t = 0、sin t = 1 を満たし、元の座標は確かに (0,1) です。区間の長さは 4π で、開始点と終了点はどちらも (0,-1) です。t が増える間、下端から右端、上端、左端を通って下端へ戻る動きを2回繰り返します。点の集合は x²/9 + y² = 1 の楕円全体です。開始点と終了点を含めるため、下端は途中の1回も含めて3回現れます。一方、上端の通過は上で求めた2回です。

この区別は境界の試験になります。区間が -π/2 < t < 7π/2 なら、下端の両端での訪問は除かれますが、途中の t = 3π/2 が残るので、点の集合は依然として楕円全体です。端点を除いただけで楕円からその点が欠けるとは限りません。

発展例題：偏角を指定された点

点 P は x = 6 cos t、y = 2 sin t、0 ≤ t < 2π で楕円上を動きます。原点から見た P の偏角が π/4 となるとき、Pの座標を根号を用いて求めてください。

偏角 π/4 は第1象限の方向なので、Pは x > 0、y > 0 かつ y = x を満たします。逆にこの3条件を満たす点の偏角は π/4 です。xとyが正であることを落とすと、第3象限の方向も混ざります。

楕円の方程式は x²/36 + y²/4 = 1 です。y = x を代入すると、

x²/36 + x²/4 = 1
10x²/36 = 1
x² = 18/5
x = 3√10/5

となります。最後は x > 0 から正の根を選びました。したがって P = (3√10/5, 3√10/5) です。元の媒介変数に戻すと、

cos t = √10/10
sin t = 3√10/10
cos² t + sin² t = 1/10 + 9/10 = 1

です。どちらも正なので、第1象限に指定区間内の t が存在します。さらに y/x = 1 で両座標が正だから、偏角は確かに π/4 です。t 自体を π/4 とすると座標は (3√2, √2) で、両座標が等しくなりません。傾きの式を使うなら tan t = 3 と求められますが、これをそのまま偏角と呼ばないことが要点です。

誤答を図で戻す

x = 4 cos t、y = 2 sin t で t = π/4 のとき、「点の偏角も π/4」とする答えを考えます。円の角を楕円へ移してしまったことが原因です。図3のように、対応する円の点から縦座標を半分にすると、原点からの線の傾きは小さくなります。

実際の点は P = (2√2, √2) です。図3で OP の傾きは 1/2 なので、偏角 θ は第1象限で tan θ = 1/2 を満たします。π/4 の正接は1であり、両者は異なります。座標を先に出してから方向を調べれば修正できます。x = 0 の場合は傾きで割らず、正のy軸なら π/2、負のy軸なら 3π/2 と判断します。

別の誤りは、平方和を作った後に指定区間を忘れ、楕円全体と答えることです。式への代入が正しくても、元の区間に戻る角がない候補は採用できません。逆向きの確認は、解法の最後に付け足す飾りではなく、点の集合を決めるための条件です。

練習：点と角を往復する

各問題で、座標は整数・分数または根号、角は π を用いて答えてください。

1. x = 5 cos t、y = 3 sin t、0 ≤ t ≤ π/2 の軌跡を方程式と不等式で表し、両端と向きを求めてください。
2. x = 2 cos t、y = 4 sin t、π/2 < t ≤ 3π/2 の軌跡を方程式と不等式で表し、含まれない端点を示してください。
3. x = 7 cos t、y = 2 sin t、0 ≤ t ≤ 4π において、点 (7,0) を通る t と回数を求めてください。
4. x = 8 cos t、y = 4 sin t、0 ≤ t < 2π で、偏角が 3π/4 の点の座標を求めてください。
5. x = 3 cos t、y = 2 sin t、0 ≤ t ≤ π/3 において、点 (-3,0) が軌跡に含まれるか、理由とともに答えてください。

練習の答えと確かめ方

1. 平方和より x²/25 + y²/9 = 1 です。指定区間では cos t、sin t はともに0以上なので、軌跡はこの式と x ≥ 0、y ≥ 0 を同時に満たす弧です。逆にその弧の点は単位円の第1象限または軸上の点に縮尺を戻せるため、指定区間の角が存在します。端点は (5,0)、(0,3) で、前者から後者へ反時計回りです。端点はいずれも元の表示に t = 0、π/2 を代入して得られます。

2. 軌跡は x²/4 + y²/16 = 1、x ≤ 0 から (0,4) を除いた弧です。対応する角は単位円の左半分の π/2 < t ≤ 3π/2 です。始点 (0,4) は除き、終点 (0,-4) は含みます。左端 (-2,0) は t = π で得られます。x < 0 としてしまうと、含むべき終点まで落とします。

3. 元の座標に戻すと cos t = 1、sin t = 0 が必要です。指定区間では t = 0、2π、4π の3回です。両端が含まれるため、2周であっても右端の訪問は3回になります。各値を代入すると、いずれも (7,0) に戻ります。

4. 偏角 3π/4 の点は x < 0、y > 0、y = -x を満たします。楕円 x²/64 + y²/16 = 1 に代入すると 5x²/64 = 1 です。符号から x = -8√5/5、y = 8√5/5 です。元の表示では cos t = -√5/5、sin t = 2√5/5 で、平方和は1です。第2象限の t が指定区間に存在し、座標の方向も求める偏角に一致します。

5. 楕円の式には (-3,0) が入りますが、元の表示には cos t = -1、sin t = 0 が必要です。指定区間の cos t は 1/2 以上なので、そのような t はありません。したがって含まれません。楕円上であることは必要条件であり、範囲内の角の存在まで保証しない例です。

手元に残す要点

円の角 t を使い、各座標を異なる倍率で伸縮して楕円を表します。 偏角は座標の符号と方向から求め、一般に t と区別します。 消去後は指定範囲の t が存在するか逆向きに調べます。 端点の包含と周期を分け、集合と通過回数をそれぞれ数えます。

どこで止まったかを見分ける

式は合うのに弧が違う場合、まず t の両端を元の表示に代入し、端点を含むかを確かめます。次に途中の軸との交点を1つ取ると、同じ端点を結ぶ別の弧との取り違えが見えます。偏角が違う場合は、OPの傾きを座標から計算し、円の角をそのまま移していないか調べます。

個別指導では、解答の楕円上に任意の候補点を1つ選び、その点を作る t が指定区間にあるかを本人の式で確かめます。回数を数える問題では開始点と終了点を別の時刻として書き出します。点の位置と、その点を訪れる角の区別が、楕円の動きを正確に読む手掛かりです。