高校数学C 楕円の方程式—焦点と通過点の条件から未知の半軸を求める｜武蔵野個別指導塾

焦点と通過点から半軸を求め、負の候補や存在しない場合も調べて楕円を決定します。

よくあるのは、理系の高校3年生が焦点と通過点から分母の候補を計算し、そこで楕円の式を書き終えてしまう場面です。分母は半軸の長さの2乗ですから、計算で出た数が負なら採用できません。焦点の向きと分母の大小が合うか、指定点が本当に式を満たすかも残っています。答えを出すまでの計算と、その答えが条件に戻るかの確認を一続きにしましょう。

与えられた条件をどう使い分けるか

問題の出方には、まず焦点の座標と通過点がともに与えられる型があります。焦点の位置から長軸の向きと中心から焦点までの距離を読み、通過点の座標を式に代入して半軸を決めます。焦点が x 軸上か y 軸上かで、長い半軸の分母を置く位置が変わります。

次に、焦点と通過点の位置関係から、楕円が存在するかまで問う型があります。点が焦点の間にあるとき、焦点までの距離の和は焦点間の距離に等しくなり、通常の楕円にはなりません。条件に合う式がないと答えることも、決定問題の答えです。

さらに、通過点に文字を含み、その値によって存在を調べる型があります。文字を決めずに計算すると、分母が0になる境目や、正の候補がない範囲を見落としがちです。どの式を立てるかと同じくらい、どの範囲で立てられるかに注意します。ここでは中心が原点で軸が座標軸に一致する楕円を扱います。

焦点から分母の差を読む

中心が原点で、異なる焦点が x 軸上にある楕円を考えます。長い半軸を a、短い半軸を b、原点から焦点までの距離を c とすると、a > b > 0、c > 0 です。方程式と焦点の関係は次のようになります。

x²/a² + y²/b² = 1
c² = a² - b²
焦点 (c, 0), (-c, 0)

図1のように、a と b は中心から軸端までの長さで、軸全体の長さではありません。分母は長さそのものではなく、その2乗です。焦点が y 軸上にあれば、長い半軸に対応する分母を y² の下に置きます。

図1では焦点が横軸上にあるため、横の半軸 a が縦の半軸 b より長くなります。c² は2つの分母の差であり、分母の和ではありません。焦点が異なるとき c > 0 なので、2つの分母は等しくなりません。

計算を簡単にするには、短い半軸の2乗を t と置きます。横長なら a² = t + c²、b² = t です。t > 0 とすれば、c > 0 のもとで a² > b² > 0 も同時に満たします。通過点を (u, v) とすると、必要な条件は次の1本です。

u²/(t + c²) + v²/t = 1     （t > 0）

両辺に t(t + c²) を掛けると二次方程式になります。ただし、積を掛ける前の t > 0 を忘れてはいけません。二次方程式の解のうち、0や負の値は元の分母として使えません。正の候補についても、元の分数の式に戻して確かめます。

通過点の両方の座標が0でない場合には、正の候補がちょうど1つになることも式から見通せます。0 < t₁ < t₂ なら、t₁ と t₁ + c² はそれぞれ t₂ と t₂ + c² より小さいので、左辺の各項は t₁ のほうが大きくなります。したがって左辺が1になる正の値は2つ以上ありません。実際に二次方程式を解いて正の解を得たら、代入によって存在も確定します。単調に小さくなることだけでは解の存在までは言えないため、この2つを分けて考えます。

一方、座標の一方が0の場合は、消去の途中で0を解に含むことがあります。横長の楕円で横軸上の点を使うと、元の式には不要な t を掛けた結果、t = 0 が候補として現れる場合があります。これは分母を0にするので、元の式には代入できません。計算結果の一覧に載っていることと、問題の条件に合うことは別です。

縦長では、焦点が (0, c)、(0, -c) なので x² の分母が t、y² の分母が t + c² です。焦点が原点に重なる条件なら円の扱いを別に検討する必要があります。以下では焦点が異なる場合に絞ります。

基本例題：焦点と1点から横長の式を決める

中心が原点で軸が座標軸に一致し、焦点が (3, 0)、(-3, 0) で、点 (4, 3) を通る楕円の方程式を求めてください。分母は根号を用いて正確に表します。

焦点が x 軸上にあるので横長です。c = 3 とし、短い半軸の2乗を t > 0 と置きます。すると長い半軸の2乗は t + 9 です。点を代入して、次のように計算します。

16/(t + 9) + 9/t = 1
16t + 9(t + 9) = t(t + 9)
25t + 81 = t² + 9t
t² - 16t - 81 = 0
t = 8 + √145 または t = 8 - √145

√145 > 8 なので、後者は負です。したがって t = 8 + √145 が唯一の候補です。根号を含む正確な値で方程式を表すと、次の式です。

x²/(17 + √145) + y²/(8 + √145) = 1

正の t であり、分母の差は9ですから、焦点は指定どおりです。元の通過点については t² − 16t − 81 = 0 を使い、16t + 9(t + 9) = t(t + 9) が成立します。分母は正なので割り戻せて、点 (4, 3) は確かに楕円上です。図2のように点と焦点を同じ座標平面に置き、長軸の向きを先に確認します。

図2の点は第1象限にあり、焦点は横軸上です。元の条件では距離の和も確認できます。点から2焦点までの距離は √10 と √58 で、その和の2乗は 68 + 4√145 です。一方、長軸の長さ 2a の2乗も 4(17 + √145) です。両方とも正なので距離の和は 2a に一致します。

標準例題：縦長では代入する分母を入れ替える

中心が原点で軸が座標軸に一致し、焦点が (0, 4)、(0, -4) で、点 (3, 5) を通る楕円の方程式を求めてください。分母は根号を用いて正確に表します。

焦点が縦軸上にあるので、長い半軸は y 軸方向です。短い半軸の2乗を t > 0 と置き、長い半軸の2乗を t + 16 とします。点を代入し、両分母が正であることを使って変形します。

9/t + 25/(t + 16) = 1
9(t + 16) + 25t = t(t + 16)
34t + 144 = t² + 16t
t² - 18t - 144 = 0
t = 9 + 3√25 または t = 9 - 3√25
t = 24 または t = -6

負の -6 は半軸の2乗にならないため除きます。t = 24 なら長い半軸の2乗は40です。したがって、求める方程式は x²/24 + y²/40 = 1 です。

元の条件に戻すと、9/24 + 25/40 = 3/8 + 5/8 = 1 です。分母の差は 40 − 24 = 16 なので、焦点までの距離は4です。また、点から2焦点までの距離は √10 と √90 で、和は 4√10 です。長軸の長さ 2√40 も 4√10 ですから、距離の条件も満たします。正の候補が1つなので、この条件を満たす楕円は1つです。

発展例題：軸上の通過点では存在を分ける

中心が原点で軸が座標軸に一致し、焦点が (5, 0)、(-5, 0) で、点 (k, 0) を通る楕円を考えます。実数 k の範囲を求め、存在するときの方程式を k で表してください。

焦点が異なり横軸上にあるので、a > b > 0、a² − b² = 25 です。通過点を代入すると次の条件です。

k²/a² = 1
a² = k²
b² = k² - 25

a² と b² がともに正であるには k² − 25 > 0 が必要です。したがって k < -5 または k > 5 です。この範囲では k² > k² − 25 > 0 で、大小関係も成立します。求める方程式は次のとおりです。

x²/k² + y²/(k² - 25) = 1

逆にこの範囲の k を選べば、2つの分母は正で、差は25です。焦点は (5, 0)、(-5, 0) となり、点 (k, 0) の代入値は1です。点は長軸の端にあり、2焦点までの距離の和は |k − 5| + |k + 5| = 2|k| です。これは長軸の長さに一致します。

k = 5 または k = -5 では b² = 0 となり、分母に0を置けません。-5 < k < 5 では b² < 0 です。どちらも通常の楕円は存在しません。幾何的にも、この区間の点から2焦点までの距離の和は10であり、長軸の長さは焦点間距離10より大きいという条件に合いません。境界を含めるかどうかは、不等号を付ける前に b > 0 へ戻して決めます。

誤った候補を図と式で止める

図3のように焦点が横軸上にあるとき、ある計算で長軸の2乗が16、短軸の2乗が -9 と出たとします。誤答は、そのまま x²/16 + y²/(-9) = 1 を楕円として提出することです。焦点の差の式だけを見ると 16 − (-9) = 25 となるため、条件を満たしたように見えてしまいます。

原因は、a² − b² = c² という等式だけを使い、a > b > 0 を同時に課していないことです。図3に示した -9 は半軸の長さの2乗として採用できず、楕円の短軸を表す値にはなりません。実際、その式は符号の異なる項を持ち、求めたかった楕円の形ではありません。

修正するときは、未知数を短い半軸の2乗 t と定めた直後に t > 0 を書きます。計算後の候補をすべてこの条件と照合し、残ったものについて分母の差、焦点の向き、通過点への代入を確認します。候補が1つも残らなければ、式を無理に作らず存在しないと結論します。0が残った場合も、正ではないので除きます。

5問で条件を戻す

次の各問では、中心が原点で軸が座標軸に一致し、焦点は異なるものとします。方程式の分母と文字の範囲は整数、分数または根号を用いて正確に表してください。存在しない場合はその理由も述べます。

1. 焦点が (2, 0)、(-2, 0) で、点 (0, 3) を通る楕円の方程式を求めてください。
2. 焦点が (0, 3)、(0, -3) で、点 (4, 0) を通る楕円の方程式を求めてください。
3. 焦点が (4, 0)、(-4, 0) で、点 (3, 0) を通る楕円が存在するか調べてください。
4. 焦点が (0, 2)、(0, -2) で、点 (0, 6) を通る楕円の方程式を求めてください。
5. 焦点が (3, 0)、(-3, 0) で、点 (0, h) を通る楕円について、実数 h の範囲と方程式を求めてください。

答えと確かめ方

1. 短い半軸の2乗は点の代入から9です。長い半軸の2乗は 9 + 4 = 13 ですから、x²/13 + y²/9 = 1 です。分母は 13 > 9 > 0 で、差は4です。点の代入値は1で、2焦点から点までの距離はそれぞれ √13、和は 2√13 と長軸の長さに合います。

2. 短い半軸は横向きで、点の代入からその2乗は16です。長い半軸の2乗は 16 + 9 = 25 なので、x²/16 + y²/25 = 1 です。25 > 16 > 0 で差は9、点の代入値は1です。2焦点までの距離はそれぞれ5、その和10は長軸の長さ10と一致します。

3. 長軸の2乗は点の代入から9となります。一方、焦点条件から短軸の2乗は 9 − 16 = -7 です。正にならないので存在しません。点から焦点までの距離の和は 1 + 7 = 8 で、焦点間距離8より大きくならないことからも同じ結論です。

4. 長い半軸の2乗は36、短い半軸の2乗は 36 − 4 = 32 です。よって x²/32 + y²/36 = 1 です。36 > 32 > 0 で差は4、点の代入値は1です。点から2焦点までの距離の和は 4 + 8 = 12 で、長軸の長さ12に一致します。

5. 短い半軸の2乗が h² ですから、h ≠ 0 が必要です。このとき長い半軸の2乗は h² + 9 で、方程式は x²/(h² + 9) + y²/h² = 1 です。h ≠ 0 なら分母は正で差は9、点の代入値は1です。2焦点までの距離はともに √(h² + 9) で、その和は長軸の長さと一致します。h = 0 では短い半軸が0となり、通常の楕円はありません。

手元に残す要点

焦点の軸を長軸の向きに合わせます。
長短の半軸の2乗の差は焦点距離の2乗です。
通過点を代入する前に分母の正値条件を書きます。
候補を元の式と焦点条件へ戻します。
正の候補がなければ楕円は存在しません。

途中式から見えるつまずき

焦点が縦軸上なのに x² の分母を大きく置いた答案では、代入計算より先に図の長軸を確認します。長い半軸の2乗と短い半軸の2乗を別の色で囲み、焦点がどちらの軸上にあるかを照らすと、置き違えの位置を特定できます。

負の候補を含めてしまう答案では、二次方程式を解いた行から未知数を定めた行へ戻ります。その文字が長さなのか、長さの2乗なのかを言葉で説明し、0も許されない理由を分母で確かめます。個別指導では、通過点の代入と焦点までの距離の和を本人の式で再計算し、候補を捨てる根拠まで確認します。楕円の決定は、式を得た後の条件確認まで含めて完了です。