高校数学C 空間の平面の方程式—一点と独立な二方向から所属条件を表す｜武蔵野個別指導塾

一点と独立な2方向による二変数表示から、点が平面に属する条件を3成分で照合する手順をたどります。

よくあるのは、空間の一点を通り、それぞれ別の直線に平行な2方向を使って平面を作る場面です。方向ベクトルを2本並べて式を書けても、与えられた点がその平面にあるか、2本で本当に平面が定まるかで手が止まることがあります。係数を文字で置いた後、3成分の条件を最後まで照らすことが鍵です。

数学Cの座標とベクトルを空間に広げた範囲で、二変数表示と所属を扱います。ここでは平面を張る方向の条件を先に確認し、直線との交点や距離の公式には立ち入りません。

要点（結論から）

• 基点に独立な2方向の実数倍を加えると、平面上の点を表せます。
• 所属判定では同じ2係数が3成分を同時に満たすか調べます。
• 方向が平行、または零ベクトルを含むと、二変数表示は平面を張りません。

何を求める問題か

出方は大きく3型あります。1つ目は、通る点と2方向から、平面上の点を2つの実数を使って表す型です。2つ目は、ある点の座標を代入して、その点に対応する2つの係数が存在するかを調べる型です。3つ目は、方向に文字が含まれるとき、どの値なら平面を張るかを判定する型です。

どの型でも、最初に2方向がともに非零で、一方が他方の実数倍ではないことを確かめます。その後、点からの移動を成分ごとに書き、必要に応じて係数を消去します。消去した式を答える場合も、その式を満たす点が元の表示に戻ることまで示すと、余分な点を含まないことがわかります。

一点から2方向に動く

空間の原点を O、基点を A とし、a を A の位置ベクトルとします。また u、v を2つの方向を表すベクトルとします。ここで u と v がともに零ベクトルでなく、一方が他方の実数倍でないとき、この2本は一次独立です。例えば一方が零ベクトルなら独立ではありません。2本が独立なら、A を通り両方に平行な平面が1つ定まります。

その平面上の点 P の位置ベクトルを p とすれば、実数 s、t を使って次のように表せます。

p = a + s u + t v

図1のように、まず A から u の実数倍だけ、そこから v の実数倍だけ移動します。s や t は負でもよく、0でもかまいません。したがって図の平行四辺形の内部に限らず、両方向に延びる平面全体を表します。矢印の長さや角度は投影図の見かけであり、実際の大きさを測る図ではありません。

逆に、平面上のどの点も2方向の移動を組み合わせて表せます。さらに独立性があれば、同じ点に対応する s、t は一組に定まります。実際、2組の差が (s − s′)u + (t − t′)v = 0 なら、u と v が平行でないので両係数は0です。これが係数を2成分から求め、残る成分で所属を確認できる理由です。

座標で A = (a₁, a₂, a₃)、u = (u₁, u₂, u₃)、v = (v₁, v₂, v₃) とすると、P = (x, y, z) の条件は次の3式です。

x = a₁ + s u₁ + t v₁
y = a₂ + s u₂ + t v₂
z = a₃ + s u₃ + t v₃

3式を同時に満たす実数 s、t が存在することが所属条件です。最初の2式を満たしても、3式目を満たさなければ所属しません。最初の2式だけでは係数が一意に求まらないときも、別の成分の組を使うか、3式を連立して判定します。

基本例題：点を移動で表す

点 A = (1, 0, 2) を通り、u = (1, 1, 0)、v = (0, 1, 1) に平行な平面を考えます。点 B = (3, 1, 1) がこの平面上にあるか調べ、ある場合は対応する s、t を整数で求めてください。また、この平面の方程式を x、y、z の一次式で表してください。

u の第1成分は1ですが v の第1成分は0なので、u は v の実数倍ではありません。両者は非零で独立です。よって、求める平面上の点 P = (x, y, z) は次で表されます。

(x, y, z) = (1, 0, 2) + s(1, 1, 0) + t(0, 1, 1)
x = 1 + s
y = s + t
z = 2 + t

B の第1、第3成分から順に係数を求めます。

3 = 1 + s
s = 2
1 = 2 + t
t = -1
s + t = 2 + (-1) = 1

第2成分も B の値1に一致します。したがって B は平面上にあり、対応する係数は s = 2、t = -1 です。図2のように、A から u の2倍、さらに v の逆向きに1倍進むと B に到着します。図の A、B、方向の位置関係はこの移動を表しています。

平面の方程式を作るには、x と z の式から係数を取り出します。

s = x - 1
t = z - 2
y = (x - 1) + (z - 2)
x - y + z = 3

これは元の表示から必要な条件として得られました。逆に x − y + z = 3 を満たす点に対して s = x − 1、t = z − 2 と置くと、第1、第3成分は元の式を満たし、第2成分も y = x + z − 3 = s + t です。よってこの一次式は元の平面と一致します。A では 1 − 0 + 2 = 3、B では 3 − 1 + 1 = 3 となり、与えられた点でも確かめられます。

2方向の係数を消す際、消去後の式だけを見て満足せず、逆向きに係数を作れるかを調べてください。必要条件と十分条件の両方がそろって初めて、平面全体の方程式になります。

標準例題：3つ目の成分で判定する

点 C = (2, -1, 1) を通り、u = (1, 2, 1)、v = (2, -1, 1) に平行な平面を考えます。D = (6, 2, 4) と E = (6, 2, 5) について、それぞれ平面上にあるか調べてください。所属する点の係数は整数で答えます。

u と v が平行だとすると、第1成分から v = 2u が必要ですが、第2成分は -1 と 4 で一致しません。両者は非零で独立です。平面の表示と、D または E の第1、第2成分を使った式は次のとおりです。

(x, y, z) = (2, -1, 1) + s(1, 2, 1) + t(2, -1, 1)
6 = 2 + s + 2t
2 = -1 + 2s - t
s + 2t = 4
2s - t = 3
t = 2s - 3
s + 2(2s - 3) = 4
5s = 10
s = 2
t = 1

第1、第2成分に合う係数はこの組に限られます。第3成分の予測値を計算します。

z = 1 + s + t
z = 1 + 2 + 1
z = 4

したがって D は所属し、s = 2、t = 1 です。実際に (2, -1, 1) + 2(1, 2, 1) + (2, -1, 1) = (6, 2, 4) となります。一方 E の第3成分は5なので所属しません。第1、第2成分が同じであっても、残りの成分が異なれば判定は変わります。

ここでは第1、第2成分の連立方程式で係数が一意に決まりました。もし2式が同じ条件に縮む場合は、一意に決まらないことを理由に所属と結論せず、第3成分も加えて連立を続けます。矛盾があれば不所属、矛盾がなく実数の組があれば所属です。

発展例題：方向が平行になる値を分ける

点 F = (1, 2, -1) を通り、u = (1, 2, 1)、v = (2, k, 2) に平行な平面を考えます。実数 k のうち、この2方向が平面を定める値を求めてください。さらに k = 3 のとき、点 G = (4, 5, 2) がその平面上にあるか調べ、所属するなら s、t を整数または分数で答えてください。

u と v は第1成分がそれぞれ1、2なので、どちらも零ベクトルではありません。平行なら v = 2u でなければならず、各成分を比較します。

2u = (2, 4, 2)
v = (2, k, 2)
v = 2u となる条件は k = 4

よって k ≠ 4 のときに限り独立であり、F を通る平面を1つ定めます。k = 4 では2方向が同一直線に平行です。その直線を含む平面は複数あるため、条件だけでは平面を1つに決められません。式 F + s u + t v が表す点の集合も、その場合は直線です。

k = 3 は独立性の条件を満たします。G の座標を表示に代入します。

(4, 5, 2) = (1, 2, -1) + s(1, 2, 1) + t(2, 3, 2)
s + 2t = 3
2s + 3t = 3
s + 2t = 3
s = 3 - 2t
2(3 - 2t) + 3t = 3
6 - t = 3
t = 3
s = -3

第3式にも s + 2t = -3 + 6 = 3 が成り立ちます。したがって G は所属し、s = -3、t = 3 です。元の移動に戻しても (1, 2, -1) − 3(1, 2, 1) + 3(2, 3, 2) = (4, 5, 2) となります。

この例では第1成分だけから倍率を決められるので、文字を含む第2成分の比較へ進みました。比較に使いたい成分が0の場合、0で割ることはできません。まず両ベクトルの零・非零を見て、非零の成分で倍率を求め、残る成分を照合します。非零成分が見つからないときは、そのベクトル自体が零なので独立ではありません。

間違いを点の移動に戻す

基本例題の平面で、点 H = (3, 1, 2) について「x = 3、y = 1 を満たす係数が見つかるので H は平面上」とする解答を考えます。実際、この2成分から s = 2、t = -1 が得られます。しかし残る z は 2 + (-1) = 1 で、H の z = 2 とは一致しません。

図3では、2方向の移動で得られる点 B と、そこから座標の第3成分だけが異なる H を区別しています。平面への所属は3成分の同時成立で決まります。投影図では高さの見え方が変わるため、図の見た目だけで判定せず、数値を元の式に戻します。

修正するには、求めた s = 2、t = -1 を z = 2 + t に代入し、z = 1 と H の値を比べます。別の係数で H に届く可能性も、第1成分から s = 2、第2成分から t = -1 と一意に決まるのでありません。平面の一次式でも 3 − 1 + 2 = 4 ≠ 3 と確認できます。

もう一つの誤りは、2本の方向が平行なのに「2変数があるから平面」と決めることです。例えば v = 2u なら a + s u + t v = a + (s + 2t)u です。動ける方向は1本で、係数の組は同じ点に対して複数あります。文字の数ではなく、方向の独立性を判定してください。

練習：係数と条件を調べる

答えは整数または分数で表してください。各方向ベクトルは問題中で指定するものとし、平面を問う場合は独立性も確認します。

1. A = (0, 1, -1)、u = (1, 0, 2)、v = (0, 1, -1) です。A を通り両方向に平行な平面の二変数表示と、x、y、z の一次式を求めてください。
2. C = (-1, 2, 0)、u = (1, 1, 0)、v = (0, 1, 2) です。Q = (2, 4, -2) が C を通る両方向に平行な平面にあるか調べ、あれば係数を求めてください。
3. R = (1, -2, 3)、u = (2, 1, 0)、v = (1, -1, 1) です。T = (5, -1, 4) の所属を調べ、あれば係数を求めてください。
4. u = (3, 1, -1)、v = (6, 2, h) とします。2方向が独立となる実数 h の範囲を求め、独立でない場合に一点を基点とする二変数表示が何を表すか答えてください。
5. A = (2, 1, 0)、u = (1, 2, 1)、v = (2, 1, 0) とします。X = (3, 0, q) が A を通り両方向に平行な平面に属するような q と、そのときの係数を求めてください。

練習の解答と解き方

1. 係数を取り出して消す

u の第1成分は1、v の第1成分は0なので両者は非零かつ独立です。P = (x, y, z) として次を得ます。

(x, y, z) = (0, 1, -1) + s(1, 0, 2) + t(0, 1, -1)
x = s
y = 1 + t
z = -1 + 2s - t
s = x
t = y - 1
z = -1 + 2x - (y - 1)
2x - y - z = 0

逆に最後の式が成り立てば、s = x、t = y − 1 で3成分とも元の表示に戻ります。基点では 2・0 − 1 − (-1) = 0 です。また u を1倍した先 (1, 1, 1)、v を1倍した先 (0, 2, -2) も式を満たします。方程式が指定の2方向を取り込んでいることまで確認できます。

2. 負の係数も使う

u と v は第1成分から平行ではなく、非零です。Q の3成分を代入します。

2 = -1 + s
4 = 2 + s + t
-2 = 2t
s = 3
t = -1
2 + 3 + (-1) = 4

したがって Q は平面上で、s = 3、t = -1 です。元の点に戻すと (-1, 2, 0) + 3(1, 1, 0) − (0, 1, 2) = (2, 4, -2) です。負の t は v と反対方向に進むことを表します。

3. 成分が矛盾する場合

u の第3成分は0、v の第3成分は1なので、2本は非零かつ独立です。T の第3、第1成分を使います。

4 = 3 + t
t = 1
5 = 1 + 2s + t
2s = 3
s = 3/2
-2 + s - t = -2 + 3/2 - 1
-2 + s - t = -3/2

求めた係数による移動先は (5, -3/2, 4) です。T の第2成分は -1 なので一致せず、T は所属しません。第1、第3成分で係数が一意に決まっているため、他の係数で矛盾を避けることもできません。

4. 倍率を照合する

u は第1成分が3なので非零で、v も第1成分が6なので非零です。平行なら倍率は2です。

2u = (6, 2, -2)
v = (6, 2, h)
v = 2u の条件は h = -2

よって独立となるのは h ≠ -2 です。h = -2 なら基点 A に対し A + s u + t v = A + (s + 2t)u となり、A を通り u に平行な直線を表します。h がそれ以外なら第3成分が倍率2に一致せず、2方向は平面を張ります。

5. 所属する値を逆に求める

u の第3成分は1、v の第3成分は0ですから、両者は非零かつ独立です。X の第1、第2成分から係数を定めます。

3 = 2 + s + 2t
0 = 1 + 2s + t
s + 2t = 1
2s + t = -1
s = 1 - 2t
2(1 - 2t) + t = -1
-3t = -3
t = 1
s = -1
q = s = -1

答えは q = -1、s = -1、t = 1 です。実際に (2, 1, 0) − (1, 2, 1) + (2, 1, 0) = (3, 0, -1) となり、指定した X の3成分に戻ります。第1、第2成分の連立で係数は一意なので、別の q はありません。

要点

• 基点に独立な2方向の実数倍を加えると、平面上の点を表せます。
• 所属判定では同じ2係数が3成分を同時に満たすか調べます。
• 方向が平行、または零ベクトルを含むと、二変数表示は平面を張りません。
• 消去した一次式は、逆に係数を作って十分性も確かめます。

手が止まったときの確認

式に代入する前に、基点から対象の点への移動を引き算で書いてみてください。独立性が曖昧なら、片方の非零成分から倍率を決め、他の成分まで一致するかを確かめます。係数を求めたら、その組を3成分に戻して、どの式で一致または矛盾したか説明します。

個別指導で確認するときは、基点と2本の方向、求めた移動先を図に置き、数式の各係数がどの移動に対応するか言葉にします。平面に届くかどうかは、2方向の組合せと3成分の照合で決まります。