高校数学C 楕円の定義—距離の和が一定となる条件から式と存在範囲を導く｜武蔵野個別指導塾

焦点間距離と距離の和を比べ、二乗後の式から元の条件へ戻る楕円を学ぶ。

よくあるのは、理系の高3が2つの焦点と距離の和を指定され、式を作る前に点が存在するか判断できずに立ち止まる場面です。和が正なら必ず曲線が描けると思うと、焦点間の距離より短い和も受け入れてしまいます。まず2つの焦点を結ぶ長さを調べ、その後に座標を置きましょう。式を得たら、逆に式上の点が元の距離の和を満たすことまで確かめます。

距離の条件が問う3つのこと

1つ目の型は、焦点と距離の和から点の集合を求める問題です。焦点間の距離より和が大きいか、等しいか、小さいかで結論が変わります。分母を作る前にこの比較をすれば、線分や点のない場合を楕円として描く誤りを防げます。

2つ目は、距離の和から方程式を導く問題です。根号を消すには二乗が便利ですが、二乗後の式だけでは、元の左右がともに非負だったという情報が見えなくなります。必要な向きの計算と、得られた点を元へ戻す逆向きの確認を分けて書きます。

3つ目は、文字で与えられた和の範囲を決める問題です。境界の値を含むかどうかは、図の形が線分になるか、通常の楕円になるかで判定します。負の値も含めて問われたら、距離の和は非負という最初の条件を忘れずに扱います。

2つの焦点と距離の和

異なる2点 F₁、F₂ からの距離の和が一定で、その一定値が焦点間の距離より大きい点 P の集合を楕円といいます。F₁、F₂ を焦点と呼びます。図1のように、P からそれぞれの焦点までの長さを足した値が一定です。焦点と P が一直線上に並ばないとき、2辺の和は残りの1辺より長くなります。

2つの焦点を F₁(-c, 0)、F₂(c, 0) と置き、c > 0 とします。焦点間の距離は 2c です。距離の和を 2a と表すと、通常の楕円の条件は a > c > 0 です。図1の楕円は横方向の半軸が a、縦方向の半軸が b で、b² = a² − c² を満たします。b は正の数として定めるため、ここでも a > c が必要です。

P が焦点間の線分上にあれば、距離の和は 2c です。線分の外や直線から外れた点では和は 2c より大きくなります。したがって、距離の和が 2c より小さい条件には点がなく、等しい条件の集合は焦点を端点とする線分です。線分は通常の楕円には含めません。なお、焦点が一致する場合の円はここでは扱わず、異なる焦点を前提にします。

では a > c > 0 として、P(x, y) の距離の和から式を導きます。F₁、F₂ への距離をそれぞれ R₁、R₂ とすると、両方とも非負です。

R₁ = √((x + c)² + y²)
R₂ = √((x - c)² + y²)
R₁ + R₂ = 2a
R₁ = 2a - R₂
R₁² = 4a² - 4aR₂ + R₂²
R₁² - R₂² = 4a² - 4aR₂
4cx = 4a² - 4aR₂
R₂ = a - cx/a

最後は a > 0 を使って割りました。二乗する前には 2a − R₂ = R₁ ≥ 0 という条件があり、途中の式を逆にたどる際は符号の確認が必要です。さらに R₂² = (x − c)² + y² を使います。

(x - c)² + y² = (a - cx/a)²
x² - 2cx + c² + y² = a² - 2cx + c²x²/a²
(a² - c²)x²/a² + y² = a² - c²
x²/a² + y²/(a² - c²) = 1

最後の除算は a² − c² > 0 だから可能です。b² = a² − c² と置くと、標準形は x²/a² + y²/b² = 1 です。焦点を縦軸上に置けば、同じ考え方で x と y の役割を入れ替えられます。

この導出は、元の条件を満たす点が標準形を満たすことを示しました。二乗を使ったので、これだけで両者が同じ集合とは決めません。逆向きには、標準形上の任意の点で次を確かめます。

x²/a² + y²/b² = 1
x²/a² ≤ 1
-a ≤ x ≤ a

c < a なので、a − cx/a と a + cx/a はどちらも正です。標準形を使い、距離の二乗を整理すると次の形になります。

(x - c)² + y² = (a - cx/a)²
(x + c)² + y² = (a + cx/a)²
R₂ = a - cx/a
R₁ = a + cx/a
R₁ + R₂ = 2a

平方根を外すときに正であることを使いました。こうして標準形から元の距離和へ戻れます。図1の曲線上のどの点でもこの往復が成り立ち、式に余分な点がないことまで確定します。

基本例題：焦点と和から式を作る

焦点を F₁(-3, 0)、F₂(3, 0) とし、2点からの距離の和が 10 となる点 P の集合を求めます。方程式は分母を整数にした標準形で答えてください。

まず焦点間距離は 6 です。10 > 6 なので点の集合は通常の楕円であり、a = 5、c = 3 と置けます。図2のように横の頂点は原点から 5、上下の頂点は原点から 4 の位置です。

a² = 25
c² = 9
b² = a² - c²
b² = 25 - 9
b² = 16
x²/25 + y²/16 = 1

答えは x²/25 + y²/16 = 1 です。分母の正しさは、頂点 (0, 4) を距離に戻して確かめられます。この点と各焦点の距離は √(3² + 4²) = 5 で、和は 10 です。横の頂点 (5, 0) では距離が 8 と 2 となり、こちらも和は 10 です。

頂点だけの確認は式全体の証明ではありません。任意の点については、先ほど示した標準形から距離和へ戻る計算を使います。この例では a > c > 0 が成り立つので、その逆向きの証明を適用できます。図2の焦点は頂点ではありません。距離 3 と半軸の長さ 5 を区別して図に書くと、9 を分母に置く誤りを避けられます。

標準例題：和の値で集合を分ける

異なる焦点 F₁(-4, 0)、F₂(4, 0) に対し、PF₁ + PF₂ = k を満たす点 P の集合を、実数 k の範囲ごとに求めます。楕円の場合は k を使った標準形を答えてください。

焦点間距離は 8 です。距離の和は必ず 8 以上なので、負の k を含む k < 8 では点がありません。k = 8 では線分 F₁F₂ 上の点に限ります。座標で書けば y = 0、-4 ≤ x ≤ 4 です。両端では一方の距離が 0、他方が 8 であり、端点も含みます。

k > 8 のときは a = k/2、c = 4 なので a > c > 0 です。標準形の分母は次のように決まります。

a² = k²/4
c² = 16
b² = k²/4 - 16
x²/(k²/4) + y²/(k²/4 - 16) = 1

k > 8 により両方の分母が正です。逆向きの証明を適用すると、この式上の各点の距離和は 2a = k です。例えば横の頂点では x = k/2 > 4 なので、距離の和は (k/2 + 4) + (k/2 − 4) = k になります。k = 8 をこの式へ代入すると後ろの分母が 0 になるため、境界を公式で処理せず線分として別に調べます。

発展例題：二乗後の候補を選ぶ

焦点 F₁(-2, 0)、F₂(2, 0) と、点 Q(0, 3) を考えます。Q を通り、これらを焦点とする通常の楕円の距離和 2a と方程式を求めます。距離和は根号を用い、方程式の分母は整数で答えてください。

Q からそれぞれの焦点までの距離は √(2² + 3²) = √13 です。したがって、必要な距離和は 2√13 に決まります。焦点間距離は 4 で、√13 > 2 ですから、通常の楕円が存在します。

2a = 2√13
a = √13
c = 2
b² = a² - c²
b² = 13 - 4
b² = 9
x²/13 + y²/9 = 1

この式に Q を代入すると 0/13 + 9/9 = 1 です。元の条件でも 2つの距離の和は √13 + √13 = 2√13 ですから、指定した点を通ることと距離和の両方が確認できます。焦点と通過点が決まれば Q での距離和が決まるため、別の距離和を持つ候補はありません。

計算を別の順序にすると、Q の y 座標から b² = 9、さらに a² − 4 = 9 を得ます。ここで a = ±√13 と書いて終えると、距離和 2a に負の候補が混じります。a は正と定めたので a = √13 です。方程式の分母を作れたかに加え、距離の長さとして候補が適切かを判断しましょう。

誤答を図で直す：等号を見落とさない

「焦点が (-3, 0)、(3, 0) で距離和が 6 なら、a = 3、c = 3 だから x²/9 + y²/0 = 1」という答えは誤りです。0 で割る式は定義されず、曲線の式として扱えません。図3のように、和 6 を実現するのは焦点を結ぶ線分です。

原因は a > c を確かめず、a² − c² で割ったことです。修正するときは、焦点間距離 6 と指定された和 6 を先に比較します。等しいため P は2焦点を結ぶ線分上にあり、答えは y = 0、-3 ≤ x ≤ 3 です。端点での距離和は 0 + 6、中央では 3 + 3 となります。

一方、和を 5 に変えると線分上でも距離和は 6 なので、条件を満たす点はありません。距離和を 7 にすれば 7 > 6 となり、通常の楕円が存在します。等号の前後で答えの種類が変わるので、式に代入してから考えるのではなく、最初に3通りを並べると判断しやすくなります。

また、2乗後に得た A² = B² から A = B と進むには、符号の確認が必要です。A = -B の場合もあり得ます。元の距離は負にならないため、根号を外すときは左右の非負性を記録し、得た候補を距離和に戻します。線分と空集合を見分けることも、余分な解を防ぐ確認の一部です。

練習問題

次の5問は、式と距離の条件を往復する練習です。方程式は分母を整数にした標準形で答え、距離は整数または根号で表してください。問題を先に解き、答えの点や範囲を元の距離に戻してから解説と比べます。

1. 焦点が (-5, 0)、(5, 0) で、距離の和が 26 の点の集合を方程式で求めてください。
2. 焦点が (0, -6)、(0, 6) で、距離の和が 20 の点の集合を方程式で求めてください。
3. 焦点が (-7, 0)、(7, 0) のとき、距離の和がそれぞれ 12、14、18 となる点の集合を求めてください。18 の場合は方程式で答えてください。
4. 焦点が (-1, 0)、(1, 0) で、点 (0, 2√2) を通る通常の楕円を考えます。距離の和と方程式を求めてください。
5. 焦点が (-8, 0)、(8, 0) のとき、距離の和が実数 t である点の集合が通常の楕円になる t の範囲を求めてください。境界での集合も座標で表してください。

練習の答えと戻し方

1の答え

焦点間距離は 10、指定された和は 26 なので 26 > 10 です。a = 13、c = 5 と置くと、両者は a > c > 0 を満たします。

b² = 13² - 5²
b² = 169 - 25
b² = 144
x²/169 + y²/144 = 1

答えは x²/169 + y²/144 = 1 です。(0, 12) から各焦点への距離は √(25 + 144) = 13 で、和は 26 です。任意の点についても逆向きの証明により距離和は 2a = 26 です。

2の答え

焦点は縦軸上です。焦点間距離 12 に対して和 20 は大きく、a = 10、c = 6 とできます。長い半軸の分母を y² の下に置きます。

b² = 10² - 6²
b² = 100 - 36
b² = 64
x²/64 + y²/100 = 1

答えは x²/64 + y²/100 = 1 です。(8, 0) から各焦点への距離は √(64 + 36) = 10、和は 20 です。横向きの証明の x と y を交換すると、式上の任意の点が元の距離和を満たします。

3の答え

焦点間距離は 14 です。和 12 はそれより小さいので点はありません。和 14 は焦点間の線分となり、y = 0、-7 ≤ x ≤ 7 です。線分の端を含むことも、距離和が 0 + 14 であることから確かめられます。

和 18 は 14 より大きいため、a = 9、c = 7 として通常の楕円を求めます。

b² = 9² - 7²
b² = 81 - 49
b² = 32
x²/81 + y²/32 = 1

(0, 4√2) から焦点への距離はそれぞれ √(49 + 32) = 9、和は 18 です。標準形上の任意の点も、a > c > 0 の逆向きの確認により和 18 を満たします。

4の答え

点 (0, 2√2) から各焦点までの距離を先に求めます。距離の二乗は 1 + 8 = 9 なので、距離は非負の 3 です。求める和は 6 で、焦点間距離 2 より大きくなります。

2a = 6
a = 3
c = 1
b² = 3² - 1²
b² = 8
x²/9 + y²/8 = 1

方程式に (0, 2√2) を代入すると 0/9 + 8/8 = 1 です。距離も 3 + 3 = 6 に戻るので、通過点に対する元の条件を満たします。a は長さであり、-3 を候補に入れません。

5の答え

焦点間距離は 16 です。通常の楕円となる範囲は t > 16 です。t = 16 の集合は y = 0、-8 ≤ x ≤ 8 となり、t < 16 では点がありません。負の t も最後の場合に含まれます。

t > 16 とすると a = t/2 > 8 で、a² − 64 > 0 です。標準形に逆向きの証明を使えば距離和は 2a = t です。境界の線分では、-8 ≤ x ≤ 8 の点の距離和が (x + 8) + (8 − x) = 16 となります。範囲の外の点はこの和に一致しません。

手元に残す要点

• 異なる焦点では、距離和と焦点間距離を先に比較します。
• 和が大きければ通常の楕円、等しければ線分、小さければ点はありません。
• a > c > 0、b² = a² − c² として標準形を作ります。
• 二乗後は符号と元の距離和を確かめ、逆向きも示します。

どの行で立ち止まったかを見る

距離和が焦点間距離より小さいときにも図を描き始めたなら、まず線分上と線分外で和を比べてみましょう。分母が 0 になった行を消して計算を続けたなら、その前に必要だった a > c を書き出します。式は作れたが逆が示せない場合は、標準形から -a ≤ x ≤ a を出し、平方根の中身を平方に直した後の符号を確かめます。

個別指導で確認するなら、焦点間距離、和、a と c の大小を本人の式に沿って順番に尋ねます。次に、選んだ点を焦点からの距離へ戻して、計算結果と条件が一致するかを見ます。境界の等号を線分として説明できれば、楕円の式が使える範囲も自分で判定できます。