高校数学III 定積分の対称変換—区間の両端の和を使って式を組み合わせる｜武蔵野個別指導塾

端点の和から変数を引く置換で分子と分母を変換し、元の積分との加算によって三角関数や分数の計算を短くします。

よくあるのは、積分区間を反転する置換をした後、端点の入れ替えによる負号と微分による負号を二重に付ける場面です。式の形が元に戻っても、符号だけが変わったように見えて計算が止まります。端点と微分を別々に記録すれば、2つの負号がどこで消えるか追えます。ここでは両端の和に注目し、元の式と反転後の式を組み合わせて定積分を求めます。

数学IIIの積分の基本性質と置換積分を土台にします。面積や体積の計算には進まず、定積分の値そのものを扱います。

反転が役立つ式を見つける

第一の型は、分子にxがあり、残りの因子が区間の中心を挟んで変わらない式です。反転するとxは端点の和からxを引いた式に変わります。元の分子と足すと定数になるため、複雑な因子が残っていても、対称性によって計算が短くなる場合があります。

第二の型は、三角関数が反転によって互いに入れ替わる式です。例えば区間の両端の和がπ/2なら、sin xとcos xが入れ替わります。分子と分母の変化を両方書くと、元の分数との和が定数になる形を探せます。

第三の型は、反転で分母の2つの項が入れ替わる分数です。分母が同じまま分子の項が補い合えば、和は1です。ただし分母が区間内で0にならないことが先です。形が似ていても、積分する関数が途中で定義されなければ、以下の公式をそのまま使えません。

端点を入れ替える公式

a<bとし、fが閉区間[a,b]で連続であるとします。このとき次が成り立ちます。

∫[a→b] f(x) dx = ∫[a→b] f(a+b-x) dx

理由を置換から確かめます。x=a+b-tとするとdx=-dtです。x=aに対応するtはb、x=bに対応するtはaなので、端点の順序にも注意します。

∫[a→b] f(x) dx
= ∫[b→a] f(a+b-t)(-dt)
= ∫[a→b] f(a+b-t) dt

最後の行では積分の向きを逆にした負号と、dxの負号が打ち消し合います。積分変数の名前は値に影響しないので、tをxに書き直せます。図1のように、対応する2点は中心から等しい距離にあり、両端は入れ替わります。

図1では左の点xと右の点a+b-xが対応します。中心は(a+b)/2です。中心自身を反転しても変わりませんが、中心以外の点は反対側へ移ります。

元の積分をIとすると、連続性と積分の線形性から次の式を得ます。

2I = ∫[a→b] {f(x)+f(a+b-x)} dx
I = (1/2)∫[a→b] {f(x)+f(a+b-x)} dx

この式は常に元の積分の別表現ですが、和が簡単になるときに特に有効です。反転後の式が元と同じならIはそのまま、反転後が元の負なら2I=0です。どちらの場合も、区間と関数の条件を先に確かめます。一般にf(a+b-x)=f(x)が成り立つとは限らず、変換できるという事実と関数の値が変わらないことは別です。

反転を試すときは、まず端点の和を計算し、xをその和から引いた式へ一斉に置き換えます。次に、元の式と変換後の式を足した分子と分母を比較します。分子の和が分母に一致すれば和は1ですが、分母まで同じになるかを確かめずに約分することはできません。

また、区間が[0,c]なら反転はc-xですが、一般の[a,b]ではa+b-xです。左端を代入して右端になり、右端を代入して左端になるかを先に調べれば、中心を取り違えた置換を見分けられます。積分変数の文字を変えても値は変わりませんが、変換前と変換後の変数を同じ行で混在させないことが、端点の確認につながります。

基本例題：分子のxを消す

次の定積分を、πを含む正確な式で求めてください。

I = ∫[0→2] x/(1+(x-1)²) dx

分母は1以上なので、被積分関数は閉区間[0,2]で連続です。両端の和は2であり、図2のようにxと2-xが対応します。分母は反転後も変わらず、分子は2-xになります。

図2の中央は1です。左右の対応点では、1からの距離の二乗が等しいことが、分母が変わらない理由です。置換と加算を順に書きます。

I = ∫[0→2] (2-x)/(1+(1-x)²) dx
  = ∫[0→2] (2-x)/(1+(x-1)²) dx
2I = ∫[0→2] 2/(1+(x-1)²) dx
I = ∫[0→2] 1/(1+(x-1)²) dx

第1行は反転の公式、第2行は二乗の性質です。第3行は元の積分と加え、最後に2で割りました。残りはx-1=tan θと置き、-π/4≤θ≤π/4で計算できます。この範囲でcos θは正で、置換は単調です。

dx = (1/cos² θ) dθ
1+(x-1)² = 1/cos² θ
I = ∫[-π/4→π/4] 1 dθ
  = π/2

端点はx=0でθ=-π/4、x=2でθ=π/4です。元の被積分関数は区間で負にならず、答えも正です。反転によってxが1に置き換わるのは積分値についての結論であり、各点でx=1としてよいという意味ではありません。

標準例題：三角関数の分子を交換する

次の値をπを用いて正確に求めてください。

J = ∫[0→π/2] sin x/(sin x+cos x) dx

区間内でsin xとcos xはともに非負で、同時に0になりません。したがって分母は正で、被積分関数は連続です。区間の両端の和はπ/2なので、反転後の三角関数を余角の公式で書きます。

sin(π/2-x) = cos x
cos(π/2-x) = sin x
J = ∫[0→π/2] cos x/(cos x+sin x) dx

分母は同じで、分子がsin xからcos xへ変わりました。元の式と足すと、分子が分母に一致します。

2J = ∫[0→π/2] (sin x+cos x)/(sin x+cos x) dx
   = ∫[0→π/2] 1 dx
   = π/2
J = π/4

値を元の場面に戻すと、元の分数と反転した分数は各点で和が1です。両者の積分値は等しく、区間の長さπ/2を等しく分けるのでπ/4と一致します。端点でも分母は1であり、途中の式は閉区間全体で使えます。

発展例題：対称な重みと分数を同時に使う

次の値を分数で求めてください。

K = ∫[0→3] x²/(x²+(3-x)²) dx

分母は2つの二乗の和です。両方が同時に0になるxはないため、区間全体で正です。分子が二次式でも、反転によって分母の2項が交換される点に注目します。

K = ∫[0→3] (3-x)²/((3-x)²+x²) dx
2K = ∫[0→3] {x²+(3-x)²}/{x²+(3-x)²} dx
   = ∫[0→3] 1 dx
   = 3
K = 3/2

分母を展開して原始関数を探す前に、分子と反転後の分子を足しました。分母が正だから約分は全区間で正当です。元の分数は0以上1以下であり、積分値3/2は0から3の間にあります。さらに反転した分数との和が1なので、長さ3の半分という答えを元の式に照らして確認できます。

負号を二重に付けたとき

図3のように、x=a+b-tでは左端が右端に移り、右端が左端に移ります。よくある誤答は、dx=-dtを書いた後に端点を入れ替え、さらに外に負号を残すことです。

図3の上段は変換直後の向き、下段は端点を通常の順に直した向きです。正しい処理は次の通りです。

∫[a→b] f(x) dx
= -∫[b→a] f(a+b-t) dt
= ∫[a→b] f(a+b-t) dt

最初の負号はdx=-dtに由来し、次の向きの反転で消えます。負号を残したままだと、例えば正の定数関数を正の長さの区間で積分した値が負になり、元の条件と矛盾します。負号の数を暗記する代わりに、端点の対応とdxの符号を別行に書きましょう。

もう一つの失敗は、反転で分子だけを変え、分母のxをそのままにすることです。分母が結果的に不変でも、それを計算で示す必要があります。三角関数ではsinとcosの両方を、分数では分母の各項を変換してから、元の式との和を作ります。

練習問題

各問とも積分区間で被積分関数が連続であることを確認し、反転した式を元の式と組み合わせてください。答えはπまたは分数を用いた正確な式で表します。

1. ∫[0→4] x(1+(x-2)²) dx を求めてください。
2. ∫[0→π/2] cos² x/(sin² x+cos² x) dx を求めてください。
3. ∫[0→2] x³/(x³+(2-x)³) dx を求めてください。
4. ∫[1→5] x(1+(x-3)²) dx を求めてください。
5. ∫[0→π] x sin x dx を求めてください。

練習の解答と道筋

1. 中心からの差を保つ

被積分関数は多項式なので連続です。両端の和は4で、反転すると二乗の因子は同じ、xは4-xです。積分値をAと置きます。

2A = ∫[0→4] 4(1+(x-2)²) dx
A = 2∫[0→4] (1+(x-2)²) dx
  = 2[(x-2)+(x-2)³/3]のx=0から4までの差
  = 2(4+16/3)
  = 56/3

反転した2点のxの和は4で、二乗の因子は共通です。この対応を元の積に戻すと、加えた式の係数4が得られます。

2. 二乗の和を使う

分母は恒等式によって1なので、閉区間で連続です。値をBとすると、反転によってcos² xはsin² xに変わります。

2B = ∫[0→π/2] (cos² x+sin² x)/(sin² x+cos² x) dx
   = ∫[0→π/2] 1 dx
   = π/2
B = π/4

元の分子と反転した分子の和は分母と等しく、元の分数と反転した分数の和が1です。積分値が区間の長さの半分になることと一致します。

3. 立方の項を交換する

区間[0,2]ではxと2-xが非負で、同時に0にならないため分母は正です。値をCとすると反転後の分子は(2-x)³です。

2C = ∫[0→2] {x³+(2-x)³}/{x³+(2-x)³} dx
   = ∫[0→2] 1 dx
   = 2
C = 1

元の分数と反転した分数の和が1であることを代入して確認できます。区間の長さの半分という値も一致します。

4. 多項式の重みを平均する

多項式は閉区間で連続です。値をDとし、中心3からの差の二乗が反転で変わらないことを使います。

2D = ∫[1→5] {x+(6-x)}(1+(x-3)²) dx
D = 3∫[1→5] (1+(x-3)²) dx
  = 3[ (x-3)+(x-3)³/3 ]のx=1から5までの差
  = 3(4+16/3)
  = 28

元のxと6-xの平均は3で、重みは反転しても同じです。これを元の積に戻すと、対応する2点での寄与の和が上の被積分関数に一致します。

5. 反転でsinが変わらない

x sin xは閉区間で連続です。値をEとすると、sin(π-x)=sin xより次を得ます。

2E = ∫[0→π] {x+(π-x)} sin x dx
   = π∫[0→π] sin x dx
   = π[-cos x]のx=0からπまでの差
   = 2π
E = π

元の積と反転後の積の和はπ sin xです。端点のsinはともに0で、向きは0からπのままであることも確認できます。

要点を短く

端点の和から変数を引けば、区間の左右が入れ替わります。 dxの負号と端点の反転をそれぞれ記録します。 元の式と反転後の式の和が簡単になるか調べます。 分母が0にならないことと、求めた値の符号を確かめます。

どの行で迷ったかを見る

端点の対応は正しいのに値の符号が逆なら、dxの負号と積分の向きを直した行を見比べます。式が簡単にならない場合は、分母まで反転できているか、和が本当に定数になるかを調べます。個別指導では、まず本人に端点の対応を書いてもらい、次に変換前後の分子と分母を別々に説明してもらうと、置換と加算のどちらで迷ったかを確かめられます。反転の対象と積分の向きがそろえば、対称性は計算の根拠になります。