高校数学C 双曲線の決定—焦点と漸近線の条件から方程式の候補を確かめる｜武蔵野個別指導塾

漸近線が決める半軸の比に焦点や通過点の条件を加え、向きが未指定の2候補も元の条件に照らして絞ります。

よくあるのは、理系の高3が2本の漸近線を描いたところで、双曲線の大きさまで決まったと考える場面です。同じ2直線に近づく双曲線は、頂点を原点からどれだけ離すかによって変わります。線の傾きが指定する比と、焦点や通過点が指定する大きさを分けると、何が足りないかが見えてきます。

ここでは中心が原点、軸が座標軸の双曲線を扱います。まず正の項の位置で開く向きを決め、候補を立ててから、与えられた条件に戻して確かめます。中心を動かす問題や接線を求める問題には立ち入りません。

要点（結論から）

• 正の項の方向が焦点と頂点のある軸です。
• 漸近線は半軸の比を決め、焦点距離や通過点が大きさを決めます。
• 向きが未指定なら横と縦を調べ、正の分母と元の条件を確認します。

条件は比と大きさに分ける

出方の1つは、焦点の座標と漸近線の傾きが与えられ、方程式を求める問題です。焦点がx軸上にあれば横向き、y軸上にあれば縦向きです。傾きから半軸の比、焦点までの距離からその大きさを決めます。

もう1つは、漸近線と通過点が与えられ、向きも含めて決める問題です。2方向のどちらへ開くかを初めから決めず、両方の標準形を候補にします。通過点を代入して正の半軸が得られる向きだけを残します。点が漸近線上なら、どちらの向きでも通常の双曲線は得られません。

さらに、焦点までの距離はわかるが焦点がどの軸上にあるかは指定されていない、という条件もあります。この場合は向きが2通り残り得ます。「焦点までの距離」と「焦点の座標」は違う情報です。問題文の軸の指定を読み落とさず、候補の数を判断しましょう。

半軸と焦点をつなぐ関係

横向きの標準形を、a > 0、b > 0 として次のように置きます。

x²/a² - y²/b² = 1
c² = a² + b²
焦点 (c, 0), (-c, 0)
漸近線 y = (b/a)x, y = -(b/a)x

c は原点から焦点までの距離なので正です。頂点は (a, 0) と (-a, 0) です。a は実際に曲線と交わる軸方向の長さであり、b と比べて大きいとは限りません。式の正の項が開く方向を示します。

縦向きでは座標軸の役割を入れ替えます。a と b はいずれも正、c² = a² + b² という条件は同じです。

y²/a² - x²/b² = 1
焦点 (0, c), (0, -c)
漸近線 y = (a/b)x, y = -(a/b)x

ここで縦向きの傾きの絶対値は a/b です。横向きの b/a をそのまま使うと逆数になります。傾きの式を暗記する前に、右辺を0にした x²/a² − y²/b² = 0、または y²/a² − x²/b² = 0 を因数分解して確かめると、向きの違いを追えます。

図1のように、横向きでは補助長方形の横の半幅が a、縦の半幅が b です。原点と角を結ぶ直線が漸近線になります。長方形を相似に拡大しても傾きは変わらないので、傾きから得られるのは b/a という比です。焦点を指定すれば c² = a² + b² も加わり、正の a と b を定められます。

図1の対角線の傾きは縦の長さを横の長さで割って b/a です。例えば傾きの絶対値が 2 なら b = 2a ですが、a = 1 も a = 3 も比の条件を満たします。焦点までの距離まで共通とは限らないため、次の条件が必要です。

焦点と漸近線が合うことを確認するときは、候補の分母が正であることを先に見ます。分母が0なら標準形ではなく、負なら正の半軸の平方として採用できません。条件から候補を導くことは必要性の確認であり、その候補が実際に条件を満たすことを逆に確かめて初めて十分です。

基本例題：焦点が横軸上にある

中心が原点で軸が座標軸の双曲線の焦点が (5, 0), (-5, 0)、漸近線が y = (4/3)x、y = -(4/3)x です。方程式を整数を用いた分数の標準形で求めてください。

焦点がx軸上なので横向きです。a > 0、b > 0、c = 5 として横向きの標準形を使えます。傾きの絶対値は正なので、次の関係を使えます。

b/a = 4/3
b = 4a/3
c² = a² + b²
25 = a² + 16a²/9
25 = 25a²/9
a² = 9
b² = 16

a と b を正に取るため a = 3、b = 4 です。したがって候補は次の式です。

x²/9 - y²/16 = 1

図2のように頂点は (3, 0), (-3, 0)、焦点は (5, 0), (-5, 0) です。補助長方形の半幅は3、半高は4なので対角線の傾きは ±4/3 になります。

逆に候補へ戻します。9 と16は正で、焦点距離の平方は 9 + 16 = 25 なので、焦点は指定どおりです。漸近線も y = ±(4/3)x となります。頂点 (3, 0) から2焦点までの距離は2と8で、差の絶対値は6、つまり 2a です。左の頂点でも距離の大小が入れ替わり、差の絶対値は同じ6です。2つの枝を含む式として条件に合います。

焦点距離と傾きが与えられたとき、比を先に代入すると未知数を1つ減らせます。最後に平方根の符号を考えるのは、a と b が長さだからです。焦点の座標が正負で2つあることと、a に正負の2値を許すことは別です。

標準例題：向きの指定がない焦点距離

中心が原点で軸が座標軸の双曲線について、原点から各焦点までの距離が √13、漸近線が y = (3/2)x、y = -(3/2)x です。条件を満たすすべての方程式を整数を用いた分数の標準形で求めてください。焦点がどの座標軸上にあるかは指定されていません。

まず横向きと仮定します。a、b は正で、c² = 13 です。

b/a = 3/2
b² = 9a²/4
13 = a² + b²
13 = 13a²/4
a² = 4
b² = 9

よって横向きの候補は x²/4 − y²/9 = 1 です。焦点は (±√13, 0)、漸近線の傾きは ±3/2 で、指定された距離と直線に戻ります。

次に縦向きと仮定します。ここでは傾きの絶対値が a/b なので、比の置き方を変えます。

a/b = 3/2
a² = 9b²/4
13 = a² + b²
13 = 13b²/4
b² = 4
a² = 9

縦向きの候補は y²/9 − x²/4 = 1 です。焦点は (0, ±√13)、漸近線の傾きは ±3/2 です。どちらの候補も分母が正で、焦点距離と2直線に戻ります。

2式の左辺は互いに符号が反対で、同じ点集合ではありません。たとえば (2, 0) は横向きの式を満たしますが縦向きの式は満たしません。焦点の軸が明記されないため、2候補を答える必要があります。もし焦点が (√13, 0) と指定されていたなら、縦向きの焦点はその座標に一致せず除外します。

発展例題：通過点が向きを選ぶ

中心が原点で軸が座標軸の双曲線が点 (5, 2) を通り、漸近線が y = (1/2)x、y = -(1/2)x です。方程式を整数を用いた分数の標準形で求めてください。

向きが指定されていないので、横向きと縦向きの両方を調べます。横向きなら a、b > 0 で b/a = 1/2 です。b² = a²/4 を通過点の条件へ代入します。

25/a² - 4/b² = 1
25/a² - 16/a² = 1
9/a² = 1
a² = 9
b² = 9/4

分母はともに正です。候補は x²/9 − y²/(9/4) = 1 です。

縦向きなら a、b > 0 で a/b = 1/2 です。a² = b²/4 として同じ点を代入します。

4/a² - 25/b² = 1
16/b² - 25/b² = 1
-9/b² = 1
b² = -9

b² > 0 に反するため縦向きの候補はありません。計算の途中で負の平方を得たことが、向きを除く根拠です。

残った式に点を戻すと 25/9 − 4/(9/4) = 25/9 − 16/9 = 1 です。傾きの絶対値は (3/2)/3 = 1/2 で、2本の漸近線も指定と一致します。焦点は (±3√5/2, 0) です。点 (5, 2) はxが正なので右の枝にあり、もう一方の枝も双曲線の式に含まれます。

この判定には図の直感も対応します。点 (5, 2) では |2| < |5|/2 なので、2本の漸近線の間の横向きの領域にあります。等号なら漸近線上です。標準形の左辺にその直線を代入すると0になるため、右辺1と一致せず、有限の通過点にはなりません。

誤答を条件に戻して直す

「漸近線が y = ±(4/3)x だから、方程式は x²/9 − y²/16 = 1 に決まる」という答えを考えます。比は合っていますが、大きさを決める情報がありません。実際、x²/36 − y²/64 = 1 も同じ傾きの2直線を漸近線に持ちます。

図3のように、2つの横向きの双曲線は頂点がそれぞれ ±3 と ±6 です。共通の直線を見ても、どちらの頂点を通るかは選べません。焦点距離も前者が5、後者が10で異なります。

原因は、傾きの式 b/a = 4/3 を a = 3、b = 4 と読み替えたことです。正しくは a = 3t、b = 4t、t > 0 と置けます。すると焦点距離は c = 5t です。焦点距離が5なら t = 1、10なら t = 2 と決まります。焦点が与えられていないときは t が残ると答えるのが適切です。

もう1つの誤りは、縦向きでも傾きの絶対値を b/a と置くことです。縦向きの長方形は横の半幅が b、縦の半高が a なので a/b です。直線の傾きは縦÷横という出発点に戻すと、公式の取り違えを修正できます。

通過点を使う場合も、得た分母を無条件に採用しません。負の分母しか出ない向き、分母が0になる点、2つの向きが残ると早合点する場合をそれぞれ確認します。条件が矛盾すれば「存在しない」という結論も解答です。

自分で試す5問

いずれも中心が原点で軸が座標軸の双曲線を考えます。答えは整数または整数を用いた分数の標準形で表し、存在しない場合はその理由を述べてください。

1. 焦点が (±10, 0)、漸近線が y = ±(3/4)x です。方程式を求めてください。
2. 焦点が (0, ±13)、漸近線が y = ±(5/12)x です。方程式を求めてください。
3. 原点から焦点までの距離が √20、漸近線が y = ±2x です。向きを指定しないときの方程式をすべて求めてください。
4. 漸近線が y = ±x、通過点が (2, 5) です。方程式を求めてください。
5. 漸近線が y = ±(2/3)x、通過点が (6, 4) です。条件を満たす方程式があるか調べてください。

答えと、条件へ戻す手順

1

焦点がx軸上なので横向きです。a、b > 0 として b/a = 3/4、c = 10 を使います。

b² = 9a²/16
100 = a² + 9a²/16
100 = 25a²/16
a² = 64
b² = 36

答えは x²/64 − y²/36 = 1 です。64 + 36 = 100 なので焦点は (±10, 0)、傾きは ±6/8 = ±3/4 です。頂点 (8, 0) から焦点までの距離は2と18で、その差は16 = 2a です。左の頂点も同じ差になります。

2

焦点がy軸上なので縦向きです。傾きの絶対値は a/b = 5/12、焦点距離は13です。

a² = 25b²/144
169 = 25b²/144 + b²
169 = 169b²/144
b² = 144
a² = 25

答えは y²/25 − x²/144 = 1 です。25 + 144 = 169、a/b = 5/12 なので焦点と漸近線に戻ります。頂点 (0, 5) と2焦点の距離は8と18で、差は10 = 2a です。分母の大きいx方向へ開くわけではありません。

3

焦点の軸が指定されないので両方向を調べます。横向きなら b = 2a です。

20 = a² + 4a²
a² = 4
b² = 16

縦向きなら a = 2b です。

20 = 4b² + b²
b² = 4
a² = 16

答えは x²/4 − y²/16 = 1 と y²/16 − x²/4 = 1 です。いずれも分母は正、平方の和は20、傾きの絶対値は2です。前者の焦点は (±√20, 0)、後者は (0, ±√20) で、距離の条件を両方が満たします。

4

横向きなら b = a です。(2, 5) の代入で次のようになります。

4/a² - 25/a² = 1
a² = -21

a² > 0 に反するため横向きは不可能です。縦向きなら a = b なので、同じ点を代入します。

25/a² - 4/a² = 1
21/a² = 1
a² = b² = 21

答えは y²/21 − x²/21 = 1 です。通過点を戻すと 25/21 − 4/21 = 1、漸近線は y = ±x です。yが正の点なので上の枝にあり、下の枝も式に含まれます。

5

指定点は 4 = (2/3)・6 なので漸近線上です。横向きなら b/a = 2/3 から、点の代入は次のようになります。

b² = 4a²/9
36/a² - 16/b² = 1
36/a² - 36/a² = 1
0 = 1

縦向きでも漸近線上では y²/a² − x²/b² = 0 です。右辺1と一致しないため、条件を満たす双曲線は存在しません。これは計算の失敗ではなく、通過点の位置と標準形が両立しないことを示しています。

要点を手元に残す

• 正の項の方向が焦点と頂点のある軸です。
• 漸近線は半軸の比を決め、焦点距離や通過点が大きさを決めます。
• 向きが未指定なら横と縦を調べ、正の分母と元の条件を確認します。
• 漸近線上の点を通る通常の双曲線はありません。

どこで立ち止まったかを見分ける

傾きからすぐ分母を書いた答案では、半軸を t 倍した場合にも条件が保たれるかを尋ねます。倍率を変えても傾きが同じだと説明できれば、残る未知数が見えます。次に焦点距離を加えたとき、その倍率が正に定まるかを式で確かめます。

縦向きの答えが合わない答案では、補助長方形の横幅と高さを指し、傾きの分子と分母を本人に説明してもらいます。点の代入後に負の平方が出た答案では、計算を消す前に「正の長さとして存在するか」を確認します。個別指導では最後に焦点の軸、漸近線の2本、指定点の所属を元の問題文と照合します。式を出す手順と、候補が成立する理由の両方が、双曲線を決める根拠です。