高校数学C 空間の内分点と外分点—比の向きと係数から点の位置を確かめる｜武蔵野個別指導塾

内分と外分で変わる係数の符号を点の配置に結びつけ、外分比1対1で点が存在しない理由までたどります。

よくあるのは、理系の高3が外分点を線分の内側に描いたまま、公式に比を代入する場面です。計算が合っていても、図に記した点は別の点かもしれません。反対に、線分の延長上に置けば何でも外分点になるわけではなく、どちらの端に近いかも比で決まります。

空間の点でも、2点を結ぶ直線上で比を考えるという筋道は変わりません。平面で使った座標や位置ベクトルによる分点の表し方を、数学Cでは空間内の点にも適用します。ここでは異なる2点の中点、内分点、外分点を扱い、長さの比と位置ベクトルの係数を往復します。

要点（結論から）

• 内分は0 < t < 1、外分はt < 0またはt > 1です。
• 比m:nの内分ではAの係数がn、Bの係数がmです。
• 外分では正の比が1:1の場合、異なる2点の外分点はありません。

どんな形で問われるか

1つ目は、両端の座標と比から点の座標を求める問いです。比の前の数を前の点に掛けたくなりますが、内分では反対側の点の係数になります。中点なら両方の係数が等しくなるので、計算の確認に使えます。

2つ目は、与えられた点が内分か外分かを判定し、比を求める問いです。3成分で同じ実数を使って表せるか調べ、線分上か延長上かを決めます。1成分がたまたま合ったことは、空間の直線に乗る証拠にはなりません。

3つ目は、比に文字がある問いです。外分公式の分母が0になる場合を先に取り出し、その場合に点が存在するかまで考えます。式が使えないという計算上の問題と、条件を満たす点が存在しないという図形上の結論をつなぐことが目標です。

比を係数に翻訳する

異なる2点をA、Bとし、原点Oからの位置ベクトルをそれぞれa（ベクトル）、b（ベクトル）とします。点Pが直線AB上にあるとき、ある実数tを用いて、ベクトル AP = t・ベクトル ABと表せます。したがって、Pの位置ベクトルp（ベクトル）は次の形です。

p = a + t(b - a)
  = (1 - t)a + tb

AとBが異なるので、ベクトル ABは零ベクトルではありません。tはPの位置を一意に決め、t = 0でA、t = 1でBです。0 < t < 1なら線分の内部、t < 0ならA側の延長、t > 1ならB側の延長にあります。図1のように直線上の順序を描くと、空間でも符号の意味を追えます。

図1の目盛りは直線上の位置を表します。t < 0ではAPはABと逆向き、t > 1ではAPはABと同じ向きでABより長くなります。長さの比は正の数なので、向きを含むtそのものと混同しないことが要点です。

正の数m、nについて、Pが線分ABをAP:PB = m:nに内分するとします。このときAPはABのm/(m+n)倍ですから、t = m/(m+n)です。よって位置ベクトルと座標は次のように求まります。

p = (na + mb)/(m + n)
P = ((nxA + mxB)/(m + n), (nyA + myB)/(m + n), (nzA + mzB)/(m + n))

座標の式ではA = (xA, yA, zA)、B = (xB, yB, zB)としています。Aの係数がnなのは、PがAに近いほどPBに対応するnが大きいからです。m = nなら中点で、各成分は両端の成分の平均になります。

外分でもAP:PB = m:nは長さの比で、m、nは正です。PがA側ならAP < PBなのでm < n、B側ならAP > PBなのでm > nです。両側をまとめると、mとnが異なる場合に次の式が成立します。

t = m/(m - n)
p = (mb - na)/(m - n)

実際、m < nならt < 0、m > nならt > 1です。どちらも線分の外にあり、APとPBの長さの比は、共通の長さABを消してm:nになります。係数の和は1ですが、一方は負です。係数の和が1という条件だけでは内分とは限りません。

m = nでは分母が0なので公式を使えません。さらに異なるA、Bから等距離の直線AB上の点は中点です。中点は線分内部にあるため、1:1に外分する有限の点は存在しません。AとBが一致するとそもそも直線ABと正の長さの比をこの方法で定められないため、最初の異なる2点という条件が必要です。

基本例題：一つの比から2種類の点を出す

A = (1, -2, 3)、B = (7, 4, -3)とします。線分ABを2:1に内分する点Pと、2:1に外分する点Qをそれぞれ座標で求めてください。

AとBは異なり、比の両方は正です。外分の比も1:1ではないので、内分と外分の式をそれぞれ使えます。図2のようにPは線分の内部、QはB側に置きます。

図2ではAP:PBとAQ:QBがどちらも2:1です。QはBの先にあり、同じ比でもPと位置が異なります。まずPを計算します。

p = (a + 2b)/3
  = ((1 + 14)/3, (-2 + 8)/3, (3 - 6)/3)
  = (5, 2, -1)

次にQを求めます。外分では分母が2 − 1で、Aの項には負符号が付きます。

q = (2b - a)/(2 - 1)
  = (14 - 1, 8 + 2, -6 - 3)
  = (13, 10, -9)

答えはP = (5, 2, -1)、Q = (13, 10, -9)です。元の座標に戻して、ベクトル AP = (4, 4, -4)、PB = (2, 2, -2)ですから、同方向で長さの比は2:1です。またAQ = (12, 12, -12)、BQ = (6, 6, -6)なので、QはBの先にありAQ:QBも2:1です。3成分とも同じ倍率になることまで確認します。

標準例題：座標から比と種類を読む

C = (-1, 2, 4)、D = (5, -4, 7)、R = (7, -6, 8)とします。Rが直線CD上にあるか調べ、ある場合は線分CDの内分点か外分点かを判定し、CR:RDを整数の比で求めてください。

CとDは異なるので、ベクトル CDを基準にしてRの位置を表せます。最初の成分から倍率を見つけても、残りの成分に戻して確かめる必要があります。

ベクトル CD = (6, -6, 3)
ベクトル CR = (8, -8, 4)
ベクトル CR = (4/3)・ベクトル CD

3成分で共通の倍率が成立するため、Rは直線CD上にあります。4/3 > 1なのでD側の延長上です。CDの長さを基準にするとCRは4/3倍、RDは1/3倍です。

CR:RD = (4/3):(1/3)
      = 4:1

答えはD側の外分点で、比は4:1です。元の点に戻すと、ベクトル DR = (2, -2, 1)で、CR = 4・DRです。RがDの先にあることと、求めた比を両方確認できます。もし第3成分がこの倍率と合わなければ、直線上にないため内分点でも外分点でもありません。

発展例題：比の文字と例外を同時に調べる

E = (2, 1, -1)、F = (5, 7, 2)とし、正の実数kに対してEFをk:2に外分する点をTとします。Tが存在するkの範囲を求め、存在するときの座標をkで表してください。またTの第1成分が8となるkを求めてください。

EとFは異なります。外分比の両項は正ですが、k = 2では1:1になるので、公式を使う前に除きます。この場合は直線EF上の等距離点が中点しかなく、外分点はありません。

k > 0、k ≠ 2のとき、位置ベクトルをe（ベクトル）、f（ベクトル）として次を得ます。

t = (kf - 2e)/(k - 2)
T = ((5k - 4)/(k - 2), (7k - 2)/(k - 2), (2k + 2)/(k - 2))

ここでtは点Tの位置ベクトルを表しています。0 < k < 2ならE側、k > 2ならF側に位置します。次に第1成分の条件を代入し、分母が0でない範囲で解きます。

(5k - 4)/(k - 2) = 8
5k - 4 = 8k - 16
3k = 12
k = 4

4は正で2とは異なるため採用できます。答えは、存在する範囲がk > 0かつk ≠ 2、座標が上の式、第1成分が8となる値がk = 4です。この値を元の座標へ戻すとT = (8, 13, 5)です。

ベクトル EF = (3, 6, 3)、ET = (6, 12, 6)、FT = (3, 6, 3)なので、TはFの先にありET:TF = 2:1 = 4:2です。第1成分も8です。方程式の解を比と位置に戻すことで、分母を払った際の条件落ちも点検できます。

誤った図から式を直す

「GからHまでを1:2に外分する点は、線分の中でGに近い」と考える誤りがあります。図3でGとHの間にある点は、Gに近い内分点です。Gより左側の点は線分の外にあり、Gまでの距離とHまでの距離の比が1:2になる外分点です。

図3の内側の点を採れば、Gからの距離が全体の1/3となり、内分比は1:2です。一方、外側の点をGからGHと同じ長さだけ離せば、点からHまでの距離はその2倍となります。外分比も1:2ですが、位置が違います。

誤りの原因は、比の数だけを見て「小さい方の端に近い」と考え、内側か外側かを省いたことです。外分で前の数が小さいときは、G側の延長に置きます。式でもt = 1/(1 − 2) = -1となり、GからHと逆方向へGHの長さだけ進むと確認できます。

比が1:1のときに分母を0のまま計算するのも誤りです。非常に遠い点を描いて済ませず、直線上の等距離点が中点しかないことに戻ります。両端が同じ点の場合も、異なる2点を前提とした公式を適用せず、問題の条件を見直します。

自分で解く5問

以下の点は同じ空間の座標で表します。座標は整数または既約分数で、比は正の整数の比で答えてください。各問は独立です。

1. A = (-3, 5, 1)、B = (9, -1, 7)の中点Mの座標を求めてください。
2. C = (2, -1, 4)、D = (7, 9, -6)を3:2に内分する点Nの座標を求めてください。
3. E = (4, 3, -2)、F = (10, -3, 4)を1:3に外分する点Sの座標を求め、どちら側の延長上にあるか答えてください。
4. G = (1, 0, -2)、H = (5, 6, 2)、J = (4, 9/2, 1)について、Jが直線GH上にあるか調べ、ある場合は内分か外分かとGJ:JHを答えてください。
5. K = (-2, 1, 3)、L = (1, 5, -1)、W = (4, 9, -4)について、Wが直線KL上にあるか調べ、内分点または外分点といえるか答えてください。

5問の解答と確認

1. 中点

両点は異なります。各成分の平均を取ります。

M = ((-3 + 9)/2, (5 - 1)/2, (1 + 7)/2)
  = (3, 2, 4)

ベクトル AM = (6, -3, 3)、MB = (6, -3, 3)です。向きと長さが一致し、元の両端の中点であることを確かめられます。

2. 内分

CとDは異なり、3と2は正です。Cには反対側の2、Dには3を掛けます。

N = (2C + 3D)/5
  = ((4 + 21)/5, (-2 + 27)/5, (8 - 18)/5)
  = (5, 5, -2)

ここで座標の加減は各成分について行っています。CN = (3, 6, -6)、ND = (2, 4, -4)は同方向で、長さは3:2です。Nは線分の内部にあり、与えられた比を満たします。

3. A側に当たる延長

EとFは異なり、外分比の両項は正で等しくありません。外分点の式に代入します。

S = (F - 3E)/(1 - 3)
  = ((10 - 12)/(-2), (-3 - 9)/(-2), (4 + 6)/(-2))
  = (1, 6, -5)

ベクトル ES = (-3, 3, -3) = -(1/2)・ベクトル EFですから、SはE側の延長上です。SE = (3, -3, 3)、SF = (9, -9, 9)で、長さの比は1:3です。答えを元の距離の条件にも戻せます。

4. 3成分の倍率

GとHは異なります。位置を表す倍率が全成分で共通かを調べます。

ベクトル GH = (4, 6, 4)
ベクトル GJ = (3, 9/2, 3)
ベクトル GJ = (3/4)・ベクトル GH

よってJは直線GH上で、倍率は0と1の間です。Jは内分点で、GJ:JH = 3:1です。実際、JH = (1, 3/2, 1)で、GJ = 3・JHとなり、元の3成分で比が一致します。

5. 途中の成分が合っても判定を続ける

KとLは異なります。Wについて同様に差を取ります。

ベクトル KL = (3, 4, -4)
ベクトル KW = (6, 8, -7)

最初の2成分は2倍ですが、第3成分は-8ではなく-7です。共通の倍率は存在しないので、Wは直線KL上にありません。したがって線分KLの内分点でも外分点でもありません。2倍したときの点は(4, 9, -5)で、元のWと第3成分が異なります。

要点を持ち帰る

• 内分は0 < t < 1、外分はt < 0またはt > 1です。
• 比m:nの内分ではAの係数がn、Bの係数がmです。
• 外分では正の比が1:1の場合、異なる2点の外分点はありません。
• 座標の判定は3成分を共通の倍率で確かめます。

つまずいた位置を見つける

式が出ないときは、先に2点が異なるかと比が正かを確認し、直線上に両端と求める点の順序を書いてみてください。係数の符号と図の位置が食い違うなら、比を逆にしたか、内分と外分を取り違えた可能性があります。

個別指導で確かめるなら、計算した点から両端へ向かうベクトルを成分で出し、その倍率が問題の長さの比へ戻るかを説明してみてください。直線上での順序と3成分の倍率がそろえば、空間でも内分点と外分点を見分けられます。