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高校数学C 四面体の重心—四頂点の平均と中線上の比をつないで求める｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学C 空間ベクトルを掘り下げる

面の重心と3対1の内分を手がかりに、逆算や距離の二乗の和へと広がる四面体の重心です。

よくあるのは、四面体の4つの頂点を見ながら、三角形の重心と同じように座標の和を3で割ってしまう場面です。3で割る計算にも意味はありますが、それが表すのはどの点でしょうか。頂点を1つ隠して残りの面を考えると、答えが見えてきます。面の重心と四面体の重心を区別し、図と式を往復しながら確かめます。

どこから重心を見つけるか

四面体の問題には、4頂点の座標から重心を求める問い、重心と3頂点から残る頂点を逆算する問い、重心を利用して距離の二乗の和を調べる問いがあります。いずれも最初に、何個の点を等しい重みで平均するかを決めます。3点なら三角形の重心、4点なら四面体の重心です。

座標が複雑でも、頂点とその向かいの面の重心を結ぶ線分に注目すると見通しが立ちます。逆に、頂点の座標が1つ未知なら、平均を表す式をそのまま未知の位置ベクトルについて解けばよいです。距離の二乗の和では、重心を基準に置き直すことで交差する項が消えます。公式を暗記する前に、どの点の和が0になるかを確認しましょう。

数学Cで学ぶ空間の座標とベクトルを使い、面と四面体の重心を扱います。投影図の長さや角度は実際の空間の値を示しません。

面から四面体へ平均をつなぐ

空間に原点 O を取り、点 A、B、C、D の位置ベクトルをそれぞれ a、b、c、d（いずれもベクトル）とします。A、B、C、D は同一平面上にない4点とし、四面体 ABCD を考えます。したがって各面は三角形で、各頂点とその対面の重心は異なります。

まず三角形 BCD の重心を M とします。辺 CD の中点を N とすると、位置ベクトルは (c + d)/2 です。三角形の重心は中線 BN を B から 2 対 1 に内分するので、次のように表せます。

ベクトル OM = {b + 2(c + d)/2}/3
             = (b + c + d)/3

ここで使った三角形 BCD は一直線上にない3点からなるため、中線と重心が定まります。点 M は面 BCD の内部にあり、3頂点に等しい重み 1/3 をつけた点です。次に線分 AM を A から 3 対 1 に内分する点を G とします。その位置ベクトル g は次の通りです。

g = (a + 3ベクトル OM)/4
  = (a + b + c + d)/4

図1のように面の重心 M を経由すると、A に 1/4、B、C、D にもそれぞれ 1/4 の重みがつきます。分子に4頂点が並び、係数の和は1です。四面体の重心はこの4頂点の位置ベクトルの平均であり、各頂点と対面の重心を結ぶ線分上にあります。

同じ平均は頂点をどれから選んでも変わりません。たとえば B を出発点にして面 ACD の重心を取っても、得られる点は同じ G です。したがって4本の線分は G で交わり、どの線分でも頂点側から 3 対 1 です。図1の AG:GM = 3:1 から、G は A から M へ向かって線分全体の 3/4 だけ進んだ位置にあるとわかります。M まではあと 1/4 で、G は M の手前にあります。中線という言葉は、ここでは頂点と対面の重心を結ぶ線分について使います。

原点を変更しても結論は変わりません。新しい原点の古い位置ベクトルを u とすると、各位置ベクトルから u を引いた平均は g − u です。点そのものは移らず、基準を変えた分だけ表示が変わると確認できます。なお、ベクトル GA + ベクトル GB + ベクトル GC + ベクトル GD = 0 も平均式から従います。ここで右辺の 0 は零ベクトルです。

基本例題：座標と内分比を照合する

四面体の頂点を A(0, 0, 0)、B(8, 0, 0)、C(0, 4, 0)、D(0, 0, 8) とします。面 BCD の重心 M と四面体の重心 G の座標をそれぞれ分数または整数で求め、AG:GM を答えてください。

3本の辺 AB、AC、AD はそれぞれ異なる座標軸の方向を向き、いずれも長さが0ではありません。したがって4点は同一平面上になく、四面体と各面の重心を考えられます。まず面の3頂点を成分ごとに平均します。

M = ((8 + 0 + 0)/3, (0 + 4 + 0)/3, (0 + 0 + 8)/3)
  = (8/3, 4/3, 8/3)

図2のように、A と M を結んで G を置きます。4頂点の平均を計算すると次のようになります。

G = ((0 + 8 + 0 + 0)/4, (0 + 0 + 4 + 0)/4, (0 + 0 + 0 + 8)/4)
  = (2, 1, 2)

内分式に戻して確かめると、G = (A + 3M)/4 = (2, 1, 2) です。よって G は線分 AM 上にあり、AG:GM = 3:1 です。図2は空間を平面に写した図です。線の見かけの傾きから直角や辺の長さを判断する必要はありません。

もし A が原点でないときは、M の座標を単に 3/4 倍してはいけません。A を含めた (A + 3M)/4 に戻せば、始点の位置を落とさずに内分できます。どちらの計算法でも同じ点が出ることが、計算の確かな点検になります。

標準例題：欠けた頂点を逆算する

四面体 ABCD の A(1, 2, -1)、B(5, 0, 3)、C(-2, 4, 2) と重心 G(2, 1, 2) が与えられています。D の座標を整数で求め、求めた4点が四面体を作ることも確かめてください。

4頂点の平均が G なので、D の座標を (x, y, z) として成分ごとに式を立てます。

(1 + 5 - 2 + x)/4 = 2
(2 + 0 + 4 + y)/4 = 1
(-1 + 3 + 2 + z)/4 = 2
x = 8 - 4 = 4
y = 4 - 6 = -2
z = 8 - 4 = 4
D = (4, -2, 4)

逆算では平均の式を先に4倍し、それから既知の3点を引きます。求めた D を元の平均へ戻すと、成分の和は (8, 4, 8) で、その4分の1は確かに (2, 1, 2) です。

四面体の条件も調べます。AB = (4, -2, 4)、AC = (-3, 2, 3)、AD = (3, -4, 5) をそれぞれベクトルの成分とします。もし AD が AB と AC の実数倍の和なら、実数 s、t について次の3式を同時に満たします。

4s - 3t = 3
-2s + 2t = -4
4s + 3t = 5

最初の2式から t = s − 2、s = -3、t = -5 です。ところが第3成分は 4s + 3t = -27 で、5 にはなりません。よって AD は面 ABC の方向に含まれません。また AB と AC は実数倍の関係ではなく、A、B、C は一直線上にありません。4点は同一平面上になく、求めた点は問題の条件を満たします。平均が合うことと、四面体が退化していないことは別々に点検します。

発展例題：距離の二乗の和を小さくする

四面体の頂点を A(0, 0, 0)、B(4, 0, 0)、C(0, 8, 0)、D(0, 0, 12) とします。平面 x + y + z = 9 上の点 P について、PA² + PB² + PC² + PD² を最小にする P の座標と最小値を、整数または分数で求めてください。

AB、AC、AD はそれぞれ異なる座標軸の非零方向なので、4点は同一平面上にありません。重心 G は各成分の平均から (1, 2, 3) です。p、g を P、G の位置ベクトルとし、各頂点の位置ベクトルを a、b、c、d とします。例えばベクトル PA = (a − g) − (p − g) と分けて長さの二乗を展開します。4項を加えると次の式です。

PA² + PB² + PC² + PD²
= GA² + GB² + GC² + GD² + 4PG²
  - 2(p - g)・{(a - g) + (b - g) + (c - g) + (d - g)}
= GA² + GB² + GC² + GD² + 4PG²

最後の行では4本のベクトル GA、GB、GC、GD の和が零ベクトルになることを使いました。したがって、平面上で距離の二乗の和を最小にするには PG² を最小にすればよいです。

平面の法線方向は n = (1, 1, 1) で、n は零ベクトルではありません。G からこの方向に進んだ点 H を (1 + t, 2 + t, 3 + t) と置き、平面への所属を使います。

(1 + t) + (2 + t) + (3 + t) = 9
6 + 3t = 9
t = 1
H = (2, 3, 4)

H は平面上にあり、ベクトル GH = (1, 1, 1) は平面の法線方向です。平面上の任意の P について、ベクトル HP の3成分の和は0なので、GH と HP の内積は0です。直角三角形の関係から PG² = GH² + HP² となり、P = H のときに限って最小です。

GA² + GB² + GC² + GD² = 168
GH² = 1² + 1² + 1² = 3
最小値 = 168 + 4・3 = 180

元の距離で検算すると、HA² = 29、HB² = 29、HC² = 45、HD² = 77 で、その和は 180 です。H の座標の和も 9 なので、所属と値を両方満たします。平面が G を通る場合は t = 0 となり、G 自身が最小点です。法線が零ベクトルの式ではこの手順を使えないため、平面の条件を先に確かめます。

誤答をほどく：3で割った点はどこか

基本例題の4頂点に対して、G = (A + B + C + D)/3 = (8/3, 4/3, 8/3) とする誤答を考えます。ここでは点名を座標の組として計算しています。図3のように、この座標は実際には面 BCD の重心 M です。A が原点だから分子は B + C + D と同じですが、重心として平均する点の数は4です。

修正すると、G = (A + B + C + D)/4 = (2, 1, 2) です。元の図形で見ると、G は AM を 3 対 1 に内分し、M はその線分の端にあります。図3で M と G を分けて置けば、答えの座標が面上の点なのか四面体の内部の点なのかを照合できます。

別の失敗は、3 対 1 の順序を逆にして G = (3A + M)/4 とすることです。この式は AM を A から 1 対 3 に内分する点を表します。内分点の式では、A の係数は反対側の GM に対応し、M の係数は AG に対応します。まず A から M への移動が全体の 3/4 であると図に書き、A + (3/4)(M − A) を展開すれば、係数を取り違えにくくなります。

A が原点でない場合、4点の和を3で割った点は面の重心とも一般には一致しません。その式は係数の和が 4/3 で、原点を変えると同じ図形上の点を表し続けられないからです。たまたま基本例題で M と一致した理由を、A が原点という条件まで含めて説明できるか確認しましょう。

手を動かす5問

いずれも答えの座標は整数または分数で表してください。四面体と書かれたものは4頂点が同一平面上にないものとします。

三角形の頂点が U(3, 0, 1)、V(0, 6, 1)、W(0, 0, 4) です。重心の座標を求めてください。
四面体の頂点が A(0, 0, 0)、B(4, 0, 0)、C(0, 12, 0)、D(0, 0, 8) です。重心 G と面 BCD の重心 M の座標、AG:GM を求めてください。
四面体 ABCD の A(2, 0, 0)、B(0, 4, 0)、C(0, 0, 6)、重心 G(1, 2, 3) が与えられています。D の座標を求めてください。
四面体の頂点 A が (-2, 5, 3)、対面の重心 M が (2, 1, -1) です。四面体の重心 G と AG:GM を求めてください。
四面体の頂点が A(0, 0, 0)、B(8, 0, 0)、C(0, 4, 0)、D(0, 0, 4) です。平面 x + y + z = 3 上の点 P について、PA² + PB² + PC² + PD² の最小値と、そのときの P を求めてください。

5問の解答と点検

1. 3点の平均

UV = (-3, 6, 0)、UW = (-3, 0, 3) はベクトルの成分で、互いに実数倍ではありません。3点は一直線上になく、三角形の重心を使えます。

重心 = ((3 + 0 + 0)/3, (0 + 6 + 0)/3, (1 + 1 + 4)/3)
     = (1, 2, 2)

この点から3頂点へのベクトルの和は (2, -2, -1) + (-1, 4, -1) + (-1, -2, 2) = (0, 0, 0) です。3点の平均という条件に戻りました。

2. 面と四面体を分ける

3本の辺は異なる座標軸の非零方向にあるので四面体です。それぞれ3点と4点を平均します。

M = (4/3, 4, 8/3)
G = (4/4, 12/4, 8/4)
  = (1, 3, 2)
(A + 3M)/4 = (1, 3, 2)
AG:GM = 3:1

G は A から M へ 3/4 進んだ点です。M の3倍を成分ごとに戻すと B、C、D の座標の和 (4, 12, 8) になり、面の重心も確かめられます。

3. 四頂点の和へ戻す

D = (x, y, z) として、平均式を4倍します。

(2 + x, 4 + y, 6 + z) = (4, 8, 12)
x = 2
y = 4
z = 6
D = (2, 4, 6)

4点の和は (4, 8, 12) なので、平均は指定された G(1, 2, 3) です。A、B、C は一直線上になく、いずれも x/2 + y/4 + z/6 = 1 を満たします。D では左辺が3なのでこの平面上にありません。四面体という条件にも戻せます。

4. 内分点を直接作る

A と対面の重心 M は異なり、G は AM を A から 3 対 1 に内分します。

G = (A + 3M)/4
  = ((-2 + 6)/4, (5 + 3)/4, (3 - 3)/4)
  = (1, 2, 0)
AG:GM = 3:1

ベクトル AG は (3, -3, -3)、ベクトル GM は (1, -1, -1) です。両者は同じ向きで長さの比が3対1なので、座標を元の線分上の条件へ戻せます。

5. 重心から平面への距離

軸方向の3辺は非零で互いに異なる方向なので四面体です。4頂点の平均を G、平面への垂線の足を H とすると、G = (2, 1, 1) です。法線 (1, 1, 1) は非零ですから、H = (2 + t, 1 + t, 1 + t) と置きます。

4 + 3t = 3
t = -1/3
H = (5/3, 2/3, 2/3)
GH² = 3・(1/3)² = 1/3
GA² + GB² + GC² + GD² = 72
最小値 = 72 + 4/3 = 220/3

H の座標の和は3です。平面上の任意の P で GH と HP は垂直なので PG² = GH² + HP² が成り立ち、H が最小点です。元の距離の二乗は順に 33/9、369/9、129/9、129/9 です。例えば B への差は (-19/3, 2/3, 2/3) です。その和は (33 + 369 + 129 + 129)/9 = 220/3 となり、最小値と一致します。