高校数学C 媒介変数の消去—式だけでなく動く点の範囲まで元の条件から戻す｜武蔵野個別指導塾

点の往復と端点、分母が0になる場合を元の条件から追い、範囲まで決める媒介変数の消去です。

よくあるのは、理系の高3が媒介変数を消去して放物線の式を得たところで、その放物線全体を軌跡として描いてしまう場面です。元の変数が限られた区間しか動かないなら、点も曲線の一部分しか動かないかもしれません。式が合っていても、両端を含むかどうか、候補の点を実際に作れるかどうかは別に調べます。

どんな形で問われるか

媒介変数表示とは、動く数 t を使って点の座標を x = f(t)、y = g(t) のように表したものです。t に許された値を入れたときに生じる点全体を、その点の軌跡と呼びます。問題文の t の範囲は、式と同じくらい重要な条件です。

出方の1つは、多項式の表示から放物線などの方程式を作り、指定区間に対応する部分を答えるものです。端を含む不等号と含まない不等号の区別が、図の黒丸と白丸に対応します。もう1つは、分母を含む表示から直線などを得て、分母が0になる値や表せない点を調べるものです。3つ目は、同じ点を異なる t が与える場合です。軌跡の形と、点がそこを何回通るかは分けて考えます。

ここでは多項式と有理式の表示を扱います。三角関数による表示は別に考え、式を変えた後に元の t が存在することを確かめる手順に集中します。

消去は片道、軌跡の決定は往復

図1のように、許された t から点を作る向きと、候補の点から t を探す向きを分けます。消去で得た方程式は、元の点が必ず満たす必要条件です。その方程式を満たすすべての点が元の表示から作れると示して、初めて十分性も確保できます。

たとえば x = t²、y = t とすると、消去して x = y² です。逆に x = y² を満たす点なら t = y を選べば元の両式が成り立ちます。t に制限がなければ曲線全体が軌跡です。ところが t ≥ 0 の条件があれば、同じ消去式に加えて y ≥ 0 が必要です。逆向きにも t = y ≥ 0 と選べるので、この条件を付けた部分が軌跡になります。

消去の途中で二乗すると符号の情報が落ちることがあります。また、ある式で割るときは、その式が0の場合を先に扱います。分母のある表示では、最初に分母が0にならない t の範囲を確認してください。変形後の式から t を求める際にも、新しい分母が0になる候補点を別に調べます。

端点は、単に曲線上の位置だけでは決まりません。その点を与える t が範囲に含まれるなら端点を含み、与える t がすべて範囲外なら含みません。1つの点に複数の t が対応するときは、端の t 以外にもその点を作る値がないかを確認します。

基本例題：区間から放物線の一部を取り出す

点 P の座標を x = t + 1、y = t² とし、-2 ≤ t ≤ 1 とします。P の軌跡を方程式と x の範囲で表し、端点の座標を整数で求めてください。

まず x の式は t について解けます。係数1は0でないので、すべての x に対して t = x − 1 と戻せます。これを y の式へ代入します。

x = t + 1
 t = x - 1
 y = t²
   = (x - 1)²

次に、元の範囲の各辺に1を加えます。

-2 ≤ t ≤ 1
-1 ≤ t + 1 ≤ 2
-1 ≤ x ≤ 2

候補は y = (x − 1)²、-1 ≤ x ≤ 2 です。ここで終えずに逆を調べます。この条件を満たす任意の点について t = x − 1 と置くと、-2 ≤ t ≤ 1 です。さらに x = t + 1、y = t² の両方に戻ります。したがって候補の点はすべて作れ、これが軌跡です。

端点は t = -2 と t = 1 を元の式へ戻して求めます。前者は (-1, 4)、後者は (2, 1) で、どちらも範囲に含まれます。t = 0 では (1, 0) を通ります。図2のように、放物線全体ではなくこの2点の間の部分を描き、両端を塗った点で示します。

図2では t が増えるにつれて x は -1 から 2 まで増えます。y は 4 から 0 へ減った後、1 へ増えます。x の増減と y の増減は別なので、x が増えるから y も増えると判断してはいけません。端点も、式を消去する前の t の範囲から選ぶと迷いにくくなります。

標準例題：分母と欠ける点を分ける

実数 t について、t ≠ 1 とします。点 Q を x = (t + 2)/(t − 1)、y = 3/(t − 1) で定めます。軌跡を方程式と除く点で表してください。

元の式で t − 1 ≠ 0 ですから、両辺を t − 1 倍する操作ができます。x の分子を t − 1 と定数に分けると、y との関係が見えます。

 t + 2 = (t - 1) + 3
 x = 1 + 3/(t - 1)
 y = 3/(t - 1)
 x = 1 + y

よって Q は直線 x = y + 1 上にあります。しかし、元の式の y の分子は0でなく、分母は有限の非零実数なので y ≠ 0 です。直線上で y = 0 となる点 (1, 0) は候補から外れます。t = 1 を除くことと、点 (1, 0) を除くことは別の主張です。後者は上の式から確かめました。

逆に、直線上の点で y ≠ 0 とします。次のように t を定めれば、割る数は0ではありません。

 t = 1 + 3/y
 t - 1 = 3/y ≠ 0
 3/(t - 1) = y
 (t + 2)/(t - 1) = 1 + y = x

この t は実数で、元の禁止値1にもなりません。したがって答えは直線 x = y + 1 から (1, 0) を除いた点全体です。たとえば t = 2 なら (4, 3)、t = 0 なら (-2, -3) となり、どちらも直線上です。一方、除外点を元の式に戻すと 3/(t − 1) = 0 が必要ですが、そのような実数 t はありません。

分母が0に近い場合や t の絶対値が大きい場合を眺めても、欠ける点に近づくことと、その点を実際に取ることは同じではありません。点を取るかどうかは、有限の実数 t が元の式を満たすかで判定します。

発展例題：同じ部分を行き来する

点 R を x = t²、y = t⁴ とし、-2 ≤ t ≤ 1 とします。軌跡を方程式と範囲で表し、t が -2 から 1 まで増えるときの動きと、同じ点を2回通る範囲を求めてください。

まず t² は負になりません。t の範囲から |t| ≤ 2 なので、0 ≤ x ≤ 4 です。また、y は t² の平方なので次のように消去できます。

 x = t²
 y = t⁴ = (t²)²
 y = x²
 0 ≤ x ≤ 4

逆向きは、候補の x に対して t = -√x と選びます。0 ≤ x ≤ 4 なら -2 ≤ -√x ≤ 0 なので、この t は指定範囲にあります。t² = x、t⁴ = x² = y と戻るため、候補の点はすべて作れます。答えは y = x²、0 ≤ x ≤ 4 です。

動きは t の符号が変わる位置で分けます。t = -2 から 0 へ増える間、x = t² は 4 から 0 へ減ります。R は (4, 16) から (0, 0) へ進みます。t = 0 から 1 へ増える間は x が 0 から 1 へ増え、(0, 0) から (1, 1) へ戻ります。ここで「戻る」は経路上を逆向きにたどる意味です。

同じ x > 0 に対する t の候補は -√x と √x の2つです。負の候補は 0 < x ≤ 4 で範囲内、正の候補は 0 < x ≤ 1 で範囲内です。よって 0 < x ≤ 1 に対応する点は2回通り、x = 0 では t = 0 の1回、1 < x ≤ 4 では負の t による1回です。たとえば (1, 1) は t = -1 と t = 1 の両方で生じます。点集合としては重ねて1点ですが、通過回数は2回です。

誤答を直す：式だけでは端が決まらない

基本例題で「y = (x − 1)² の全体」と答えたとします。消去式自体は正しいものの、図3の白抜きの候補点 (-2, 9) まで含めてしまいます。この点は放物線の式を満たしますが、x = t + 1 に戻すと t = -3 です。元の -2 ≤ t ≤ 1 に入らないので、軌跡には含まれません。

修正は「式に代入して合う」だけでなく、「作った t が範囲に入る」まで調べることです。基本例題では t = x − 1 が一意に決まるので、別の t で (-2, 9) を作ることもできません。候補が複数ある表示なら、1つの t が範囲外でも残りの候補を調べる必要があります。

有理式で別の誤りが起こるのは、分母を払った式に分母0の場合まで含めるときです。払う前の条件を手元に残し、逆算で作った t も元の分母を0にしないか確認します。二乗の後で符号が消える場合も同様に、候補を元へ戻します。図3の反例は、必要条件を十分条件と誤認しているかを見分けるための点です。

練習：5つの表示を元に戻す

次の各問で、軌跡を指定の形で表してください。根号を使う場合は正の平方根の記号 √ を用い、端点を含むかも不等号で示します。

1. x = 2t − 1、y = t² + 1、-1 ≤ t < 2。方程式と x の範囲で表してください。
2. x = t² + 2、y = t² − 1、-3 ≤ t ≤ 1。方程式と x の範囲で表し、t = -3、0、1 における座標を整数で求めてください。
3. x = 1/(t + 2)、y = t/(t + 2)、t は -2 以外の実数。方程式と除く点で表してください。
4. x = t² − 1、y = 2t + 1、-2 < t ≤ 3。方程式と y の範囲で表してください。
5. x = t + 1/t、y = t − 1/t、t > 0。方程式と x の符号で表してください。

練習の答えと戻し方

1. 開いた端を残す

x = 2t − 1 から t = (x + 1)/2 です。2は0ではないので、逆算できます。

 y = t² + 1
   = (x + 1)²/4 + 1
-1 ≤ t < 2
-3 ≤ 2t - 1 < 3
-3 ≤ x < 3

答えは y = (x + 1)²/4 + 1、-3 ≤ x < 3 です。逆にこの範囲の x から t = (x + 1)/2 を作ると -1 ≤ t < 2 となり、両座標に戻ります。左端 (-3, 2) は t = -1 で含みます。右側の候補 (3, 5) は t = 2 が必要で、範囲外なので含みません。

2. 同じ二乗を引く

2つの式から共通の t² を引き出します。

 t² = x - 2
 y = (x - 2) - 1
   = x - 3
 0 ≤ t² ≤ 9
 2 ≤ x ≤ 11

答えは y = x − 3、2 ≤ x ≤ 11 です。逆には t = -√(x − 2) を選べば -3 ≤ t ≤ 0 で、指定範囲に入ります。このとき元の x と y の両式が成り立ちます。指定した順の座標は (11, 8)、(2, -1)、(3, 0) です。最後の点は t = -1 でも通りますが、軌跡の端は t = 1 に対応する点とは限りません。

3. 0になれない座標

分母 t + 2 は0ではありません。分子 t を (t + 2) − 2 と書きます。

 y = ((t + 2) - 2)/(t + 2)
   = 1 - 2/(t + 2)
   = 1 - 2x

x = 1/(t + 2) は0にならないため、直線 y = 1 − 2x から (0, 1) を除きます。逆に x ≠ 0 の直線上の点なら t = 1/x − 2 と選べます。すると t + 2 = 1/x ≠ 0、1/(t + 2) = x、t/(t + 2) = 1 − 2x = y です。除外点は元の x の式が0にならないことから作れません。

4. y を先に制限する

y = 2t + 1 の係数2は非零なので、t = (y − 1)/2 です。元の範囲を変換し、x に代入します。

-2 < t ≤ 3
-3 < 2t + 1 ≤ 7
-3 < y ≤ 7
 x = (y - 1)²/4 - 1

答えは x = (y − 1)²/4 − 1、-3 < y ≤ 7 です。逆に、この y から作る t は -2 < t ≤ 3 に入り、両式を満たします。y = -3 の候補 (3, -3) は t = -2 を必要とするため除き、y = 7 の点 (8, 7) は t = 3 で含みます。範囲を x に押し込むより、一意に t を戻せる y で示すと端の区別が明確です。

5. 二乗後の枝を選ぶ

t > 0 なので t は0でなく、1/t も正です。和と差を使うと次の関係が得られます。

 x + y = 2t
 x - y = 2/t
 (x + y)(x - y) = 4
 x² - y² = 4
 x = t + 1/t > 0

答えは x² − y² = 4、x > 0 です。逆にこの条件を満たす点では x² = y² + 4 なので x > |y| です。したがって x + y > 0 で、t = (x + y)/2 > 0 と選べます。

 1/t = 2/(x + y)
     = (x - y)/2
 t + 1/t = x
 t - 1/t = y

2行目には (x + y)(x − y) = 4 を用いました。これで元の式へ戻ります。たとえば (2, 0) は t = 1 で作れますが、(-2, 0) は消去式を満たしても x > 0 に反するので作れません。二乗で残った反対側の枝は、元の t の符号を使って除きます。

手元に残す要点

• 消去式はまず必要条件として扱います。
• 範囲、分母、端点を元の表示から調べます。
• 候補点から許された t を作り、両座標へ戻します。
• 複数の t があるとき、軌跡と通過回数を分けます。

途中式からつまずきを見分ける

消去式は合っているのに図が広すぎるときは、元の t の範囲を x または y のどちらへ移したかを確認します。たとえば基本例題なら、-2 ≤ t ≤ 1 の各辺に1を加えた行と、その端点を元の座標式に入れた行を見ると、範囲の抜けと符号の間違いを区別できます。

個別指導で確かめる箇所は、候補点から t を作る式と、その値が条件を満たす理由です。有理式なら逆算の分母が0でない理由、二乗を含む式なら正負の候補のうち範囲に入るものを口頭でも確かめます。点が1つ作れる例だけで終えず、任意の候補点に同じ手順を適用できるかまで書くと、軌跡の証明になります。