高校数学C 双曲線の平行移動—中心を通る漸近線と二つの枝を式から描く｜武蔵野個別指導塾

平方完成で得た中心を基準に頂点と焦点を置き直し、移動後の2本の漸近線がその中心を通ることを検証します。

よくあるのは、理系の高3が平方完成して双曲線の中心を動かしたのに、漸近線だけを原点に残してグラフを描く場面です。式の分母から傾きを読めても、その直線がどこを通るかまで確認しなければ、枝を描くための目印がずれてしまいます。中心を基準にした座標を使い、曲線も直線も同じ量だけ移す手順を追います。

式から何を取り出すか

出方の1つは、展開された2次式を平方完成し、中心、頂点、焦点、漸近線を答える問題です。平方完成の定数を右辺へ移す際の符号まで追い、その後に正の項が横と縦のどちらにあるかを読みます。

もう1つは、中心と漸近線、頂点などから式を逆算する問題です。漸近線の傾きは2つの半軸の比を教えますが、比だけでは大きさが決まりません。頂点までの距離など、長さを決める条件が別に必要です。最後に元の条件へ戻し、2本の直線と指定された頂点が本当に得られるか確かめます。

さらに、平方完成の後に右辺が0になる場合もあります。左右の符号が異なる2つの平方の差が0なら、通常の双曲線ではなく2直線です。右辺が負のときも慌てず両辺に -1 を掛け、正の項の位置を読み直します。式の見た目を先に決めるより、右辺を整えてから図の向きを決める方が安全です。

中心を原点として読み直す

a > 0、b > 0 とします。中心が (h,k) で横向きの双曲線は、中心からの横の変位を X = x − h、縦の変位を Y = y − k と置くと、次の式です。

X²/a² - Y²/b² = 1

中心は (h,k)、頂点は (h − a,k) と (h + a,k) です。焦点は c² = a² + b²、c > 0 として (h − c,k)、(h + c,k) です。ここで a は開く方向の頂点までの距離であり、b より大きいとは限りません。漸近線は Y = (b/a)X と Y = -(b/a)X です。元の座標に戻すと、いずれも (h,k) を通ります。

図1のように、中心から横に a、縦に b 進んだ位置で補助長方形を作ります。その対角線を延ばした2本が漸近線です。曲線の横向きの2つの枝は左右の頂点から外へ開き、長方形の中心にある点は曲線上にありません。中心を式に代入すると左辺が0で、右辺の1と一致しないからです。

図1では中心を (1,1)、a = 2、b = 1 としています。頂点は (-1,1)、(3,1)、焦点は (1 − √5,1)、(1 + √5,1) です。2本の漸近線は y − 1 = ±(x − 1)/2 であり、どちらも中心を通ります。補助長方形は方向と傾きを読むためのもので、曲線の一部ではありません。

縦向きなら X と Y の役割が入れ替わります。Y²/a² − X²/b² = 1 の頂点は (h,k ± a)、焦点は (h,k ± c)、漸近線は Y = ±(a/b)X です。符号が正の平方の方向へ開くことを先に見てから、傾きの分子と分母を決めます。

漸近線が曲線に接する線だと考えるのも誤りです。横向きの式で Y = ±(b/a)X を代入すると、左辺は0となり1にはなりません。有限の点で交わらず、枝が遠くへ進むときの方向を示しています。実際に右上の枝では Y = (b/a)√(X² − a²) なので、X > a のとき差は次のように書けます。

(b/a)X - Y = (b/a)(X - √(X² - a²))
= ab/(X + √(X² - a²))

分母は正で、X を大きくすると差は小さくなります。移動後も X と Y で測った差は同じです。この説明には、漸近線が原点ではなく移動後の中心を通ることが含まれています。

基本例題：平方完成から横向きの枝へ

次の曲線の中心、頂点、焦点、漸近線を求め、グラフを描いてください。座標は整数または根号で、直線は方程式で答えます。

x² - 4y² - 4x - 8y - 16 = 0

x と y の項をまとめ、平方を作ります。括弧の外の係数 -4 を含めて定数を計算します。

(x² - 4x) - 4(y² + 2y) - 16 = 0
(x - 2)² - 4 - 4{(y + 1)² - 1} - 16 = 0
(x - 2)² - 4(y + 1)² = 16
(x - 2)²/16 - (y + 1)²/4 = 1

分母は正で、x の平方が正です。したがって横向き、中心は (2,-1)、a = 4、b = 2 です。焦点距離に使う c は正として、順に計算します。

c² = 4² + 2²
c² = 20
c = 2√5

頂点は (-2,-1)、(6,-1)、焦点は (2 − 2√5,-1)、(2 + 2√5,-1) です。漸近線には中心からの変位を入れます。

y + 1 = (1/2)(x - 2)
y + 1 = -(1/2)(x - 2)

図2のように中心を通る2直線を目印にし、2つの頂点から左右に枝を描きます。中心を各直線へ代入すると両辺が0です。頂点を標準形へ代入すると 16/16 − 0 = 1 となります。

図2の焦点も元の距離条件で点検できます。右の頂点から右焦点までの距離は 2√5 − 4、左焦点までの距離は 2√5 + 4 です。差の絶対値は8で、2a に等しくなります。左の頂点では焦点までの距離の大小が逆転しますが、差の絶対値は同じ8です。図の左右の枝を、片方の符号つき距離差だけで判断しないことが重要です。

標準例題：右辺の符号を整える

次の曲線の中心、頂点、焦点、漸近線を求めてください。座標は整数または根号で、直線は方程式で答えます。

4x² - y² + 8x + 6y - 9 = 0

平方完成の前に、y の係数 -1 を括り出します。

4(x² + 2x) - (y² - 6y) - 9 = 0
4{(x + 1)² - 1} - {(y - 3)² - 9} - 9 = 0
4(x + 1)² - (y - 3)² = 4
(x + 1)² - (y - 3)²/4 = 1

中心は (-1,3)、横向きで a = 1、b = 2 です。大きい分母が縦にあっても、正の項は横にあるので横へ開きます。

c² = 1² + 2²
c = √5

頂点は (-2,3)、(0,3)、焦点は (-1 − √5,3)、(-1 + √5,3) です。漸近線は y − 3 = ±2(x + 1) です。中心を入れると左右とも0になり、2本が確かに中心を通ります。両頂点を元の展開式へ戻すと左辺はどちらも0です。右頂点から2焦点への距離は √5 − 1 と √5 + 1 で、差は2 = 2a です。

右辺が負なら、正の1にして初めて向きを読みます。例えば平方の差が -9 に等しいときは両辺に -1 を掛け、項の符号を逆にしてから9で割ります。右辺が0なら1にすることはできません。正の数で割る手順の条件を先に見ることで、2直線を通常の双曲線として描く失敗を避けられます。

発展例題：直線と頂点から式を戻す

中心が (3,-2)、漸近線が y + 2 = ±(3/2)(x − 3) で、頂点の1つが (3,1) である双曲線を求めてください。軸は座標軸に平行とし、方程式を分数を用いた標準形で答えます。

頂点と中心の x 座標が等しく、縦の距離は3です。よって縦向きで a = 3 です。b > 0 として縦向きの式と漸近線を置きます。

(y + 2)²/9 - (x - 3)²/b² = 1
y + 2 = ±(3/b)(x - 3)

指定された傾きの絶対値と比べます。b は正なので、次の変形で余分な符号は生じません。

3/b = 3/2
b = 2
b² = 4

求める式は (y + 2)²/9 − (x − 3)²/4 = 1 です。もう一方の頂点は (3,-5) となります。指定された頂点を代入すると 9/9 − 0 = 1、中心を両漸近線へ代入すると0 = 0です。c² = 9 + 4 = 13 なので焦点は (3,-2 ± √13) です。上の頂点から両焦点への距離は √13 − 3 と √13 + 3 であり、差の絶対値は6です。これは2aと一致します。

漸近線だけを条件とした場合は a/b = 3/2 にとどまり、a = 3、b = 2 とは限りません。例えば両方を同じ正の数倍にしても傾きは変わりません。頂点の位置が与えられたことで大きさが決まり、逆算に必要な条件がそろっています。

誤答を図で直す

基本例題で「漸近線は y = ±x/2」と答えたとします。傾きの絶対値 1/2 は正しいものの、これらは原点を通り、中心 (2,-1) の一方を通りません。実際、y = x/2 に中心を代入すると -1 = 1 となり不成立です。もう一方の y = -x/2 はこの中心を偶然通りますが、2本とも正しいとはいえません。

図3のように、原点を通る線をそのまま残すと、補助長方形の中心と2直線の交点がずれます。誤りの原因は、傾きの移動による不変性と、切片も不変だという誤った判断を混ぜることです。平行移動では直線の傾きは変わりませんが、通る点は同じ移動量だけ動きます。

修正には X = x − 2、Y = y + 1 を使います。まず Y = ±X/2 と書き、次に x、y へ戻して y + 1 = ±(x − 2)/2 とします。図3の交点は中心に一致し、2つの頂点も左右の軸上に並びます。1本が偶然中心を通った場合でも、両方の傾きと中心を個別に代入して確かめると取り違えを発見できます。

もう1つの誤りは、標準例題の分母4を見て縦向きに描くことです。頂点候補 (-1,5) を式に代入すると -1 となり、右辺の1に一致しません。正の項を確かめ、頂点を元の式へ戻す検査は、図の向きを決める作業と対になっています。

練習：式と図の間を往復する

各問で座標は整数または根号、直線は方程式、曲線は分数を用いた標準形で答えてください。問題を解き終えてから解答を読み、得た結果を元の条件に戻しましょう。

1. (x + 2)²/9 − (y − 1)²/16 = 1 の中心、頂点、焦点、漸近線を求めてください。
2. (y + 3)²/4 − (x − 1)²/25 = 1 の中心、頂点、焦点、漸近線を求めてください。
3. x² − 9y² + 6x + 36y − 36 = 0 を平方完成し、中心と頂点と漸近線を求めてください。
4. 中心が (-2,1)、頂点の1つが (2,1)、漸近線が y − 1 = ±(3/4)(x + 2) の双曲線を求めてください。軸は座標軸に平行です。
5. (x − 4)² − 4(y + 1)² = t について、t = 0 と t = -4 のそれぞれで点の集まりを求めてください。後者は中心と頂点も答えてください。

解答と確認

1. 中心は (-2,1)、正の項は x の平方です。a = 3、b = 4、c² = 9 + 16 = 25 より c = 5 です。頂点は (-5,1)、(1,1)、焦点は (-7,1)、(3,1)、漸近線は y − 1 = ±(4/3)(x + 2) です。頂点を式へ入れると1となり、中心を直線へ入れると0 = 0です。右頂点から焦点までの距離は2と8で、その差6は2aです。

2. 中心は (1,-3)、正の項は y の平方です。a = 2、b = 5、c² = 4 + 25 = 29 より c = √29 です。頂点は (1,-5)、(1,-1)、焦点は (1,-3 ± √29)、漸近線は y + 3 = ±(2/5)(x − 1) です。上の頂点を代入すると1です。そこから両焦点までの距離の差は (√29 + 2) − (√29 − 2) = 4 で、2aに一致します。中心も2直線上にあります。

3. x と y のまとまりごとに平方完成します。

(x² + 6x) - 9(y² - 4y) - 36 = 0
(x + 3)² - 9 - 9{(y - 2)² - 4} - 36 = 0
(x + 3)² - 9(y - 2)² = 9
(x + 3)²/9 - (y - 2)² = 1

中心は (-3,2)、頂点は (-6,2)、(0,2)、漸近線は y − 2 = ±(x + 3)/3 です。両頂点を元の式に代入すると0、中心を2直線へ代入すると0 = 0です。a = 3、b = 1 なので焦点は (-3 ± √10,2) であり、右頂点での焦点距離の差も6です。

4. 頂点は中心から横に4離れているので横向き、a = 4 です。傾きの絶対値 b/a = 3/4 から b = 3 です。

(x + 2)²/16 - (y - 1)²/9 = 1

指定点 (2,1) の代入値は1です。中心 (-2,1) は2直線の交点で、式から得る傾きは ±3/4 です。c = 5 なので焦点は (-7,1)、(3,1)、指定頂点からの距離は9と1で差は8 = 2aです。

5. t = 0 のとき平方の差を因数分解します。

{(x - 4) - 2(y + 1)}{(x - 4) + 2(y + 1)} = 0
y + 1 = (x - 4)/2 または y + 1 = -(x - 4)/2

2直線の和集合です。どちらの直線の点も元の左辺を0にし、逆に積が0なら少なくとも一方の因子が0なので、点の漏れはありません。t = -4 のときは両辺を -4 で割ります。

(y + 1)² - (x - 4)²/4 = 1

中心は (4,-1)、頂点は (4,0)、(4,-2) です。元の式に両頂点を入れると -4 に戻り、中心では0なので中心は曲線上にありません。焦点は (4,-1 ± √5) で、上の頂点からの距離の差は2です。右辺が0の場合と負の場合では、割る操作と図の形が変わります。

要点を手元に

中心からの変位 X、Y で標準形を読みます。 正の平方の方向に2つの枝が開きます。 頂点は中心から a、焦点は c² = a² + b² の距離です。 漸近線は中心を通り、傾きは半軸の比で決まります。 右辺が0なら通常の双曲線に割り直せません。

自分の答案のどこを見るか

平方完成の行で止まるときは、括弧の外にある負の係数を各項に掛けたか確認します。次に中心を取り出し、そこを両漸近線へ代入します。傾きが合っていても中心を通らない直線は、移動量の戻し忘れを示します。

個別指導で確かめるなら、描いた頂点を元の展開式へ代入する行と、焦点までの距離の差を左右それぞれで絶対値として扱った行を見ます。右辺が0になった答案では、1にする除算を行わず、因数分解で点の集まりを確かめられるかを尋ねます。中心からの変位と元の座標を往復できれば、2本の漸近線と枝の位置を自分の式で照合できます。