高校数学C 空間の三ベクトルの独立性—係数比較を使える条件を図形から確かめる｜武蔵野個別指導塾

独立でない三方向では係数比較が使えない理由を反例で捉え、文字を含む成分の連立から表示の一意性を確かめていきます。

よくあるのは、理系の高3が同一平面の三方向を使い、等式の両辺で係数をそのまま比べる場面です。見た目が異なる3本の矢印でも、1本が残りの2本の和なら、同じベクトルを別の係数で表せます。式の変形が正しくても、最後の比較が許されなければ結論は揺らぎます。

ここでは空間の座標とベクトルを使い、3方向が独立かどうかを確かめてから、点の表示と交点の計算につなげます。座標とベクトルを平面から空間へ拡張する内容は、数学Cの学習範囲です。投影した図は位置関係を考える補助であり、画面上の長さや角度を空間での値として読みません。

どこで係数の確認が必要になるか

最初の型は、与えられた3本が同一平面上にないことを示す問いです。3本を同じ始点にそろえ、2本でできる平面に残る1本が入るか調べます。座標があるなら、残る1本を2本の実数倍の和とおいて3成分を照合できます。

次の型は、文字を含む3本のうち、どの値で係数比較が使えるかを判定する問いです。途中の係数で割る前に、それが0となる値を別に調べます。特別な値で独立性が失われても、等式そのものが誤りになるわけではありません。係数が一致すると結論できなくなるのです。

もう1つは、四面体の辺上の点や直線の交点を求める型です。頂点から出る3方向が同一平面上になければ、点を表す等式から3つの係数を比べられます。図から予想した交点を求めた後、2本の直線それぞれの表示に戻して確かめます。

三方向が作る表示の意味

a、b、cを空間のベクトルとします。ここでは、実数x、y、zに対し、x a + y b + z c = 0（零ベクトル）となる組がx = y = z = 0に限られるとき、3本は独立であるといいます。0以外の係数を含む組でも零ベクトルを作れるときは独立ではありません。例えばa自体が零ベクトルなら、x = 1、y = z = 0で零ベクトルになるので独立ではありません。

aとbが平行でないとき、2本を同じ始点Oに置くと、その先端はOを通る1つの平面を定めます。その平面のベクトルはs a + t bと表せます。cがその平面に入るとc = s a + t bとなり、s a + t b − c = 0は0以外の係数を含みます。したがって3本は独立ではありません。

反対に、aとbが平行でなく、cがその平面にないとします。x a + y b + z c = 0でzが0でなければ、c = (-x/z) a + (-y/z) bとなり、cが平面外にあることと矛盾します。よってz = 0です。残るx a + y b = 0でも、aとbは平行でないためx = y = 0です。このように、同じ始点に置いた3本が同一平面上にないことと、独立であることが対応します。aとbが平行な場合や零ベクトルを含む場合は、そもそも3本が張る方向は独立になりません。

図1のように、aとbで張る平面の外へcを出すと、平面内の移動ではcの向きを打ち消せません。逆に、3本が同じ平面にあれば、3本がどれも違う向きでも独立とは限りません。図だけで微妙な平面への所属を断定せず、座標の式でも確認します。

独立な3本について、同じベクトルvが2通りに表されたとします。

v = p a + q b + r c
v = p′ a + q′ b + r′ c
(p - p′) a + (q - q′) b + (r - r′) c = 0

独立性の定義から、p − p′ = q − q′ = r − r′ = 0です。よってp = p′、q = q′、r = r′となり、表示は一意です。これが係数比較の根拠です。空間の任意のベクトルがこうして表せることも、aとbが張る平面と、その平面外のcを使えば確かめられます。任意の点を通りcに平行な直線はその平面と1点で交わり、その交点の位置をaとbで表せるからです。既に両辺が3本で表示されている等式を比較するだけなら、必要なのは上で示した一意性です。

基本例題：成分から表示を決める

a = (1, 0, 0)、b = (0, 1, 0)、c = (1, 1, 2)、v = (3, 0, 2)とします。a、b、cの独立性を示し、v = x a + y b + z cを満たす実数x、y、zを整数で求めてください。

まずaとbは平行ではなく、ともに第3成分が0です。s a + t bの第3成分は常に0ですが、cの第3成分は2です。よってcはa、bの張る平面に入らず、3本は独立です。図2は同じ始点からの矢印を描いています。図中の斜めの長さから座標の大小を測る必要はありません。

3成分をそれぞれそろえて解きます。

x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(1, 1, 2) = (3, 0, 2)
(x + z, y + z, 2z) = (3, 0, 2)
2z = 2
z = 1
x + 1 = 3
x = 2
y + 1 = 0
y = -1

答えはx = 2、y = -1、z = 1です。戻すと2a − b + c = (2, 0, 0) + (0, -1, 0) + (1, 1, 2) = (3, 0, 2)となり、指定されたvの全成分に一致します。ここで使った成分の比較は、座標の各成分が等しいという意味です。一般の3本のベクトルを使う係数比較は、先に示した独立性によって正当化されています。

文字の値によって三方向が変わる

標準例題

a = (1, 1, 0)、b = (0, 1, 1)、c = (1, 0, t)とします。実数tの値によって3本の独立性を判定してください。独立な場合、v = (2, 1, 3)をv = x a + y b + z cと表すx、y、zをtの式で求めてください。

独立性を定義から調べます。零ベクトルを作る係数をX、Y、Zとおき、成分を比較します。

X a + Y b + Z c = (0, 0, 0)
X + Z = 0
X + Y = 0
Y + tZ = 0
Z = -X
Y = -X
-(1 + t)X = 0

tが-1でなければ1 + tは0ではなく、X = 0です。続いてY = Z = 0なので3本は独立です。一方、t = -1ならc = a − bです。例えばa − b − c = 0となり、係数の組(1, -1, -1)は0ばかりではありません。この場合は独立ではありません。aとbは平行でないため、特別な値ではcが2本の張る平面に入ることも見えます。

表示を求めるのはt ≠ -1の場合です。ここで初めて1 + tで割れます。

x + z = 2
x + y = 1
y + tz = 3
z = 2 - x
y = 1 - x
1 - x + t(2 - x) = 3
(1 + t)x = 2t - 2
x = (2t - 2)/(1 + t)
y = (3 - t)/(1 + t)
z = 4/(1 + t)

答えをもとの3成分へ戻します。x + z = 2、x + y = 1、y + tz = 3となるため、確かにvに戻ります。独立性を示したので、この係数の組以外はありません。t = -1では、どんな係数でも第3成分はy − zです。第1、2成分を2、1にするならy − z = (x + y) − (x + z) = -1なので、vの第3成分3には届きません。この特別な場合には表示そのものが存在しないことも区別できます。

発展例題：辺上の点から直線の交点へ

O、A、B、Cが同一平面上にないとします。a = ベクトル OA、b = ベクトル OB、c = ベクトル OCとおきます。Pは線分ABをAP : PB = 1 : 2に内分し、Qは線分ACの中点です。直線PQと直線BCの交点Rについて、ベクトル ORをb、cで表し、Rが線分BC上にあるか答えてください。

O、A、B、Cが同一平面上にないのでa、b、cは独立です。また、PとQは異なります。実際、両者が同じなら、以下の表示でbの係数1/3と0が一致するはずですが、そうはなりません。したがって直線PQを定められます。BとCも異なり、直線BCも定まります。

ベクトル OP = (2/3)a + (1/3)b
ベクトル OQ = (1/2)a + (1/2)c
ベクトル OR = (1 - u)ベクトル OP + u ベクトル OQ
ベクトル OR = (1 - v)b + v c

u、vは実数です。直線上の点なので、0から1に制限せずに交点を探します。2通りの表示に代入します。

(1 - u)((2/3)a + (1/3)b) + u((1/2)a + (1/2)c)
= (1 - v)b + v c

3本の独立性から、a、b、cの係数を比較します。

(2/3)(1 - u) + u/2 = 0
4 - 4u + 3u = 0
u = 4
(1 - u)/3 = 1 - v
-1 = 1 - v
v = 2
u/2 = v
2 = 2

よってベクトル OR = -b + 2cです。u = 4をPQの表示に戻すと、-3ベクトル OP + 4ベクトル OQ = -b + 2cです。v = 2をBCの表示に戻しても同じ点となり、両直線への所属を確認できます。vが1を超えるので、RはBからCを通り過ぎた先にあり、線分BC上にはありません。

この例では直線上という条件が重要です。もし最初からu、vを0以上1以下としていたら、交点の候補を除いてしまいます。線分の交点を問われたときは、直線の交点を求めた後で範囲を確認します。平面内の図形に見えても、係数比較の基準は四面体から得た独立な3方向です。

誤った比較を反例で直す

a、bを平行でないベクトル、c = a + bとします。ある人がa + b = cから「aの係数は左が1、右が0だから1 = 0」と書きました。図3のように3本は同じ平面にあり、cはaとbの移動を合わせた方向です。右辺もa + bと表せるため、表し方は1通りではありません。

誤りは等式ではなく、独立でない3本について係数を比べたことです。修正するには、cをa + bに置き換え、独立なaとbの2本について比較します。例えば2a + b = p a + q b + cなら、右辺を(p + 1)a + (q + 1)bと直します。

2a + b = (p + 1)a + (q + 1)b
p + 1 = 2
q + 1 = 1
p = 1
q = 0

aとbは平行でないので、この2本の係数比較は使えます。答えを戻すとa + c = 2a + bで、もとの等式を満たします。独立でないから計算が全部できないのではありません。どの組なら一意に表せるかを選び直すことが修正の出発点です。

練習：判断してから比べる

次の5問ではa、b、cはそれぞれベクトル、文字は実数です。係数は整数または既約分数で答えてください。独立性を問う問題では、その理由も書いてください。

1. a = (1, 0, 1)、b = (0, 1, 0)、c = (0, 0, 2)とします。3本の独立性を判定し、v = (3, -2, 7)をv = x a + y b + z cと表す係数を求めてください。
2. a = (1, 2, 0)、b = (2, 4, 0)、c = (0, 0, 1)とします。独立性を判定し、零ベクトルを作る0以外の係数を含む組を1つ求めてください。
3. a = (1, 0, 1)、b = (0, 1, 1)、c = (2, 3, k)とします。3本が独立でない実数kを求め、その値でcをa、bで表してください。
4. a、b、cは独立で、2a − b + 3c = (p + q)a + (2p − q)b + r cです。p、q、rを求めてください。
5. a、bは平行でなく、c = 2a − bです。v = 5a + bをv = x a + y b + 2cと表すx、yを求めてください。また、cの係数を2に固定しないと表示が一意かどうかを答えてください。

解答と確かめ

1. 第1成分と第2成分から、零ベクトルを作る係数はそれぞれ0です。すると第3成分からcの係数も0なので、3本は独立です。求める係数について、

x = 3
y = -2
x + 2z = 7
3 + 2z = 7
z = 2

答えは(3, -2, 2)です。3a − 2b + 2c = (3, -2, 7)となり、3成分が指定のvに戻ります。

2. b = 2aなので独立ではありません。例えば2a − b + 0c = 0で、係数(2, -1, 0)は0ばかりではありません。成分で戻しても2(1, 2, 0) − (2, 4, 0) = (0, 0, 0)です。cがこの平面外を向いていても、aとbの間に既に重複があるため3本は独立になりません。

3. aとbは平行でありません。cが2本の張る平面に入るかをc = s a + t bとして調べます。

s = 2
t = 3
s + t = k
k = 5

k = 5のときc = 2a + 3bです。実際に右辺は(2, 3, 5)であり、cに一致します。他のkでは第1、2成分がs = 2、t = 3を強制する一方、第3成分が一致しないため平面外です。したがって独立でないのはk = 5です。

4. 独立性により係数を比較します。

p + q = 2
2p - q = -1
r = 3
3p = 1
p = 1/3
q = 5/3

答えはp = 1/3、q = 5/3、r = 3です。戻すとp + q = 2、2p − q = -1、r = 3となり、もとの各係数に一致します。

5. cをa、bに置き換えてから比較します。

5a + b = x a + y b + 2(2a - b)
5a + b = (x + 4)a + (y - 2)b
x + 4 = 5
y - 2 = 1
x = 1
y = 3

a + 3b + 2c = a + 3b + 4a − 2b = 5a + bです。cの係数を固定しなければ、例えば5a + bもa + 3b + 2cも同じvを表します。係数の組が異なるため、一意ではありません。ただし係数を2に固定した条件のもとでは、aとbの独立性によりx、yは一意です。

手元に残す要点

• 零ベクトルを作る係数がすべて0に限られるとき、3本は独立です。
• 同じ始点に置いた3本が同一平面上にないことは、独立性に対応します。
• 独立な3本の表示は一意なので、等式の係数を比較できます。
• 文字を含む場合は、割る数が0となる値を先に調べます。
• 交点は両方の表示に戻し、線分なら係数の範囲も確認します。

つまずきを見分ける最後の確認

係数比較の行に下線を引き、その直前に「3本が独立」と書けるか見てください。書けない場合は、零ベクトルを作る係数の連立式か、2本の張る平面への所属を先に調べます。0で割っていた場合は、その値を除いた計算と、0になる場合の代入を分けます。

個別指導で式を確かめるなら、同じ始点にそろえた矢印と、どの平面にどの矢印が入るかを自分の言葉で説明してみてください。説明と成分計算が食い違えば、図の投影による見かけか、成分の転記を点検できます。係数が一致する理由を言葉で示せると、空間の交点の計算にも根拠が残ります。