高校数学C 原点中心の回転—掛ける複素数から回転角と拡大率を読む｜武蔵野個別指導塾

iを掛ける回転方向と絶対値による倍率を区別し、逆数を使って移動前の点も求めます。

よくあるのは、理系高3が複素数に i を掛ける向きを時計回りに取り、計算した点と図が合わなくなる場面です。実軸の正の向きから虚軸の正の向きへ進むのは反時計回りです。まず 1 に i を掛けた結果を平面に置けば、向きを自分で確かめられます。そこから長さも変わる掛け算や、移動前の点を取り戻す操作へ進みます。

要点（結論から）

• 非零の数を掛けると、原点からの距離はその絶対値倍、向きはその偏角だけ変わります。
• i は反時計回りに π/2、-i は時計回りに π/2 回します。
• 逆操作では非零を確認し、倍率を逆数に、角を反対にします。

式から位置を読む入口

問題の出方には、掛ける数が与えられて移動後の点を求める型、移動前後の点から掛ける数を決める型、移動後から元の点を復元する型があります。最初の型では掛ける数の絶対値と偏角が手がかりです。2番目と3番目では割り算を使う前に、割る数が 0 でないかを確かめます。

例えば、掛ける数の絶対値が 1 なら原点からの距離は変わりません。絶対値が 1 より大きければ距離は伸び、0 より大きく 1 より小さければ縮みます。偏角が正なら反時計回り、負なら時計回りです。ただし角は 2π の整数倍だけ違っても同じ位置を表します。角の大きさだけで距離を決めたり、実部の符号だけで回転方向を決めたりしないことが入口です。

掛け算が動かす長さと向き

非零複素数 a を a = r(cos θ + i sin θ) と表します。ここで r = |a| > 0 で、θ は a の偏角です。非零の z = ρ(cos φ + i sin φ) に対して、三角関数の加法定理から

az = rρ(cos θ + i sin θ)(cos φ + i sin φ)
   = rρ{cos θ cos φ - sin θ sin φ + i(sin θ cos φ + cos θ sin φ)}
   = rρ{cos(φ + θ) + i sin(φ + θ)}

となります。したがって原点からの距離は r 倍、向きは θ だけ変わります。r = 1 のときが距離を保つ回転で、一般の r > 0 では拡大または縮小を伴います。原点は a を掛けても原点です。z = 0 には偏角を付けられませんが、積を直接計算すれば移動先は 0 と決まります。

図1のように 1 に i を掛けると i です。正の実軸から正の虚軸へ π/2 進むので、i による移動は反時計回りです。逆に -i を掛けると -π/2、つまり時計回りの回転です。

図1の角の矢印は点の位置の変化を表し、原点を中心にしています。a = 0 のときは全点が原点に移るため、正の倍率を持つ回転として扱えず、元の点を一意に戻せません。この例外は商を作る前に分けます。

非零の a による操作の逆は 1/a を掛ける操作です。倍率は 1/r、角は -θ です。順に掛けると (1/a)az = z なので、距離と向きが両方元に戻ります。角を反対にするだけでは、r が 1 でないと元の距離に戻らないことに注意します。

基本例題：正の角と倍率を同時に読む

点 P は 2 + i を表します。w = (1 + i)z によって P が移る点 Q の複素数を実部と虚部で表し、原点からの距離の倍率と回転角を -π < θ ≤ π の範囲で求めてください。

掛ける数 1 + i は非零で、その絶対値は √2、指定範囲の偏角は π/4 です。よって距離は √2 倍、向きは反時計回りに π/4 変わります。点の座標は次のように求めます。

w = (1 + i)(2 + i)
  = 2 + i + 2i + i²
  = 1 + 3i

したがって Q は 1 + 3i です。図2のように P は (2, 1)、Q は (1, 3) です。実軸と虚軸の縮尺を等しくして比べると、反時計回りに回りながら原点から遠ざかっています。

図2に対応して距離を確かめると、|2 + i| = √5、|1 + 3i| = √10 です。後者は前者の √2 倍です。また、元の点の座標を (x, y) とすると (1 + i)(x + yi) = (x − y) + (x + y)i です。(2, 1) を入れると (1, 3) に戻り、計算と移動の両方が一致します。角の向きも、P から見て Q が反時計回り側にあることと矛盾しません。

座標によるもう一つの見方

a = u + vi、z = x + yi とおくと、az = (ux − vy) + (uy + vx)i です。この式では、実部にある -vy と虚部にある vx が向きの変化を作ります。特に u = 0、v = 1 とすれば (x, y) は (-y, x) に移ります。第1象限の点なら第2象限へ移り、反時計回りの図と一致します。

この座標式は原点にも使えます。(x, y) = (0, 0) を代入すれば移動先も (0, 0) です。一方、偏角による説明は元の点が非零であることを必要とします。座標の計算と角の説明で使える条件を区別しておくと、原点を含む問題でも無理に 0 の偏角を求めずに済みます。掛ける数が非零なら、座標式から求めた点にも逆数を掛けて戻せます。

標準例題：移動前後から掛ける数を決める

点 A の複素数は 1 + 2i、点 B の複素数は 4 − 3i です。A に複素数 a を掛けると B になります。a を実部と虚部で表し、この操作の倍率と回転角を -π < θ ≤ π の範囲で求めてください。

A は原点ではないため、1 + 2i で割れます。分母を実数にするため共役な数を掛けます。

a(1 + 2i) = 4 - 3i
a = (4 - 3i)/(1 + 2i)
  = (4 - 3i)(1 - 2i)/((1 + 2i)(1 - 2i))
  = (4 - 8i - 3i + 6i²)/(1 + 4)
  = (-2 - 11i)/5

したがって a = -2/5 − (11/5)i です。|a|² = 4/25 + 121/25 = 5 なので倍率は √5 です。a は第3象限にあり、指定範囲の偏角は θ = -π + arctan(11/2) です。ここで arctan(11/2) は 0 と π/2 の間の、正接が 11/2 の角とします。θ は負なので、指定範囲では時計回りの角として表されます。

逆に答えを元の場面へ戻します。

{(-2 - 11i)/5}(1 + 2i)
  = (-2 - 4i - 11i - 22i²)/5
  = (20 - 15i)/5
  = 4 - 3i

さらに |A| = √5、|B| = 5 なので距離の比も √5 です。割る順を逆にすると B から A への操作になります。点 A が 0 なら商は作れません。B が非零ならその条件を満たす a はなく、B も 0 ならどの a でも条件を満たすため、1つに決まりません。

発展例題：逆操作と存在条件

非零の複素数 a による操作 w = az は、原点からの距離を 2 倍し、時計回りに π/3 回転します。移動後の点が w = 2 + 2√3 i であるとき、移動前の z を実部と虚部で求めてください。また、同じ移動後の点に対応する移動前の点が複数あるか調べてください。

時計回りなので角は -π/3 です。a は非零であり、逆操作を使えます。

a = 2{cos(-π/3) + i sin(-π/3)}
  = 1 - √3 i
1/a = (1 + √3 i)/((1 - √3 i)(1 + √3 i))
    = (1 + √3 i)/4
z = (1/a)w
  = {(1 + √3 i)/4}(2 + 2√3 i)
  = (2 + 2√3 i + 2√3 i + 6i²)/4
  = -1 + √3 i

答えは z = -1 + √3 i です。逆操作は距離を 1/2 倍し、反時計回りに π/3 回す操作です。|w| = 4、|z| = 2 なので距離の条件にも合います。元の操作に戻しても

(1 - √3 i)(-1 + √3 i)
  = -1 + √3 i + √3 i - 3i²
  = 2 + 2√3 i

です。仮に z₁ と z₂ が同じ w に移るなら az₁ = az₂ です。a が非零なので割って z₁ = z₂ となり、移動前の点は複数ありません。a = 0 ならこの議論は使えず、非零の w に移る点は存在しません。移動後が原点なら、a が非零の場合の元の点は原点です。

解き方の分かれ目は、角と倍率が与えられたときに先に a を作るか、逆の倍率と角を直接使うかです。どちらも同じ逆操作を表しますが、座標で答える場合は積を展開して符号を点検します。a が 0 かもしれない条件では、逆数を書く前に場合を分けなければなりません。

向きの誤答を点に戻して直す

z = 3 + i に i を掛ける場面を考えます。時計回りと取り違えると、移動先を 1 − 3i と描いてしまいます。しかし式を展開すると次のようになります。

i(3 + i) = 3i + i²
          = -1 + 3i

図3のように正しい移動先は (-1, 3) です。誤った点 (1, -3) は -i を掛けた結果に当たります。両方とも距離は √10 なので、距離だけの確認では誤りを見つけられません。向きと実部・虚部の符号も照合します。

図3で、実軸正方向から虚軸正方向へ進む向きが正です。i² = -1 を使って座標を求めた後、その点が反時計回り側かを見れば、図と計算が互いの点検になります。角度を -π/2 とした式は -i を表すので、向きが逆になった原因も特定できます。

もう1つの誤りは、2i を掛けた移動を「π/2 の回転」とだけ答えることです。回転の向きは正しいものの、距離は 2 倍です。例えば原点から距離 3 の点は距離 6 へ移ります。距離が変わらないと結論するには、掛ける数の絶対値が 1 であることまで必要です。

練習：移動と逆向きの操作

次の5問を先に考えてください。点は複素数と対応し、回転角の代表値は -π < θ ≤ π とします。答えは指定の形で表してください。

1. z = -2 + 4i に -i を掛けた点を実部と虚部で表し、倍率と回転角を求めてください。
2. z = 3 − 2i に -2 を掛けた点を実部と虚部で表し、倍率と回転角を求めてください。
3. 点 2 − i を点 -1 − 2i に移す掛ける数を実部と虚部で求め、倍率と回転角を答えてください。
4. w = (2 + 2i)z で w = 8i のとき、z を実部と虚部で求めてください。逆操作の倍率も答えてください。
5. w = az で、原点からの距離を 3 倍し、反時計回りに π/2 回すとします。w = -6 + 9i となる z を実部と虚部で求めてください。

解答と照合

1. 展開すると

(-i)(-2 + 4i) = 2i - 4i²
                = 4 + 2i

です。|-i| = 1、指定範囲の偏角は -π/2 なので、倍率 1、時計回りに π/2 です。元の点の距離は √20、移動後も √20 です。反対向きの i を掛けると i(4 + 2i) = -2 + 4i となり、元の点に戻ります。

2. 計算すると

(-2)(3 - 2i) = -6 + 4i

です。|-2| = 2、指定範囲の偏角は π なので、倍率 2、回転角 π です。元の距離は √13、移動後は √52 = 2√13 です。移動後の各座標を -1/2 倍すると (3, -2) に戻るので、方向と倍率が条件に合います。-π も同じ向きですが、指定範囲には入りません。

3. 2 − i は非零ですから、求める数を b として割ります。

b = (-1 - 2i)/(2 - i)
  = (-1 - 2i)(2 + i)/((2 - i)(2 + i))
  = (-2 - i - 4i - 2i²)/5
  = -i

倍率は 1、回転角は -π/2 です。元の点に戻して (-i)(2 − i) = -1 − 2i となり、指定された移動先に一致します。どちらの点も原点からの距離は √5 です。

4. 2 + 2i は非零なので逆数が存在します。

z = 8i/(2 + 2i)
  = 8i(2 - 2i)/((2 + 2i)(2 - 2i))
  = (16i - 16i²)/8
  = 2 + 2i

逆操作の倍率は 1/|2 + 2i| = 1/(2√2) = √2/4 です。戻して (2 + 2i)(2 + 2i) = 8i です。元の距離 2√2 が 2√2 倍されて 8 になることも合います。

5. 掛ける数は a = 3i で、非零です。

z = (-6 + 9i)/(3i)
  = (-6 + 9i)(-i)/3
  = (6i - 9i²)/3
  = 3 + 2i

実際に 3i(3 + 2i) = -6 + 9i です。距離も √13 から 3√13 に変わります。i による反時計回りの向きと正の実数 3 による倍率の両方を、指定された移動先で確かめられます。

要点を手元に残す

• 非零の数を掛けると、原点からの距離はその絶対値倍、向きはその偏角だけ変わります。
• i は反時計回りに π/2、-i は時計回りに π/2 回します。
• 逆操作では非零を確認し、倍率を逆数に、角を反対にします。
• 原点と掛ける数 0 は偏角や逆操作を使う前に別に調べます。

どの段階で止まっているか

個別指導で確かめるなら、まず 1 に i を掛けた点を描き、その向きを言葉で説明できるかを見ます。次に倍率が 1 でない数を使い、距離と向きを別々に答えてもらいます。最後に移動後から逆数を掛けて元の点を復元し、元の式への代入で検算します。計算が合って図が逆なら向きの約束、角が合って距離が違えば絶対値、戻す途中で止まるなら非零条件と逆数を確認する手がかりです。掛ける数の長さと角を分けて読むと、原点中心の回転は座標でも図でも追えます。