高校数学C 二次曲線と直線—共有点の個数を係数の退化と判別式から調べる｜武蔵野個別指導塾

直線を代入した式の二次係数から場合を分け、一次式への退化や垂直線でも共有点の個数を数えます。

よくあるのは、双曲線と直線を連立し、文字を含む二次方程式に判別式を使ってから、二次の項が消える値に気づく場面です。その値では式が一次方程式になることも、解を持たない定数の等式になることもあります。共有点を数えるには、判別式の符号だけでなく、その式が何次なのかを先に調べます。消去した変数を元に戻し、求めた解が本当に両方の式を満たすことまで確かめましょう。

個数を問う3つの形

1つ目は、曲線と具体的な直線が与えられ、共有点の座標と個数を求める形です。直線を曲線の式へ代入し、実数解を求めます。座標を答えるときは、消去したもう一方の座標も直線の式に戻して求めます。

2つ目は、傾きや切片が文字で与えられ、文字の値によって共有点の個数がどう変わるかを調べる形です。係数に文字が入るため、計算した判別式を全範囲に適用することはできません。二次係数が0になる値を最初に分け、その値について元の連立を解きます。

3つ目は、x = 定数のような垂直線との共有点です。これは y = mx + n の形では表せないので、傾きを使う式に含まれません。xを直接代入してyの方程式を解き、2つの座標が同じ点を表していないかまで見ます。ここでは個数の判定に集中し、接線の式を求める方法には進みません。

実数解と共有点を対応させる

共有点とは、曲線の方程式と直線の方程式を同時に満たす点です。直線が y = mx + n と表されるとき、曲線のyに mx + n を代入します。得られたxの実数解1個に対し、yは mx + n でただ1つに決まります。逆に、共有点のx座標は必ず代入後の方程式の解です。この往復が成り立つので、異なる実数解の個数と共有点の個数が一致します。

代入後の式を Ax² + Bx + C = 0 と整理したら、まずAを見ます。A ≠ 0 なら二次方程式であり、判別式 D = B² − 4AC を使えます。D > 0 なら異なる実数解が2個、D = 0 なら実数の重解が1個、D < 0 なら実数解はありません。重解を2回数えず、同じ座標の点は1個と数えます。

A = 0 のときは別の式です。B ≠ 0 なら Bx + C = 0 の解は x = -C/B の1個です。A = B = 0 なら C = 0 かを調べます。C ≠ 0 なら解はなく、C = 0 ならどの実数xも成り立ちます。後者は曲線の式がその直線上の全点で成り立つ場合で、一般の式を扱う際には見落とせません。通常の放物線・楕円・双曲線と直線の組合せで、このように直線全体が含まれるわけではありません。

図1のように、最初の分岐は二次の係数です。図の「恒等」は C = 0 で、xの値をどれにしても等式が成立する意味です。分母に文字を含む式で解を出す前にも、その分母が0でないことを確かめます。

垂直線 x = h ではyを未知数として扱います。例えば代入後が y² = q なら、q > 0 で2個、q = 0 で1個、q < 0 で0個です。yの各実数解に対しxはhと決まるので、ここでも解と点が1対1に対応します。図形の印象だけで個数を決めず、この対応を言葉で添えると、場合分けの理由が明確になります。

基本例題：楕円を斜めの直線で切る

楕円 x²/25 + y²/9 = 1 と直線 y = 3x/5 の共有点を、座標は根号を用いて求め、個数も答えてください。

まず y = 3x/5 を楕円に代入します。分母25と9はいずれも0ではなく、直線は各xに対してyを1つに決めます。

x²/25 + (3x/5)²/9 = 1
x²/25 + x²/25 = 1
2x²/25 = 1
x² = 25/2
x = ±5√2/2

各xに対し、直線の式から対応するyを求めます。複号は同じ順序で対応します。

y = 3x/5
x = 5√2/2 のとき y = 3√2/2
x = -5√2/2 のとき y = -3√2/2

したがって共有点は (5√2/2, 3√2/2) と (-5√2/2, -3√2/2) の2個です。どちらもx²/25 = 1/2、y²/9 = 1/2 となり、楕円の左辺は1です。さらに y = 3x/5 にも戻るので、求めた点は2つの条件をともに満たします。

図2のように、直線は中心を通り、楕円の異なる2点で交わります。図は位置関係を表し、座標の正確な値は代入と平方の計算で確かめています。正負を独立に選ぶと直線に乗らない点が混ざるため、xとyの符号を対応させてください。

もし同じ計算で x = 0 しか出なければ、原点は楕円の式を満たさないことに気づけます。このように、計算の途中で消した条件へ答えを戻す作業は、単なる確認以上の役割を持ちます。

標準例題：傾きによって次数も変わる

双曲線 x²/4 − y² = 1 と直線 y = mx + 1 の共有点の個数を、実数mの範囲ごとに求めてください。境界は根号を用いた正確な値で表します。

直線を代入し、両辺を4倍して整理します。4は0でないので、解の集合は変わりません。

x²/4 - (mx + 1)² = 1
x² - 4(m²x² + 2mx + 1) = 4
(1 - 4m²)x² - 8mx - 8 = 0

まず二次係数 1 − 4m² が0かどうかを調べます。0になるのは m = 1/2 または m = -1/2 です。この2値では一次式を直接解きます。

m = 1/2 のとき  -4x - 8 = 0
x = -2、y = 0
m = -1/2 のとき  4x - 8 = 0
x = 2、y = 0

それぞれ双曲線に戻すと x²/4 − y² = 1、直線に戻すと y = mx + 1 = 0 です。よってこの2値ではそれぞれ共有点が1個です。一次式の係数はどちらも0ではないため、ほかの解はありません。

次に m ≠ ±1/2 とします。この範囲では二次係数が0でないので、判別式を適用できます。

D = (-8m)² - 4(1 - 4m²)(-8)
D = 64m² + 32 - 128m²
D = 32(1 - 2m²)

D > 0 は m² < 1/2、D = 0 は m² = 1/2、D < 0 は m² > 1/2 に対応します。ただしDを用いた部分では、先ほどの m = ±1/2 を除いています。まとめると次のとおりです。

• m² < 1/2 かつ m ≠ ±1/2 では2個です。
• m = ±1/2 または m = ±√2/2 では1個です。
• m² > 1/2 では0個です。

境界 m = ±√2/2 では重解を元へ戻して確認します。このとき 1 − 4m² = -1 なので、重解は x = -4m、直線上の y = -1 です。m² = 1/2 より x²/4 − y² = 4m² − 1 = 1 となり、確かに双曲線上です。重解の点が1つであることと、二次係数が消えて一次式から1点が出ることは、同じ「1個」でも理由が異なります。

D > 0 の範囲に m = ±1/2 が含まれる点が、この問題の落とし穴です。たとえ判別式の式にその値を代入して正の値が出ても、二次方程式ではないので「2個」という結論は使えません。先に除外しておけば、判別式から得られる範囲と一次式で調べた範囲を混ぜずに済みます。

発展例題：平行な直線と垂直線を別々に調べる

双曲線 x² − y² = 4 について、直線 y = x + k と、直線 x = t のそれぞれの共有点の個数を求めてください。k、tは実数とし、有限個の場合の座標は整数または分数と根号で表します。

まず y = x + k を代入します。平方を展開するとx²が消えます。

x² - (x + k)² = 4
x² - x² - 2kx - k² = 4
-2kx = k² + 4

k = 0 なら 0 = 4 となり、共有点はありません。k ≠ 0 なら -2k で割ることができ、xとyが次のように定まります。

x = -(k² + 4)/(2k)
y = x + k
y = (k² - 4)/(2k)

この場合は共有点が1個です。逆にこの座標は y = x + k を満たし、x − y = -k、x + y = -4/k です。したがって x² − y² = (x − y)(x + y) = 4 に戻ります。実数k ≠ 0 の各値で1点が存在することまで確かめられました。k = 0 の直線 y = x は漸近線であり、近づくことと実際に共有点を持つことは別です。

次に x = t を双曲線へ代入します。tの符号を消してしまわず、最後の点のx座標に残します。

t² - y² = 4
y² = t² - 4

t² > 4 なら (t, √(t² − 4)) と (t, -√(t² − 4)) の2点、t² = 4 なら (t, 0) の1点、t² < 4 なら0点です。平方根の中が正の場合は2つのyが異なり、0の場合は同じ座標になるため1点です。各点を戻すと t² − y² = 4 と x = t の両方を満たします。t > 0 では右の枝、t < 0 では左の枝にあることもx座標と一致します。

この2種類の直線は、表し方が違うため代入する文字も違います。y = mx + n で調べ尽くしたつもりでも、x = t は含まれていません。垂直線を別に取り上げることが、個数の漏れを防ぎます。

誤答を直す：判別式の前に次数を見る

発展例題で k = 1 とすると、直線は y = x + 1 です。代入後は -2x − 5 = 0 になり、共有点は (-5/2, -3/2) です。ところが「x²の係数が0、判別式は (-2)² で正だから2点」とする誤答が生じます。

原因は、二次方程式の判別式が使える条件 A ≠ 0 を忘れたことです。A = 0 の式に形式上 B² − 4AC を計算しても、二次方程式の解の個数に関する結論は適用できません。図3のように直線は左の枝と1回交わり、もう一方の枝に交点はありません。

修正するときは、-2x − 5 = 0 を解いて x = -5/2、直線へ戻して y = -3/2 とします。双曲線でも 25/4 − 9/4 = 4 です。図3の交点は元の2式の両方に属します。図は個数の見通しに役立ちますが、画面の外で交わらないことは一次方程式の解が1つであることから説明します。

別の誤りとして k = 0 で -2k によって両辺を割ることがあります。0では割れないため、先に k = 0 を分けて 0 = 4 を確認してください。係数が消える場合と、割る数が消える場合を同じ行で点検すると、式が破綻した理由を追いやすくなります。

練習問題

次の5問は、それぞれ共有点の個数と座標または指定された文字の範囲を求めてください。根号を含む答えは近似せず、根号のまま表します。

1. 放物線 y² = 8x と直線 y = x − 2 の共有点の座標と個数を求めてください。
2. 楕円 x²/16 + y²/4 = 1 と垂直線 x = 2 の共有点の座標と個数を求めてください。
3. 双曲線 x² − y² = 9 と直線 y = x + 3 の共有点の座標と個数を求めてください。
4. 双曲線 x²/9 − y²/4 = 1 と直線 y = 2x/3 の共有点の個数を求めてください。
5. 放物線 y² = 4x と直線 y = mx + 1 の共有点の個数を、実数mの範囲ごとに求めてください。境界は正確な値で表します。

練習の答えと確かめ方

1. 放物線と斜めの直線

(x - 2)² = 8x
x² - 4x + 4 = 8x
x² - 12x + 4 = 0
(x - 6)² = 32
x = 6 ± 4√2
y = 4 ± 4√2

共有点は (6 + 4√2, 4 + 4√2) と (6 − 4√2, 4 − 4√2) の2個です。複号は同順です。どちらも y = x − 2 を満たし、y² = (4 ± 4√2)² = 48 ± 32√2 = 8x と戻せます。2つのx座標が異なるため、点も異なります。

2. 楕円と垂直線

2²/16 + y²/4 = 1
1/4 + y²/4 = 1
y² = 3
y = ±√3

共有点は (2, √3)、(2, -√3) の2個です。どちらも x = 2 にあり、楕円へ戻すと 1/4 + 3/4 = 1 です。xが固定されているので、yの正負が異なる2点を同じ点と数えません。

3. 二次の項が消える連立

x² - (x + 3)² = 9
-6x - 9 = 9
x = -3
y = 0

共有点は (-3, 0) の1個です。直線では 0 = -3 + 3、双曲線では (-3)² − 0² = 9 です。一次方程式の係数 -6 は0ではないので、ほかに解はありません。

4. 定数の等式になる連立

x²/9 - (2x/3)²/4 = 1
x²/9 - x²/9 = 1
0 = 1

この等式を満たす実数xはなく、共有点は0個です。直線上の任意の点で双曲線の左辺は0になるため、元の条件にも戻して不可能と確認できます。係数がすべて消えたからといって、無条件に「すべての点」とすることはできません。

5. 係数の退化と判別式

(mx + 1)² = 4x
m²x² + (2m - 4)x + 1 = 0

m = 0 では -4x + 1 = 0 なので x = 1/4、y = 1 です。この点は y² = 1 = 4x を満たし、共有点は1個です。m ≠ 0 なら二次方程式であり、判別式は次のようになります。

D = (2m - 4)² - 4m²
D = 16(1 - m)

したがって m < 1 かつ m ≠ 0 で2個、m = 0 または m = 1 で1個、m > 1 で0個です。m = 1 のときは x² − 2x + 1 = 0 から x = 1、y = 2 です。元の放物線で 2² = 4・1、直線で 2 = 1 + 1 となります。

残る m < 1、m ≠ 0 の範囲では、異なる実数解それぞれについて y = mx + 1 と置けば、代入後の方程式により y² = 4x が成り立ちます。逆に共有点ならそのxは必ず方程式の解です。この往復により、2解が2点を過不足なく表すことも確かめられます。

手元に残す4行

• 共有点を数える前に、直線を代入した式の次数を調べます。
• 二次係数が0でない場合に限り、判別式で異なる実数解を数えます。
• 一次式と定数式は直接解き、割る数が0の値を先に分けます。
• 垂直線は別に代入し、得た座標を両方の元の式へ戻します。

どこで止まったかを見つける

計算を始められないときは、直線の式が y = mx + n と x = h のどちらかを指で示し、どの文字を消すかを決めます。個数が合わないときは、代入後の最高次の係数と、重解を何点と数えたかを点検します。値を代入する前に文字で割っていないかも確認してください。

個別指導で確かめるなら、まず標準例題の m = 1/2 を渡し、二次の項が消えた後の式を自分で書けるかを見ます。次に m = √2/2 では係数が0でないことを確かめ、重解から点を復元します。2つの「1個」を別の理由で説明できれば、共有点を数える道筋は安定します。