高校数学C 直線と平面の角—方向と法線の角から鋭角側の値を求める｜武蔵野個別指導塾

方向と法線の内積から鋭角側を選ぶ鍵は直線と平面の角です。

よくあるのは、理系の高3が直線の方向と平面の法線の角を計算し、そのまま直線と平面の角とする場面です。法線は平面に垂直なので、その角は求めたい角と一般には異なります。図に直線の平面への影を描くと、どちらの角を求めたかを区別できます。数学Cで平面から空間へ広げた座標とベクトルを使い、3種類の角を調べます。

何と何の方向を比べるか

直線同士の問題では、それぞれの方向ベクトルを比べます。交わる直線でも、空間で交わらない直線でも、方向のなす鋭角側を同じ計算で定めます。向きの選び方で有向ベクトルの角は変わりますが、直線には矢印の向きが決まっていません。

直線と平面では、直線の方向と平面の法線を比べた後、余角に直します。二平面なら、それぞれの法線を比べます。いずれも答えを0以上π/2以下にそろえます。平行や垂直という端の場合もこの範囲に含める約束です。

出題では余弦や正弦の値を求める場合と、角そのものを求める場合があります。後者では三角比の値から範囲内の角を選びます。方向ベクトルや法線が零でないことを確かめてから、長さを分母に使いましょう。

影と法線で角の位置を決める

図1のように、平面上の点Oを通る方向ベクトルをd（ベクトル）、平面の非零法線をn（ベクトル）とします。dの法線方向の成分を取り除いたものをp（ベクトル）とすると、pは平面に平行です。図はd、p、nを含む断面を表し、空間の平面そのものを真上から描いた図ではありません。

図1のように、dとpの間の角を直線と平面の角θとします。nとpは垂直なので、図の向きではdとnの角はπ/2 − θです。向きを反転して鈍角になっても、直線や平面の方向自体は変わらないため、内積の絶対値で鋭角側を選びます。

dとnが非零なら、直線と平面の角θについて次が成り立ちます。

sin θ = |d・n|/(|d||n|)     0 ≦ θ ≦ π/2

理由を成分で確かめます。法線方向の成分をq = (d・n)/|n|² として、p = d − qnと置くと、p・n = 0です。したがってpは平面に平行で、直角三角形の高さに当たる長さは|q||n|です。これを斜辺|d|で割ると上の式になります。dが法線に平行ならpは零となり影の向きは定まりませんが、直線は平面に垂直なのでθ = π/2と定めます。逆にd・n = 0なら直線は平面に平行、または平面上にあり、θ = 0です。

非零の方向u、vを持つ2直線の角α、および非零の法線n₁、n₂を持つ2平面の角βは、同じ形の余弦で表せます。

cos α = |u・v|/(|u||v|)     0 ≦ α ≦ π/2
cos β = |n₁・n₂|/(|n₁||n₂|)     0 ≦ β ≦ π/2

二平面が交わるとき、交線に垂直な断面で各平面が作る直線の鋭角側と、法線同士の鋭角側は等しくなります。平行または一致する平面の角は0とします。平面の方程式の係数がすべて0なら非零法線が得られず、この公式を平面の角に使えません。

式を選ぶ前の点検

3種類の角を一度に覚えようとすると、正弦と余弦の取り違えが起こりやすくなります。求める対象を紙に書き、その横に比較するベクトルを書き出します。直線なら方向、平面なら法線を取り出し、両方が直線または両方が平面なら余弦、片方ずつなら正弦です。これは暗記のための分類ではなく、平面の法線が面内の方向に垂直であることから生じる違いです。

内積が負になったときも、答えを負の角にする必要はありません。例えば方向を逆にすれば内積の符号は変わりますが、同じ直線を表します。絶対値を取った比が0から1の間にあるか調べ、その比に合う角を指定の範囲で選びます。比が1を超えた場合は内積や長さの計算を再確認します。

平面の定数項は法線の成分に入りません。定数項を変えると平面の位置は変わりますが、法線の方向は変わらず、方向だけで定める角も変わりません。直線の通る点を移しても方向が同じなら同様です。角と位置関係を区別しておくと、図が交差して見えるかどうかに左右されずに計算できます。

基本例題：斜めの線と水平な面

原点を通る直線の方向がd = (1, 0, 1)、平面がz = 0です。直線と平面の角を、0以上π/2以下の角で求めてください。

図2のように、dの平面への影は(1, 0, 0)です。平面の法線n = (0, 0, 1)もdも非零なので公式を使えます。平面の式におけるzの係数から法線を読みます。

d・n = 1
|d| = √2
|n| = 1
sin θ = 1/√2
θ = π/4

図2のように、影の長さと高さはいずれも1です。直角三角形の斜辺は√2なので、得た角は元の方向の成分にも合います。法線との角もこの例ではπ/4ですが、たまたま等しいのであり、常にそのままでよいという意味ではありません。

標準例題：2直線の向きを逆にする

方向がu = (1, 2, 2)、v = (-2, -1, 2)である2直線の角を、0以上π/2以下の角で求めてください。2直線が交わるかどうかは問わず、方向の角を求めます。

どちらも零ベクトルではなく、長さはそれぞれ3です。内積から余弦を作り、直線の向きの選び方に依存しないよう絶対値を取ります。

u・v = -2 - 2 + 4
      = 0
|u| = √(1 + 4 + 4) = 3
|v| = √(4 + 1 + 4) = 3
cos α = |0|/(3・3)
      = 0
α = π/2

元の成分で内積を計算して0なので、方向は垂直です。直線が交わらなくても方向としての角はπ/2です。vを逆向きにしても内積は0のままで、同じ答えが得られます。

発展例題：二平面と直線を続けて比べる

平面Pをx + 2y + 2z = 3、平面Qを2x + y − 2z = 1とします。また直線lの方向をd = (2, -1, 2)とします。PとQの角β、およびlとPの角θを、それぞれ0以上π/2以下の角で求めてください。

P、Qの法線をそれぞれn₁ = (1, 2, 2)、n₂ = (2, 1, -2)とします。どちらも非零で、互いに実数倍ではないので平面は交わります。まず法線同士の角を使います。

n₁・n₂ = 2 + 2 - 4
        = 0
|n₁| = √(1 + 4 + 4) = 3
|n₂| = √(4 + 1 + 4) = 3
cos β = |0|/9
      = 0
β = π/2

次にdとn₁を比べます。dも非零であり、直線と平面の角では余弦ではなく正弦を使います。

d・n₁ = 2 - 2 + 4
       = 4
|d| = √(4 + 1 + 4) = 3
sin θ = |4|/(3・3)
      = 4/9

したがってθは、0以上π/2以下で正弦が4/9となる角です。特別な角の値に無理に直す必要はありません。検算として、dの法線成分は(4/9)n₁で、その長さは4/3です。元の長さ3に対する比は4/9となり、正弦の値と一致します。PとQの法線の内積も元の係数で0に戻るので、二平面の角は直角です。

係数が文字を含む問題では先に非零条件を調べます。例えば平面の法線が(k, 0, 0)と与えられたなら、k = 0では平面の法線として使えません。k ≠ 0なら長さは|k|で、符号を変えても角は変わりません。分母を作る前の分岐が、存在しない方向への割り算を防ぎます。

法線との角を答えてしまったら

図3のように、平面に沿う方向と法線が垂直な断面を考えます。直線の方向d = (√3, 0, 1)、平面z = 0に対して、法線との角をそのまま直線と平面の角にするのが誤答です。

図3のように、影の長さは√3、高さは1、dの長さは2です。法線との角は余弦が1/2なのでπ/3ですが、平面との角はその余角のπ/6です。式でもsin θ = 1/2からθ = π/6となります。

誤りの原因は、内積で直接求めた角の両辺が何を表すかを見失うことです。法線を使う場合は、式の左辺に最初からsin θと書くか、法線との鋭角を書いた後にπ/2から引きます。絶対値を付け忘れた場合は、方向を逆にしても同じ直線であることを使って値を点検できます。

直線が平面に垂直な場合、法線との角は0で、平面との角はπ/2です。平面に平行な場合は逆に、法線との角がπ/2で、平面との角は0です。この両端を代入すれば、余弦と正弦の取り違えに気づけます。

練習：方向を読み、範囲まで決める

次の5問は、それぞれ答えの形を守って解いてください。平面と直線の角、2直線の角、2平面の角は、いずれも0以上π/2以下とします。

1. 方向が(1, 1, 0)と(1, -1, 0)である2直線の角を、πを使って求めてください。
2. 方向が(1, 1, 2)の直線と平面x + y − z = 5の角を、πを使って求めてください。
3. 方向が(1, 2, 2)の直線と平面z = 4の角θについて、sin θを分数で求めてください。
4. 平面x + y = 2と平面x + z = 3の角を、πを使って求めてください。
5. 実数tについて、方向が(t, 1, 0)の直線と平面x = 2の角がπ/6となるtを、すべて根号で求めてください。

解答と解き方

1. 2方向はともに非零で、それぞれの長さは√2です。内積と余弦を順に計算します。

(1, 1, 0)・(1, -1, 0) = 1 - 1 + 0
                         = 0
cos α = 0/(√2・√2)
      = 0
α = π/2

成分に戻すと、対応する積の和は0です。2方向は垂直なので答えの直角と合います。

2. 法線はn = (1, 1, -1)、直線の方向をd = (1, 1, 2)とします。どちらも非零です。

d・n = 1 + 1 - 2
      = 0
sin θ = 0/(√6・√3)
      = 0
θ = 0

方向dを平面の左辺の変化に代入すると1 + 1 − 2 = 0です。したがって直線は平面に平行、または平面内にあり、角0と一致します。

3. 平面の法線をn = (0, 0, 1)とします。直線の方向dとnは非零です。

d・n = 2
|d| = √(1 + 4 + 4) = 3
|n| = 1
sin θ = |2|/(3・1)
      = 2/3

方向の高さ成分は2、方向の長さは3です。高さと斜辺の比も2/3なので、元の成分に戻して確かめられます。

4. 法線n₁ = (1, 1, 0)、n₂ = (1, 0, 1)は非零で、互いに実数倍ではありません。それぞれの長さは√2です。

n₁・n₂ = 1 + 0 + 0
        = 1
cos β = 1/(√2・√2)
      = 1/2
β = π/3

2つの方程式の係数に戻して内積を取っても1です。法線の長さの積は2なので、余弦1/2という値が再現されます。

5. d = (t, 1, 0)は第2成分が1なので、どの実数tでも非零です。平面の法線n = (1, 0, 0)も非零です。直線と平面の角がπ/6である条件は次の通りです。

|d| = √(t² + 1)
d・n = t
|t|/√(t² + 1) = 1/2
4t² = t² + 1
3t² = 1
t² = 1/3
t = √3/3 または -√3/3

平方する前の両辺は非負で、分母も常に正です。両方の候補を元の比に戻すと、|t| = 1/√3、√(t² + 1) = 2/√3なので比は1/2です。範囲内で正弦が1/2の角はπ/6であり、どちらも条件を満たします。

練習5では、tの符号が異なる2つの方向が同じ直線という意味ではありません。それぞれ別の方向でも、平面に対する傾きの大きさが等しくなります。絶対値を外すときは正負の両方を調べ、平方した後は必ず元の条件に代入します。

持ち帰る要点

• 2直線は非零の方向同士、2平面は非零の法線同士を比べ、余弦に絶対値を使います。
• 直線と平面は方向と法線の内積の絶対値を長さの積で割り、角の正弦とします。
• 角の範囲は0以上π/2以下とし、平行と垂直も含めます。
• 零方向や零法線を分母に入れず、得た値を元の成分に戻します。

どこで止まったかを見分ける

角度の値が合わないときは、まず図に平面の影と法線を書き、求める角に印を付けます。次に方向と法線の成分、非零条件、内積、長さの順に声に出して確認します。個別指導で式を見せるときも、どの2方向の角を計算したのかを図と対応させると、余角を取る前の誤りと計算の誤りを区別できます。

平行と垂直の両端に式を戻し、正弦と余弦の役割を確かめれば、斜めの位置でも角を選べます。