高校数学C 平面の法線ベクトル—垂直条件から座標方程式を組み立てる｜武蔵野個別指導塾

平面内の2方向との内積から法線を求め、三点を通る方程式と退化する場合を見分ける道筋をたどります。焦点となる平面の法線を捉えます。

よくあるのは、理系の高3が平面内の一本の直線に垂直なベクトルを見つけ、それを平面の法線として使う場面です。一本に垂直という条件は必要ですが、それだけでは平面に沿う別の方向に傾いている可能性があります。平面上で独立な2方向を選び、両方との内積を調べると、その不足を埋められます。

座標とベクトルを平面から空間へ拡張する数学Cの範囲で、内積と連立一次方程式を使います。ここでは法線から平面の方程式を作ることと、3点から法線を探すことを扱います。距離や角の公式には進みません。

どんな情報から始めるか

平面上の点と法線が与えられたら、その点から動点へ向かうベクトルとの内積を0と置きます。係数を展開すれば座標の一次方程式になります。動点が平面上にあることと内積が0であることの両方向を確認するのが到達点です。

一方、平面上の3点が与えられたら、まず3点が一直線上にないかを確かめます。1点を始点とする2本のベクトルが実数倍でなければ、平面内の独立な2方向として使えます。それぞれに内積0という条件を置き、非零の解を法線として選びます。

さらに、文字を含む3点では、その文字の値によって2方向が平行になり得ます。普段の計算で割った式の分母が0になる場合は別に調べます。3点が共線なら、その3点を通る平面は1つに定まらず、通常の手順をそのまま続けることはできません。

2方向に垂直という条件

平面上の点を A、平面内の独立な方向を表すベクトルを u、v とします。u と v はともに零ベクトルではなく、互いに実数倍ではないとします。平面の法線ベクトル n とは、平面に垂直な非零のベクトルです。したがって n・u = 0、n・v = 0 です。

逆に、この2式を満たす非零の n があれば、平面内の任意の方向は s u + t v と表せますから、n・(s u + t v) = 0 です。よって n は平面のあらゆる方向に垂直です。2方向の独立性は、平面内の方向を漏れなく表すために必要です。図1のように一本への垂直だけでは、もう一本への垂直は決まりません。

図1では平行四辺形を平面の一部として描いています。投影図上の角度を実際の角度と読み取らず、直交の表示と内積の条件で関係を確認します。法線は長さも向きも一通りではありません。n の0でない実数倍も同じ平面の法線です。

A(a, b, c) を通り、n = (p, q, r) を法線とする平面を考えます。ただし (p, q, r) は零ベクトルではありません。動点 P(x, y, z) が平面上にある条件は、ベクトル AP = (x − a, y − b, z − c) を使って次のように書けます。

n・ベクトル AP = 0
p(x - a) + q(y - b) + r(z - c) = 0

逆向きも確かめましょう。上の式を満たす P が A と異なるなら、ベクトル AP は非零の n に垂直であり、A を通る n に垂直な平面上にあります。P = A もその平面上です。したがって方程式は平面を余分なく表します。

展開して px + qy + rz + d = 0 と書けば、係数 (p, q, r) が法線です。ただし3係数が同時に0の場合は法線になりません。例えば 0x + 0y + 0z = 0 は空間の全点が満たし、右辺が0でない式なら満たす点はありません。いずれも1つの平面の方程式として扱えません。

基本例題：点と法線から立てる

点 A(1, -2, 3) を通り、n = (2, -1, 2) に垂直な平面の方程式を、整数係数の座標形で求めてください。また B(2, 0, 3) がその平面上にあるか判定してください。

n の第1成分は0でないので、n は法線として使えます。P(x, y, z) と置き、図2のように A から P への方向を使います。

n・ベクトル AP = 0
2(x - 1) - (y + 2) + 2(z - 3) = 0
2x - 2 - y - 2 + 2z - 6 = 0
2x - y + 2z - 10 = 0

求める方程式は 2x − y + 2z − 10 = 0 です。図2の A は基準点で、P は平面内を動きます。A を代入すると 2 + 2 + 6 − 10 = 0 となり、指定された点を通ります。係数は与えられた法線と一致しています。

B の所属は3成分を同時に代入して判定します。

2・2 - 0 + 2・3 - 10 = 0

したがって B は平面上にあります。実際にベクトル AB = (1, 2, 0) と n の内積も 2 − 2 + 0 = 0 です。平面上の1方向との直交を確認できましたが、これだけで法線と決めたのではなく、最初に平面を n に垂直と指定しています。

係数を全体に -1 倍した式も同じ平面を表します。反対に定数項だけ符号を変えると、一般には A を通らない別の平面です。展開後は法線の係数と基準点の両方を戻して調べると、符号の取り違えを見つけられます。

標準例題：3点から法線を探す

A(1, 0, 1)、B(2, 1, 1)、C(1, 1, 2) を通る平面の方程式を、x の係数が正の整数で互いに最大公約数が1となる座標形で求めてください。

まず2方向を計算します。

ベクトル AB = (1, 1, 0)
ベクトル AC = (0, 1, 1)

第1成分を比べると、AC は AB の実数倍ではありません。したがって3点は共線でなく、1つの平面を定めます。法線を n = (p, q, r) と置き、両方向との内積を0とします。

p + q = 0
q + r = 0
p = -q
r = -q

q = -1 と選ぶと n = (1, -1, 1) です。これは非零なので法線として使えます。q = 0 と選ぶと零ベクトルになり、法線には使えません。基準点 A を使えば、

(x - 1) - y + (z - 1) = 0
x - y + z - 2 = 0

となります。A、B、C の左辺は順に 1 − 0 + 1 − 2、2 − 1 + 1 − 2、1 − 1 + 2 − 2 で、いずれも0です。係数 (1, -1, 1) と AB、AC の内積もそれぞれ 1 − 1 = 0、-1 + 1 = 0 です。3点の所属と2方向への垂直を別々に確かめることで、点の代入ミスと法線の計算ミスの両方を点検できます。

発展例題：文字による退化を先に調べる

実数 k に対して A(0, 0, 0)、B(1, 1, 0)、C(2, k, k − 2) を考えます。3点を通る平面が一意に定まる k の範囲を求め、そのときの平面の方程式を整数係数を用いた座標形で表してください。一意に定まらない場合も理由を述べてください。

ベクトル AB = (1, 1, 0)
ベクトル AC = (2, k, k - 2)

AC が AB の実数倍なら、第1成分から倍率は2です。第2成分から k = 2 が必要で、このとき第3成分も0となります。逆に k = 2 なら AC = 2 AB です。したがって3点が共線となるのは k = 2 のときに限ります。

k = 2 では A と B は異なり、C は直線 AB 上にあります。この直線を含む平面は複数あります。例えば z = 0 と x − y = 0 はともに3点を含む異なる平面ですから、一意には定まりません。

k ≠ 2 では2方向が独立です。法線 (p, q, r) との内積から、

p + q = 0
2p + kq + (k - 2)r = 0
p = -q
(k - 2)q + (k - 2)r = 0
q + r = 0

最後の変形では k − 2 ≠ 0 を使いました。q = -1 と選ぶと p = 1、r = 1 で、非零の法線 (1, -1, 1) を得ます。原点 A を通るので求める平面は x − y + z = 0 です。

元の点に戻すと B では 1 − 1 + 0 = 0、C では 2 − k + (k − 2) = 0 です。また法線と AB、AC の内積も0です。k が変わっても平面が同じなのは、C がこの方程式上を動くように座標が与えられているためです。k = 2 を計算の最後に無条件で代入して「一意」とすると、共線という例外を見落とします。

一本への直交で止めた答案を直す

上の標準例題で、n = (1, -1, 0) としてしまったとします。AB = (1, 1, 0) との内積は0です。しかし AC = (0, 1, 1) との内積は -1 で、0ではありません。図3のように、この候補は平面内の一方向には垂直でも、別の方向には垂直ではありません。

この候補をそのまま使うと、A を通る式は x − y − 1 = 0 です。A と B は満たしますが、C を代入すると -2 となり、求める平面ではありません。誤りの原因は内積計算ではなく、確認した方向が不足している点です。

修正では、独立な AB と AC の両方に内積0を課します。連立して得た (1, -1, 1) は非零で、2つの内積がともに0です。図3では候補と正しい法線を別に示しています。図の見かけの直角ではなく、成分で判定してください。

逆に2本を調べても、それらが平行なら条件は実質1本分です。まず独立性、次に2つの内積、最後に非零性という順序で確かめると、成立条件を落としにくくなります。

練習：条件を式に移す

答えは平面について整数係数の座標形で示し、判定には理由を添えてください。各問の数値は独立に考えます。

1. 点 D(2, 1, -1) を通り、法線 (1, 2, -1) をもつ平面を求めてください。
2. 平面 3x − 2y + z − 4 = 0 の法線を1つ挙げ、点 E(1, 0, 1) が平面上にあるか判定してください。
3. F(0, 1, 0)、G(1, 1, 1)、H(0, 2, 1) を通る平面を求めてください。
4. J(0, 0, 0)、K(1, 2, 0)、L(2, 4, 0) を通る平面は一意に定まるか判定し、異なる平面を2つ挙げてください。
5. 平面 x + 2y − z + 3 = 0 に垂直なベクトルのうち、第1成分が2であるものを求めてください。

練習の解答と解き方

1. 法線は第1成分が1なので非零です。動点 (x, y, z) について、

(x - 2) + 2(y - 1) - (z + 1) = 0
x + 2y - z - 5 = 0

D を戻すと 2 + 2 + 1 − 5 = 0 です。係数も法線 (1, 2, -1) に一致します。

2. 係数から法線の1つは (3, -2, 1) です。零ベクトルではありません。E を代入すると 3 + 0 + 1 − 4 = 0 なので、E は平面上にあります。法線と点の所属は別の条件として調べました。

3. ベクトル FG = (1, 0, 1)、ベクトル FH = (0, 1, 1) です。第1成分から互いに実数倍ではありません。法線を (p, q, r) とすると、p + r = 0、q + r = 0 です。r = -1 とすれば (1, 1, -1) を得ます。

x + (y - 1) - z = 0
x + y - z - 1 = 0

F、G、H の左辺はそれぞれ 0 + 1 − 0 − 1、1 + 1 − 1 − 1、0 + 2 − 1 − 1 で、いずれも0です。法線と2方向の内積もともに0です。

4. ベクトル JL = 2 ベクトル JK なので3点は共線です。よって平面は一意に定まりません。例えば z = 0 と 2x − y = 0 は別の平面で、J、K、L の座標はいずれの式も満たします。両式の法線 (0, 0, 1)、(2, -1, 0) は非零で、互いに実数倍ではありません。

5. 与式の法線は非零の (1, 2, -1) です。この平面に垂直なベクトルはその実数倍です。第1成分が2となる倍率は2ですから、答えは (2, 4, -2) です。実際に係数の2倍で、第1成分も指定を満たします。第1成分が0の法線を使う問題では、その成分を割って倍率を決めることはできないので、指定との整合性を先に調べます。

もう一度、練習4と5の違いを整理します。練習4では与えられた点から平面が定まるかを問いました。共線の点を通るという条件には自由度が残るため、異なる2平面を実際に示せば一意でないことを確認できます。一方、練習5では平面そのものが先に与えられています。垂直な方向はその平面の法線の実数倍に限られ、成分の指定が倍率を決めます。

3点を通る方程式を作った後に3点を代入する確認も欠かせません。法線が正しくても基準点の座標を取り違えれば、平行な別の平面を書いてしまいます。反対に3点のうち2点だけを代入しても、残る1点を通らない誤答を見逃すことがあります。条件の数に合わせて確認する対象も選びましょう。

手元に残す要点

• 法線は非零で、平面内の独立な2方向の両方に垂直です。
• 点 A と法線 n から、n・ベクトル AP = 0 と置きます。
• 3点から始めるときは共線かどうかを先に判定します。
• 答えは点の所属と方向への内積を元の条件に戻して確かめます。

つまずきを見分けるには

式が作れないときは、点の座標と方向の成分を別の欄に書き、始点をそろえた差を計算してください。点を法線の成分として使うと、通過条件と垂直条件が混ざります。求めた法線が零になった場合は、連立式の自由な係数を0以外に選べるかを見直します。

個別指導で確認するときも、まず自分の図に独立な2方向を記し、それぞれとの内積を声に出して説明すると、どの条件が抜けたかを特定できます。式が合っていても、共線の場合を除く理由を説明できるかを確認してください。平面を決める2方向と非零の法線がそろえば、座標方程式の根拠が明確になります。