高校数学C 放物線の平行移動—頂点と準線を同じ移動量で動かして式を決める｜武蔵野個別指導塾

頂点と焦点の差から符号つきの距離を求め、準線へ戻して点検する題材は放物線の平行移動です。

よくあるのは、理系の高3が放物線の式を平行移動した後、式の符号と焦点の移動方向が食い違い、どちらを直せばよいか迷う場面です。かっこの中の符号は頂点の座標と逆に見えますが、焦点は頂点からの向きと距離で決まります。頂点、焦点、準線を別々の暗記事項にせず、同じ移動を受けた図形として追いましょう。

問いを見たときの入り口

出方の1つは、式から頂点、焦点、準線を読み取る問題です。平方の中が x なのか y なのかを先に見て、軸の向きを決めます。その後、平方の中を0にする値を頂点の座標にし、残った係数から焦点の位置を求めます。展開された式なら、平方完成によって頂点が見える形に直します。

もう1つは、頂点と焦点または準線から方程式を作る問題です。頂点と焦点の差は、原点を基準にした座標ではなく、頂点から焦点への符号つきの移動量です。準線から始めるときは、頂点が焦点と準線の中間にあることを使います。点がさらに与えられたら、候補の式に代入して条件を確認します。

3つ目は、条件を満たす放物線が存在するかを問う問題です。焦点が準線上にあると、通常の放物線を定める焦点と準線が一致してしまいます。また、指定された頂点から準線までの向きと、指定された軸の向きが合わなければ候補はありません。計算で係数を出す前に、配置が成立するかを見ます。接線の計算には進まず、ここでは移動と距離条件を扱います。

移動量を座標の差で読む

まず p を0でない符号つきの実数とします。原点を頂点とする横向きの放物線 y² = 4px の焦点は (p,0)、準線は x = -p です。p が正なら右向き、負なら左向きです。p は向きを含む数であり、頂点から焦点までの距離は |p| です。

曲線全体を右に h、上に k だけ平行移動します。負の h は左、負の k は下への移動です。移動後の点を (x,y) とすると、移動前の座標は (x-h,y-k) です。したがって移動前の式にこの座標を入れます。

(y-k)² = 4p(x-h)
頂点 (h,k)
焦点 (h+p,k)
準線 x = h-p
軸 y = k

準線も曲線と同じだけ動きます。移動前に x = -p だった直線上の点の x 座標に h を加えるので、移動後は x = h-p です。準線の式に k が現れないのは、縦の直線を上下に動かしても同じ直線になるからです。頂点の x 座標 h は焦点の x 座標 h+p と準線の x 座標 h-p の中間です。

図1のように、右向きなら準線から頂点、焦点の順に並びます。左向きでは順序が逆ですが、焦点と準線が頂点を挟む点は変わりません。図1の頂点は (1,1)、焦点は (2,1)、準線は x = 0 で、式は (y-1)² = 4(x-1) です。たとえば曲線上の (2,3) は焦点からの距離が2、準線からの距離も2です。

縦向きなら役割が入れ替わります。移動前の x² = 4py は、移動後に次の形です。

(x-h)² = 4p(y-k)
頂点 (h,k)
焦点 (h,k+p)
準線 y = k-p
軸 x = h

こちらは p が正なら上向き、負なら下向きです。x と y の役割を交換しただけなので、横向きの図で左右に置いた焦点と準線を、縦向きでは上下に置きます。4p の符号だけで絶対座標の正負を決めないことが重要です。頂点が原点以外にあれば、左向きでも焦点の x 座標が正になることがあります。

この式と距離の定義が両方向につながることも見ます。横向きで X = x-h、Y = y-k と置くと、焦点からの距離の二乗は (X-p)² + Y²、準線からの距離の二乗は (X+p)² です。両方の距離は非負なので、距離が等しいことと二乗が等しいことは同値です。差を整理すると Y² = 4pX が得られます。逆にこの式を満たせば二乗が等しく、非負の距離自体も等しいので、式から余分な点は生じません。縦向きも座標を交換して同様に確かめられます。

基本例題：式から配置を取り出す

問題。放物線 (y+2)² = -8(x-3) の頂点、焦点、準線、軸を求め、開く向きを答えてください。座標と係数は整数で表します。

平方が y の式なので横向きです。標準形と比べる際、頂点の座標はかっこを0にする値として読みます。係数 -8 は0でないので、p も0ではなく、通常の放物線です。

h = 3
k = -2
4p = -8
p = -2
h+p = 3-2 = 1
h-p = 3-(-2) = 5

よって頂点は (3,-2)、焦点は (1,-2)、準線は x = 5、軸は y = -2 です。p < 0 なので左向きです。図2のように、焦点は頂点の左に2、準線は頂点の右に2あります。

答えを元の距離条件に戻します。頂点 (3,-2) から焦点までの距離と準線までの距離はともに2です。さらに、式に y = 2 を代入すると x = 1 です。点 (1,2) から焦点までの距離は4、準線までの距離は |1-5| = 4 で、頂点以外でも等距離です。

この点検で焦点を (5,-2) としていた場合を考えます。頂点からの距離は2で合いますが、準線 x = 5 上に焦点が乗ってしまいます。距離の大きさだけでは誤りを見つけきれません。符号つきの p と頂点を挟む配置を両方確認します。

標準例題：焦点と準線から逆算する

問題。焦点が (2,4)、準線が y = -2 である放物線の方程式を求めてください。係数は整数で表し、頂点と開く向きも答えます。

焦点は準線上にありません。準線が水平なので軸は縦向きで、焦点と準線の間の中点が頂点です。焦点の x 座標がそのまま頂点の x 座標になります。

h = 2
k = (4+(-2))/2 = 1
p = 4-1 = 3
4p = 12

したがって方程式は (x-2)² = 12(y-1)、頂点は (2,1)、上向きです。準線の式も k-p = 1-3 = -2 となり、指定どおりです。

式の正しさは、任意の点について距離に戻して確認できます。X = x-2、Y = y-1 と置けば焦点からの距離の二乗は X²+(Y-3)²、準線からの距離の二乗は (Y+3)² です。この2つが等しい条件を整理すると X² = 12Y です。距離はいずれも非負なので逆も成り立ちます。よって指定された距離条件と得た式は同じ点の集合です。

数値でも見てみます。x = 8 とすると y = 4 です。(8,4) から焦点までの距離は6、準線までの距離も6です。中点の計算を間違えて頂点の y 座標を2とすると、この点検で準線が指定と一致しません。焦点の座標にそのまま係数をかけるのではなく、頂点との差を取ります。

発展例題：通過点と準線の両方を使う

問題。頂点が (1,-1)、準線が x = 4 で、点 (-2,5) を通る放物線を求めてください。方程式は整数係数で表します。存在しない場合はその理由を答えます。

準線が縦の直線であるため、軸はその直線に垂直な横方向です。頂点と準線の位置から p を求め、通過点は最後に条件として調べます。準線が頂点を通らないので p は0ではありません。

h = 1
k = -1
h-p = 4
1-p = 4
p = -3
4p = -12
(y+1)² = -12(x-1)

候補に (-2,5) を代入すると、左辺は (5+1)² = 36、右辺は -12(-2-1) = 36 です。したがって条件を満たす放物線が存在し、方程式は上の式です。頂点と準線で p と軸が定まるので、別の候補はありません。

元の距離でも確かめます。焦点は (1-3,-1) = (-2,-1) です。点 (-2,5) から焦点までの距離は6、準線 x = 4 までの距離は |-2-4| = 6 です。頂点からも焦点と準線までの距離はともに3です。通過点が候補の式を満たさなければ、与えられた頂点と準線からは別の p を選べないため、答えは存在しません。

たとえば通過点の y 座標を変えた場合、まず変えた点を同じ候補式に戻します。そこで左右が一致しなければ、焦点を反対側へ移して合わせることはできません。反対側の焦点では、指定された直線が準線にならないからです。存在を調べる場面では、使わずに残った条件がないかを最後に点検します。

符号を取り違えた答えを直す

基本例題で、誤って焦点を (5,-2)、準線を x = 1 と答えたとします。頂点からそれぞれ2離れているため、一見すると対称な配置です。しかし図3のように、これは右向きの配置で、与えられた式の -8 と向きが合いません。

原因は -8 を距離の大きさとして扱い、p の符号を捨てたことです。修正には 4p = -8 を解き、p = -2 を h+p と h-p にそのまま入れます。焦点は (1,-2)、準線は x = 5 です。図3で左側の点が焦点、右側の縦線が準線となる配置が正解です。

別の誤りは、(y+2)² から k = 2 と読むことです。y+2 = y-(-2) と書き換えれば k = -2 です。実際に頂点 (3,-2) を元の式へ入れると両辺が0になります。誤った (3,2) では左辺が16、右辺が0なので頂点として不適切です。頂点の代入は、かっこの符号を直す短い検査になります。

ただし、頂点の代入だけで焦点の向きは確定しません。係数が +8 でも -8 でも同じ頂点を通るからです。頂点の検査と、焦点・準線を元の係数から復元する検査は別々に行います。どちらかが失敗したとき、前者は移動量、後者は p の符号を見直す目印になります。

練習：条件から自分で戻す

次の5問は、方程式の係数と座標を整数または分数で表してください。向きや存在も指定された場合は言葉で答えます。

1. (x+3)² = 16(y-2) の頂点、焦点、準線、軸と開く向きを求めてください。
2. 頂点 (4,3)、焦点 (4,1) の放物線の方程式と準線を求めてください。
3. 焦点 (-1,2)、準線 x = 5 の放物線の方程式と頂点を求めてください。
4. 頂点 (-2,1)、準線 y = 3 の放物線が点 (2,-1) を通るか調べ、方程式を求めてください。
5. 頂点 (0,2)、準線 y = 2 を持つ通常の放物線が存在するか答えてください。

解答と確認

1. 縦向きで h = -3、k = 2、4p = 16 より p = 4 です。頂点は (-3,2)、焦点は (-3,6)、準線は y = -2、軸は x = -3 で、上向きです。頂点から焦点と準線までの距離はともに4です。点 (5,6) を式に代入すると両辺64で、焦点までの距離8と準線までの距離8も一致します。

2. 焦点と頂点の y 座標の差は 1-3 = -2 なので p = -2 です。よって式は (x-4)² = -8(y-3)、準線は y = 3-(-2) = 5 です。焦点は (4,1) に戻り、頂点から焦点と準線までの距離はともに2です。下向きの式でも頂点の y 座標が正であることに注意します。

3. 準線は縦なので横向きです。焦点の x 座標 -1 と準線の x 座標 5 の中間は2、焦点の y 座標は2です。

h = (-1+5)/2 = 2
k = 2
p = -1-2 = -3
4p = -12
(y-2)² = -12(x-2)

頂点は (2,2) です。焦点は (2-3,2) = (-1,2)、準線は x = 2-(-3) = 5 に戻ります。頂点からそれぞれまでの距離は3です。

4. 横の準線なので縦向きです。k-p = 3 と k = 1 から p = -2 です。方程式は (x+2)² = -8(y-1) です。点 (2,-1) では左辺が16、右辺も16なので通ります。焦点は (-2,-1) で、点 (2,-1) から焦点までの距離は4、準線までの距離も4です。

5. 準線が頂点を通るため、頂点と準線の距離は0です。頂点から焦点までの距離も0でなければならず、焦点が頂点に一致します。焦点が準線上にある配置は p = 0 にあたり、焦点が準線上にない通常の放物線の定義に合いません。したがって存在しません。p = 0 を式に代入すると直線が残りますが、これを通常の放物線として採用しないことが必要です。

要点を短く

平方の中を0にする値が頂点の座標です。 横向きは (y-k)² = 4p(x-h)、縦向きは x と y の役割を交換します。 p は頂点から焦点への符号つきの差、距離は |p| です。 準線は頂点を挟んだ反対側に置き、元の条件へ戻します。

途中式からつまずきを見分ける

頂点の代入で左右が合わないなら、かっこの符号を先に確認します。頂点は合うのに焦点が準線側にあるなら、4p と p の取り違えや負号の脱落を調べます。焦点と準線は合うのに指定の通過点が合わなければ、候補が条件を満たさない可能性があります。

個別指導で確かめるときは、まず本人に頂点から焦点への差を符号つきで書いてもらいます。次に準線までの距離を数直線上で測り、最後に通過点の2つの距離を計算します。式の見た目と図の向きを往復できれば、移動後の位置関係を自分で検証できます。